数列的定义和运算 定义1.映射fN→R叫作实数值数列,简称数列 记号:xn:=fn)叫座数列的第n项;铕时也记作x1, X2.X3 ,f{xn}或{xn} 例子:常数列、几何数列:xn=ar^n、差分数列 Xn= yn-yn+、部分和数列:xn=yn+.+yn 定义2(级数的算术运算)设f={xn}和g={yn}是 两各级数其算术运算就是通常的数值函数算术 运算仕g={ Xn tyng},g={Xnyn},fg={xnyn}
6 数列的定义和运算 • 定义1. 映射f: N→R叫作实数值数列, 简称数列. • 记号: xn:=f(n)叫座数列的第n项; f有时也记作x1, x2, x3, …, f={xn}或{xn}. • 例子: 常数列、几何数列: xn=ar^n、差分数列: xn= yn-yn+1、部分和数列: xn= y1+…+yn. • 定义2 (级数的算术运算). 设f ={xn}和g={yn}是 两各级数.其算术运算就是通常的数值函数算术 运算.fg={xn yn}, fg={xn yn}, f/g={xn/yn}
数列的有界性 定义3.数列{xn}分别叫作是有上界的、有下界 的、或有界的,如果存在常数c,使得∨n∈N,分 别有x≤cxn≥C,或xc相应地可以定义无上界 的、无下界的、或无界的 定义4无穷大数列∨c>0,nxn≤c}有限,验证上 vc>0,3n=n(c),使得n>n有>c 无穷小数列:Ve>0,{n|xnE}有限,验证上:Ve>0, 彐n=n(E),使得vn>n有xn<E 例子:xn=n,nl,1/n 定理.无穷大数列和无穷小数列的倒数关系
7 数列的有界性 • 定义3. 数列{xn}分别叫作是有上界的、有下界 的、或有界的, 如果存在常数c, 使得nN, 分 别有xnc xnc,或|xn|c. 相应地可以定义无上界 的、无下界的、或无界的. • 定义4.无穷大数列:c>0,{n||xn|c}有限,验证上: c>0,n0=n0(c),使得n>n0有|xn|>c; • 无穷小数列: e>0,{n||xn|e}有限,验证上: e>0, n0=n0(e),使得n>n0有|xn|<e. • 例子： xn =n, n!, 1/n • 定理. 无穷大数列和无穷小数列的倒数关系
无穷小数列 无穷小数列的初等性质:设{xn}和{yn}是无穷小 数列 (1){Xm}是无穷小数列,当且仅当{xm}是无穷小 数列;(2){xn+yn}是无穷小数列;(3){XnXy}是无 穷小数列;(4)若{xn}是常数列则{xn}是零数列 证明:基本论证方式# 命题:实数x=0当切仅当e>0,×≤c# 这是讨论一些问题时需要用到的常用手段
8 无穷小数列 • 无穷小数列的初等性质: 设{xn}和{yn}是无穷小 数列. (1) {xn} 是无穷小数列,当且仅当{|xn|}是无穷小 数列; (2) {xnyn}是无穷小数列; (3) {xnyn}是无 穷小数列; (4) 若{xn}是常数列, 则{xn}是零数列. • 证明: 基本论证方式. # • 命题: 实数x=0当切仅当e>0, |x|e.# • 这是讨论一些问题时需要用到的常用手段
无穷小数列举例 例1.当q<1时,{qn}是无穷小数列 只要考虑0<q<1的情形此时1/q=1+h,其中h>0 则n>1时,(1+h)n>1+mh因此,q^n<1(1+nh) <1/(nh)以下按定义写 例2当q<1时,{nq^n}是无穷小数列 同样只考虑0<q<1的情形.此时1q=1+h,其中 h>0则n>2时,(1+h)^n>n(n-1)h^2/2.因此, nq^n<2/(n-1)h^2)以下按定义写
9 无穷小数列举例 • 例1. 当|q|<1时, {q^n}是无穷小数列. • 只要考虑0<q<1的情形. 此时1/q=1+h, 其中h>0. 则n>1时, (1+h)^n>1+nh. 因此, q^n<1/(1+nh) <1/(nh).以下按定义写. • 例2.当|q|<1时, {nq^n}是无穷小数列. • 同样只考虑0<q<1的情形. 此时1/q=1+h, 其中 h>0.则n>2时, (1+h)^n>n(n-1)h^2/2. 因此, nq^n<2/((n-1)h^2).以下按定义写
习题五(D 1.证明 H! x1+…+x ∑ k k1+…+km=n k1…k 2证明:对于自然数n>0, 2 1<(13…(2n-) 4n(24…(2n) 2n+1 3.证明 a+ a max(a, b 2 a+b a min(a b 2
10 习题五 (I) • 1. 证明: • 2. 证明: 对于自然数n>0, • 3. 证明: ( ) + + = + + = k k n k m k m n m m m x x k k n x x 1 1 1 1 1 ! ! ! 2 1 1 2 4 (2 ) 1 3 (2 1) 4 1 2 + - n n n n ( ) ( ) 2 2 min , 2 2 max , a b a b a b a b a b a b - - + = - + + =