例如1.：（x3)=3x2,分段函数:x是3x2在区间(-80,+0)上的一个原函数2．：(ln|xl)"=二,： In|x|是二的一个原函数.xxInx,x >0,事实上，Inx=In(-x),x< 0,x>0时，(ln x)=x< 0时,[In(-x)"' =x-x: (ln|xl)'= =x
例如 1. 3 2 − + x x 是3 ( , ) . 在区间 上的一个原函数 1 (ln ) , x x = 1 (ln ) . x x = ln( ), 0, ln , 0, ln x x x x x − = 是 的一个原函数 1 ln . x x 事实上， 2 = 3 , x 3 ( ) x x 0时，(ln ) x = 1 ; x x 2.x 0时，[ln ] x = 1 1 ; x x − = − ( ) −x 分段函数
[-sin2x].2= sin2x,3.cos2x).22[-sin 2x]·2 = sin 2x,cos2x+1)'221cos2x和-=cos2x+1都是sin2x的原函数2什么样的函数存在着原函数呢？一个函数的原函数是不是只有一个呢？
1 ( cos 2 ) 2 − x = 和 都是 的原函数 1 1 cos 2 cos 2 1 sin 2 2 . 2 − − + x x x 1 ( cos 2 1) 2 − + x = 3. 一个函数的原函数是不是只有一个呢？ sin 2x， 1 [ sin 2 ] 2 2 − − = x 1 [ sin 2 ] 2 2 − − = x sin 2x， 什么样的函数存在着原函数呢？
定理如果函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数 F(x).此定理也叫原函数存在定理这就是说，连续函数一定有原函数初等函数在其有定义的区间上存在原函数例如 y=V1-x2是一个初等函数,而且≥0=-1≤x≤1定义故函数y= /1-x2在[-1,1]上存在原函数.域
定理 这就是说,连续函数一定有原函数. 如果函数 f (x)在区间I上连续，则f (x) 在区间I上存在原函数 F(x) . 此定理也叫原函数存在定理 . 初等函数在其有定义的区间上存在原函数. y x = −1 , 2 是一个初等函数 而且 故函数y x = − − 1 [ 1,1] . 2 在 上存在原函数 2 1− x − 1 1, x 例如 0 定义 域
一个函数的原函数是不是只有一个呢？以下的例子中C为任意常数1. (sinx)'=cosx , (sinx+ C)'=cosx .(In|x|+ C)===2. (lnx)"xx1cos2x)= sin2x ,3.-21cos2x-3)= sin2x,一21C)'=sin2x .cos2x+一2
(sin ) cos , x x = (sin ) cos . x x + = 1 (ln ) , x x = 1 ( cos 2 ) sin 2 , 2 − = x x 以下的例子中 为任意常数 1 (ln ) . x x + = 1 ( cos2 ) sin2 . 2 − + = x x 一个函数的原函数是不是只有一个呢？ 1. C 2. C 3. 1 ( cos2 1) sin2 , 2 − + = x x C C －3