11.1.2等式的性质我们可以直接看出像4x一24，3十1=3这样的简单方程的解，但是仅靠观察来解比较复杂的方程是困难的．因此，我们还要讨论怎样解方程．方程是含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来看看等式有什么性质像m十n=n十m，十2z=3z，3×3+1=5×2，3z+1=5y这样的式子都是等式.我们可以用α一b表示一般的等式请看图11.1-1，由它你能发现什么规律？e图11.1-1我们可以发现，如果在平衡的天平的两边都加（或减）同样的量，天平还保持平衡等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质，等式的性质1等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等如果a=b，那么a士c=b士c.请看图11.1-2，由它你能发现什么规律？x3+3图11.1-2等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等如果a=b，那么ac=bc；6如果a=b（c0)，那么=CC5第十一章一元一次方程
!"#$%#&#'() １１．１．２ 等式的性质 我们可以直接看出像４狓＝２４，狓＋１＝３这样的简单方程的解，但是仅靠 观察来解比较复杂的方程是困难的．因此，我们还要讨论怎样解方程．方程是 含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来看看等式有什么性质． 像犿＋狀＝狀＋犿，狓＋２狓＝３狓，３×３＋１＝５×２，３狓＋１＝５狔这样的式子， 都是等式．我们可以用犪＝犫表示一般的等式． 请看图１１．１１，由它你能发现什么规律？ 图１１．１１ 我们可以发现，如果在平衡的天平的两边都加 （或减）同样的量，天平还 保持平衡． 等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质． 等式的性质１ 等式两边加 （或减）同一个数 （或式子），结果仍相等． 如果犪＝犫，那么犪±犮＝犫±犮． 请看图１１．１２，由它你能发现什么规律？ ×3 ÷3 图１１．１２ 等式的性质２ 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍 相等． 如果犪＝犫，那么犪犮＝犫犮； 如果犪＝犫 （犮≠０），那么犪 犮＝犫 犮． ５
利用等式的性质解下列方程：例21(1）+7=26；(2）—5元=20：(3)5=4.分析：要使方程工十7=26转化为=α（常数）的形式，需去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减7就得出的值．你可以类似地考虑另两个方程如何转化为工一α的形式解：（1）两边减7，得#+7—7=26-7.于是r=19.（2）两边除以一5，得解以工为未知数的方程，就是把方程—5元_20逐步转化为r=a（常-5-5 数）的形式，等式的于是性质是转化的重要x=-4.依据.（3）两边加5，得15十5=4十5化简，得1=9.3两边乘一3，得x=-27.一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代人原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等，例如，1将{=一27代人方程—5=4的左边，得1X(-27)—53=9-5=41方程的左右两边相等，所以工二一27是方程一5=4的解3°6第十一章一元一次方程
!"#$%#&#'() 例２ 利用等式的性质解下列方程： （１）狓＋７＝２６； （２）－５狓＝２０； （３）－１ ３狓－５＝４． 分析：要使方程狓＋７＝２６转化为狓＝犪 （常数）的形式，需去掉方程左 边的７，利用等式的性质１，方程两边减７就得出狓的值．你可以类似地考虑另 两个方程如何转化为狓＝犪的形式． 解：（１）两边减７，得 狓＋７－７＝２６－７． 解以狓 为未知数 的方程，就是把方程 逐步转化为狓＝犪 （常 数）的形式，等式的 性 质 是 转 化 的 重 要 依据． 于是 狓＝１９． （２）两边除以－５，得 －５狓 －５＝２０ －５． 于是 狓＝－４． （３）两边加５，得 －１ ３狓－５＋５＝４＋５． 化简，得 －１ ３狓＝９． 两边乘－３，得 狓＝－２７． 一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能 否使方程的两边相等．例如， 将狓＝－２７代入方程－１ ３狓－５＝４的左边，得 －１ ３×（－２７）－５ ＝９－５＝４． 方程的左右两边相等，所以狓＝－２７是方程－１ ３狓－５＝４的解． ６
练习利用等式的性质解下列方程并检验：(1)r-5=6;(2)0.3x=45：1(4) 2-(3)5r+4=0;-31习题11.1复习巩固1.列等式表示：（1）比a大5的数等于8；（2）6的三分之一等于9第1题是把文字语（3）的2倍与10的和等于18言“翻译”成等式（4）工的三分之一减V的差等于6：（5）比a的3倍大5的数等于a的4倍；（6）比b的一半小7的数等于a与b的和2.列等式表示：（1）加法交换律：（2）乘法交换律；（3）分配律：（4）加法结合律3.=3，工=0，工=一2，各是下列哪个方程的解？(1)5r+7=7-2r(2)6r—8=8r—4;(3)3r-2=4+x=294.用等式的性质解下列方程：1(2)2++2=6;(1)-4=29:（3)3x+1=4;(4）4r-2-2.综合运用列方程（第5~10题）.45.某校七年级1班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的一一多3人，这个班有男生多少人？6.把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖的学生有多少人？第十一章1—元一次方程
书 !"#$%#&#'() 利用等式的性质解下列方程并检验： （１）狓－５＝６； （２）０．３狓 ＝４５； （３）５狓＋４＝０； （４）２－１ ４狓＝３． 习题１１．１ １．列等式表示： 第１题是把文字语 言 “翻译”成等式． （１）比犪大５的数等于８； （２）犫的三分之一等于９； （３）狓的２倍与１０的和等于１８； （４）狓的三分之一减狔的差等于６； （５）比犪的３倍大５的数等于犪的４倍； （６）比犫的一半小７的数等于犪与犫的和． ２．列等式表示： （１）加法交换律； （２）乘法交换律； （３）分配律； （４）加法结合律． x -4 = 2 9 ３．狓＝３，狓＝０，狓＝－２，各是下列哪个方程的解？ （１）５狓＋７＝７－２狓； （２）６狓－８＝８狓－４； （３）３狓－２＝４＋狓． ４．用等式的性质解下列方程： （１）狓－４＝２９； （２）１ ２狓＋２＝６； （３）３狓＋１＝４； （４）４狓－２＝２． 列方程（第５～１０题）． ５．某校七年级１班共有学生４８人，其中女生人数比男生人数的４ ５多３人，这个班有 男生多少人？ ６．把１４００元奖学金按照两种奖项奖给２２名学生，其中一等奖每人２００元，二等奖 每人５０元．获得一等奖的学生有多少人？ ７
7.今年上半年某镇居民人均可支配收入为5109元，比去年同期增长了8.3%，去年同期这项收入为多少元？8.一辆汽车已行驶了12000km，计划每月再行驶800km，几个月后这辆汽车将行驶20800km？9.圆环形状如图所示，它的面积是200cm，外沿大圆的半径是10cm，内沿小圆的半径是多少？10.七年级1班全体学生为地震灾区共捐款428元，七年级2班每个学生捐款10元，七年级1班所捐款数比七年级2班少22元，两班学生人数相同，每班有多少学生？（第9题）拓广探索11.一个两位数个位上的数是1，十位上的数是r.把1与r对调，新两位数比原两位数小18，工应是哪个方程的解？你能想出工是几吗？阅读与思考“方程”史话我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之间有确定的联系，这种联系常常表现为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出来就是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程，人们对方程的研究可以上溯到很早以前.公元820年左右，中亚细亚的数学家阿尔花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学的发展产生了很大影响在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们17世纪时，法国数学家笛卡儿最早提出用工，y，这样的字母表示未知数，把这些字母与普通数字同样看待，用运算符号和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式。后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如5r十7=16，a2一4=0，3r十4y=5等中国人对方程的研究有悠久的历史：汉语中“方程”一词最初源于讨论含多个未知数的问题，著名中国古代数学著作《九章算术》大约成书于公元前200～前50年，其中有专门以“方程”命名的一章，其中以一些实际应用间题为例，给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法.中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有8第十一章一元一次方程
!"#$%#&#'() ７．今年上半年某镇居民人均可支配收入为５１０９元，比去年同期增长了８．３％，去年 同期这项收入为多少元？ ８．一辆汽车已行驶了１２０００ｋｍ，计划每月再行驶８００ｋｍ，几个 月后这辆汽车将行驶２０８００ｋｍ？ （第９题） ９．圆环形状如图所示，它的面积是２００ｃｍ２，外沿大圆的半径 是１０ｃｍ，内沿小圆的半径是多少？ １０．七年级１班全体学生为地震灾区共捐款４２８元，七年级２ 班每个学生捐款１０元，七年级１班所捐款数比七年级２班 少２２元．两班学生人数相同，每班有多少学生？ １１．一个两位数个位上的数是１，十位上的数是狓．把１与狓对调，新两位数比原两 位数小１８，狓应是哪个方程的解？你能想出狓是几吗？ “方程”史话 我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之 间有确定的联系，这种联系常常表现为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出来就 是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程． 人们对方程的研究可以上溯到很早以前．公元８２０年左右，中亚细亚的数学家阿尔 花拉子米曾写过一本名叫 《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学 的发展产生了很大影响． 在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们．１７世 纪时，法国数学家笛卡儿最早提出用狓，狔，狕这样的字母表示未知数，把这些字母与普通 数字同样看待，用运算符号和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式．后来 经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如５狓＋７＝１６，狓２－４＝０， ３狓＋４狔＝５等． 中国人对方程的研究有悠久的历史．汉语中 “方程”一词最初源于讨论含多个未知数 的问题，著名中国古代数学著作 《九章算术》大约成书于公元前２００～前５０年，其中有 专门以 “方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的 方程组的解题方法．中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有 ８
使用专门的记法来表示未知数，按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现在代数学中的矩阵非常接近，宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程.这种方法的代表作是数学家季治写的《测圆海镜》（1248年），书中所说的“立天元二”相当于现在的“设未知数工”1859年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation（指含有未知数的等式）一词译为“方程”，即将含有未知李善兰（1811—1882)数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组合称为方程组，至今一直这样沿用.随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要.从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展，但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表达涉及未知数的相等关系：解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式这正是方程的本质所在。饭第十一章一元一次方程9
!"#$%#&#'() 李善兰 （１８１１—１８８２） 使用专门的记法来表示未知数．按照这样的表示法，方程 组被排列成长方形的数字阵，这与现在代数学中的矩阵非 常接近．宋元时期，中国数学家创立了 “天元术”，用 “天元”表示未知数进而建立方程．这种方法的代表作是 数学家李冶写的 《测圆海镜》 （１２４８年），书中所说的 “立天元一”相当于现在的 “设未知数狓”．１８５９年，中国 清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将ｅｑｕａｔｉｏｎ （指含有未知数的等式）一词译为 “方程”，即将含有未知 数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组 合称为方程组，至今一直这样沿用． 随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要．从初等数学 中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断 地发展．但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表 达涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已 知数表达的形式．这正是方程的本质所在． ９