11.2解一元一次方程（一)合并同类项与移项我们已经知道，直接利用等式的基本性质可以解简单的方程，本节重点讨论如何利用“合并同类项”和“移项”解一元一次方程.约公元820年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》“对消”与“还原”是什么意思呢？我们先讨论下面的内容，然后再回答这个问题问题1某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍.前年这个学校购买了多少台计算机？设前年购买计算机x台.可以表示出：去年购买计算机2z台，今年购买计算机4元台.根据问题中的相等关系：前年购买量十去年购买量十今年购买量=140台，列得方程+2+4r=140.把含有工的项合并同类项，得7=140.下面的框图表示了解这个方程的流程：回顾本题列方程+2+4x=140的过程，可以发现：合并同类项“总量=各部分量的和”是一个基本的相7r=140等关系。【系数化为1t=20由上可知，前年这个学校购买了20台计算机10第十一章一元一次方程
书 !"#$%#&#'() １１．２ 解一元一次方程 （一） ———合并同类项与移项 我们已经知道，直接利用等式的基本性质可以解简单的方程，本节重点讨 论如何利用 “合并同类项”和 “移项”解一元一次方程． 约公元８２０年，中亚细亚数学家阿尔 花拉子米写了一本代数书，重点论 述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为 《对消与还原》．“对消”与 “还原” 是什么意思呢？我们先讨论下面的内容，然后再回答这个问题． 问题１ 某校三年共购买计算机１４０台，去年购买数量是前年的２倍，今 年购买数量又是去年的２倍．前年这个学校购买了多少台计算机？ 设前年购买计算机狓台．可以表示出：去年购买计算机２狓台，今年购买 计算机４狓台．根据问题中的相等关系：前年购买量＋去年购买量＋今年购买 量＝１４０台，列得方程 狓＋２狓＋４狓＝１４０． 把含有狓的项合并同类项，得 ７狓＝１４０． 回顾本题列方程 的 过 程，可 以 发 现： “总量＝各部分量的 和”是一个基本的相 等关系． 下面的框图表示了解这个方程的流程： 狓＋２狓＋４狓＝１４０ ↓ 合并同类项 ７狓＝１４０ ↓系数化为１ 狓＝２０ 由上可知，前年这个学校购买了２０台计算机． ０１
思考上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？例1角解下列方程：5(1) 2x-2x=6-8;(2)7x-2.5x+3x-1.5r=-15×4-6×3解：（1）合并同类项，得1-222系数化为1，得x=4.（2）合并同类项，得6x=-78.系数化为1，得x=-13.例2有一列数，按一定规律排列成1，一3，9，一27，81，一243，其中某三个相邻数的和是一1701，这三个数各是多少？分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：后面的数是它前面的数与一3的乘积，如果三个相邻数中的第1个记为工，则后两个数分别是一3元，9元.解：设所求三个数分别是，一3元，9元.由三个数的和是一1701，得x—3+9r=-1701.知道三个数中合并同类项，得的某个，就能知道7x=-1 701.另两个吗？系数化为1，得r=-243.所以—3r-729,9x=—2 187.答：这三个数是一243，729，一2187.—元一次方程11第十一章
!"#$%#&#'() 上面解方程中 “合并同类项”起了什么作用？ 例１ 解下列方程： （１）２狓－５ ２狓＝６－８； （２）７狓－２．５狓＋３狓－１．５狓＝－１５×４－６×３． 解：（１）合并同类项，得 －１ ２狓＝－２． 系数化为１，得 狓＝４． （２）合并同类项，得 ６狓＝－７８． 系数化为１，得 狓＝－１３． 例２ 有一列数，按一定规律排列成１，－３，９，－２７，８１，－２４３，.．其 中某三个相邻数的和是－１７０１，这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：后面的数 是它前面的数与－３的乘积．如果三个相邻数中的第１个记为狓，则后两个数 分别是－３狓，９狓． 解：设所求三个数分别是狓，－３狓，９狓． 由三个数的和是－１７０１，得 知道三个数中 的某个，就能知道 另两个吗？ 狓－３狓＋９狓＝－１７０１． 合并同类项，得 ７狓＝－１７０１． 系数化为１，得 狓＝－２４３． 所以 －３狓＝７２９， ９狓＝－２１８７． 答：这三个数是－２４３，７２９，－２１８７． １１
练习1.解下列方程：(2)%+3元=7;（1)5r2r=9;22（3）—3+0.5r=10；(4)7x—4.5r=2.5×3—5.2.某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年的总产值为550万元，前年的产值是多少？问题2把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本：如果每人分4本，这批书的总数则还缺25本：这个班有多少学生？有几种表示法？它们之间有什么关系？本题哪个相等设这个班有x名学生，关系可作为列方程每人分3本，共分出3.r本，加上剩余的20的依据呢？本，这批书共（3.十20）本，每人分4本，需要4r本，减去缺的25本，O?这批书共（4元一25）本这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系列得方程3+20=4r—25思考方程3z十20=4r一25的两边都有含的项（3x与4x）和不含字母的常数项（20与一25），怎样才能使它向=a（常数）的形式转化呢？为了使方程的右边没有含工的项，等号两边减41；为了使左边没有常数项，等号两边减20.利用等式的性质1，得3x—4x=—25—20.上面方程的变形，相当于把原方程左边的20变为一20移到右边，把右边的4变为一4r移到左边.把某项从等式一边移到另一边时有什么变化？像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项12第十一章一元一次方程
!"#$%#&#'() １．解下列方程： （１）５狓－２狓＝９； （２）狓 ２＋３狓 ２＝７； （３）－３狓＋０．５狓＝１０； （４）７狓－４．５狓＝２．５×３－５． ２．某工厂的产值连续增长，去年是前年的１．５倍，今年是去年的２倍，这三年的 总产值为５５０万元．前年的产值是多少？ 这批书的总数 有几种表示法？它 们之 间 有 什 么 关 系？本题哪个相等 关系可作为列方程 的依据呢？ 问题２ 把一些图书分给某班学生阅读，如 果每人分３本，则剩余２０本；如果每人分４本， 则还缺２５本．这个班有多少学生？ 设这个班有狓名学生． 每人分３本，共分出３狓本，加上剩余的２０ 本，这批书共 （３狓＋２０）本． 每人分４本，需要４狓本，减去缺的２５本， 这批书共 （４狓－２５）本． 这批书的总数是一个定值，表示它的两个式 子应相等，根据这一相等关系列得方程 ３狓＋２０＝４狓－２５． 方程３狓＋２０＝４狓－２５的两边都有含狓的项（３狓与４狓）和不含字母的 常数项（２０与－２５），怎样才能使它向狓＝犪（常数）的形式转化呢？ 为了使方程的右边没有含狓的项，等号两边减４狓；为了使左边没有常数 项，等号两边减２０．利用等式的性质１，得 ３狓－４狓＝－２５－２０． 上面方程的变形，相当于把原方程左边的２０变为－２０移到右边，把右边 的４狓变为－４狓移到左边．把某项从等式一边移到另一边时有什么变化？ 像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． ２１
下面的框图表示了解这个方程的流程3+20=4—25移项3x—4x=—25—20回顾本题列方程合并同类项的过程，可以发现：-45文二“表示同一个量的两个系数化为1不同的式子相等”是一个基本的相等关系.x=45由上可知，这个班有45名学生，思考上面解方程中“移项”起了什么作用？解方程时经常要“合并同类项”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并同类项”和“移项”早在一于多年前，数学家阿尔-花拉子米就已经对“合并同类项”和“移项”非常重视了。例3解下列方程：(1)3+7=32—2;2+1.(2) x-3=解：（1）移项，得3+2x=32—7.D合并同类项，得5.=25.系数化为1，得r=5.（2）移项，得3=1+3.2合并同类项，得12=4.第十一章—元一次方程13
!"#$%#&#'() 下面的框图表示了解这个方程的流程． 回顾本题列方程 的 过 程，可 以 发 现： “表示同一个量的两个 不同的式子相等”是 一个基本的相等关系． ３狓＋２０＝４狓－２５ ↓ 移项 ３狓－４狓＝－２５－２０ ↓ 合并同类项 －狓＝－４５ 系数化为 ↓ １ 狓＝４５ 由上可知，这个班有４５名学生． 上面解方程中 “移项”起了什么作用？ 解方程时经常要 “合并同类项”和 “移项”，前面提到的古老的代数书中 的 “对消”和 “还原”，指的就是 “合并同类项”和 “移项”．早在一千多年 前，数学家阿尔 花拉子米就已经对 “合并同类项”和 “移项”非常重视了． 例３ 解下列方程： （１）３狓＋７＝３２－２狓； （２）狓－３＝３ ２狓＋１． 解：（１）移项，得 ３狓＋２狓＝３２－７． 合并同类项，得 ５狓＝２５． 系数化为１，得 狓＝５． （２）移项，得 狓－３ ２狓＝１＋３． 合并同类项，得 －１ ２狓＝４． ３１
系数化为1，得=-8.例4某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t.新、旧工艺的废水排量之比为2：5，两种工艺的废水排量各是多少？分析：因为新、旧工艺的废水排量之比为2：5，所以可设它们分别为2zt和5rt，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程，解：设新、旧工艺的废水排量分别为2元t等号两边代表哪和5t.个数量？根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得5元—200=2x+100.移项，得5x—2x=100+200.合并同类项，得3元=300.系数化为1，得=100.所以2x=200,5=500.答：新、旧工艺产生的废水排量分别为200t和500t.练习1.解下列方程：(1)6r-7=4r-5;1.3(2)-6=42.2r2.王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8kg，李丽平均每小时采摘7kg.采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25kg给了李丽，这时两人的樱桃一样多，她们采摘用了多少时间？14第十一章一元一次方程
!"#$%#&#'() 系数化为１，得 狓＝－８． 例４ 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的 最大量还多２００ｔ；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少１００ｔ．新、 旧工艺的废水排量之比为２∶５，两种工艺的废水排量各是多少？ 分析：因为新、旧工艺的废水排量之比为２∶５，所以可设它们分别为２狓ｔ 和５狓ｔ，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程． 等号两边代表哪 个数量？ 解：设新、旧工艺的废水排量分别为２狓ｔ 和５狓ｔ． 根据废水排量与环保限制最大量之间的关 系，得 ５狓－２００＝２狓＋１００． 移项，得 ５狓－２狓＝１００＋２００． 合并同类项，得 ３狓＝３００． 系数化为１，得 狓＝１００． 所以 ２狓＝２００， ５狓＝５００． 答：新、旧工艺产生的废水排量分别为２００ｔ和５００ｔ． １．解下列方程： （１）６狓－７＝４狓－５； （２）１ ２狓－６＝３ ４狓． ２．王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘８ｋｇ，李丽平均每小时采摘 ７ｋｇ．采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出０．２５ｋｇ给了李丽，这时两人的樱 桃一样多．她们采摘用了多少时间？ ４１