习题五(I 4.证明:对于任何正实数b和自然数n>1,存在惟 的正实数a使得a^n=b.这个a叫作b的n次算术 方根,记作b或bn 5写出一个数列为无上界,无下界,及无界的定 义 6.证明书上29页上的三个推论 ·7证明下列数列是无穷小数列 2 (3) n+1
11 习题五 (II) • 4. 证明: 对于任何正实数b,和自然数n>1, 存在惟 一的正实数a使得a^n=b. 这个a叫作b的n次算术 方根, 记作 • 5. 写出一个数列为无上界, 无下界,及无界的定 义. • 6. 证明书上29页上的三个推论. • 7. 证明下列数列是无穷小数列: n n b b 或 1/ . ! ;(3) ! 2 ;(2) 1 2 (1) 2 n n n n n n n a n a n n a = = - + =
习题五(ID 8.思考任意多个无穷小和或积的意义应当是什 么?你能够说清楚吗?如果能够讲清楚,相关的 与有限和的关系如何? ·9.根据对于b∈R,b>0,n∈N,n>1,存在惟一的正 实数a使得a^n-b记a=b^(1/m}.(1)请定义正实 数的有理数次幂,并且证明你定义的有理次幂 满足你熟悉的运算律;(2)请证明有理次幂关于 幂的单调性;(3)请定义正实数的实数次幂,并证 明实数次幂满足同样的运算律和单调性. 12
12 习题五 (III) • 8. 思考任意多个无穷小和或积的意义应当是什 么? 你能够说清楚吗? 如果能够讲清楚, 相关的 与有限和的关系如何? • 9. 根据对于bR, b>0, nN, n>1, 存在惟一的正 实数a使得a^n=b. 记a=b^{1/n}. (1) 请定义正实 数的有理数次幂, 并且证明你定义的有理次幂 满足你熟悉的运算律; (2) 请证明有理次幂关于 幂的单调性; (3) 请定义正实数的实数次幂, 并证 明实数次幂满足同样的运算律和单调性
§2数列极限 数列极限的定义 收敛数列的性质 几何级数和循环小数 收敛数列的序性质 举例 · Stolz定理
13 §2 数列极限 • 数列极限的定义 • 收敛数列的性质 • 几何级数和循环小数 • 收敛数列的序性质 • 举例 • Stolz定理
数列极限的定义 定义:数列{an}叫作收敛的,如果存在L∈R使得 αn=an-L是无穷小数列也说{an}收敛到或有极限 L记作limn→anL或anL(n+∞),读作an当 n趋于+∞时的极限是L e-n叙述:Ⅴε>0,彐1=n()使得Wn>m,有anL|<e 如果一个数列不收敛,就说概数列发散 发散到无穷的数列:+:Vc>0,3n=n(c),使得Vn n,有an>C;-o:vc>0,3mo=n(c),使得n>n,有an C,o:Vc>0,3n=n(c),使得vn>m,有an>c
14 数列极限的定义 • 定义: 数列{an}叫作收敛的,如果存在LR,使得 an=an-L是无穷小数列.也说{an}收敛到或有极限 L. 记作limn→ an =L, 或 an→L (n→+), 读作an当 n趋于+时的极限是L. • e-n0叙述: e>0, n0 =n0(e)使得n>n0, 有|an-L|<e. • 如果一个数列不收敛, 就说概数列发散. • 发散到无穷的数列: +: c>0,n0 =n0(c),使得n >n0,有an>c; -:c>0,n0 =n0(c),使得n>n0,有an< -c; : c>0,n0 =n0(c),使得n >n0, 有|an|>c