6第七章定积分的应用和推广87.1.5进一步应用的例子(1)近似计算我们回忆一下，设于为[a,引]上的二次连续可微函数，则由Taylor展开的应用可以证明，If(r) -l(r)/≤M(r-a)(b-a), e[a,b),其中，M=max,If"(r)l，且TEla.b(a) = (a) + )二((μ- a), E[a,4 b-a由此我们得到如下的积分估计M(b-a)?f(r)dr1(a)da≤2-M(r-a)(b-r)d =12这就是f在[a,b上的积分用梯形面积逼近的误差公式我们考虑函数f=loga在[1,n]上的积分.令log rdr = rlog aln -An=da = n log n - n + 1,g1og2)+og2og3)og(+Bn=1= logn! --logn,2根据上面的估计，有11log rdr -(log k + 1og(k + 1)12k2令Cn=AnBn，由f为凸函数知Cn>0,Cn关于n是递增的从而(+2元110<Cn<+1)=N612k=1这说明极限limCn=C存在，且10<C-Cnk=n111.1112+3L=125元2+(n+1)(n+2)n(n+1)下面我们来求极限C的值.由定义，有1Cn=An-Bn=nlogn-n+1-logn!++ilogn
6 1ÔÙ ½È©A^Úí2 §7.1.5 ?ÚA^~f (1) CqO ·£Áe, f [a, b] þgëY¼ê, Kd Taylor ÐmA^ ±y², |f(x) − l(x)| ≤ 1 2 M(x − a)(b − x), x ∈ [a, b], Ù¥, M = max x∈[a,b] |f 00(x)|, l(x) = f(a) + f(b) − f(a) b − a (x − a), x ∈ [a, b]. dd·XeÈ©O Z b a f(x) dx − Z b a l(x)dx ≤ 1 2 M Z b a (x − a)(b − x)dx = 1 12 M(b − a) 2 . ùÒ´ f 3 [a, b] þÈ©^F/¡È%CØ úª. ·Ä¼ê f = log x 3 [1, n] þÈ©. - An = Z n 1 log xdx = x log x| n 1 − Z n 1 dx = n log n − n + 1, Bn = 1 2 (log 1 + log 2) + 1 2 (log 2 + log 3) + · · · + 1 2 (log(n − 1) + log n) = log n! − 1 2 log n, âþ¡O, k Z k+1 k log xdx − 1 2 (log k + log(k + 1)) ≤ 1 12 1 k 2 . - Cn = An − Bn, d f à¼ê Cn > 0, Cn 'u n ´4O. l 0 < Cn < 1 12 nX−1 k=1 1 k 2 < 1 12 (1 +X∞ k=1 ( 1 k − 1 k + 1 )) = 1 6 , ù`²4 limn→∞ Cn = C 3, 0 < C − Cn < 1 12 X∞ k=n 1 k 2 < 1 12 [ 1 n2 + 1 n(n + 1) + 1 (n + 1)(n + 2) + · · · ] = 1 12 ( 1 n2 + 1 n ). e¡·5¦4 C . d½Â, k Cn = An − Bn = n log n − n + 1 − log n! + 1 2 log n,
787.1定积分的应用因此n!=el-Cnnn+ie由Wallis公式，(nl)222n1lim=V元,(2n)！V斤把n!和（2n)！的表达式代入，有e2(1-Cn)n2n+1e-2n 22nel-V元=limV400e1-C2n(2n)(2n+±)n这就得到n！的如下表示)"eC-Cn,n!=V2元n(（Stirling公式）其中111<eC-Cn <e(+)<1+(n>1)+12n+10n2(2）元为什么为无理数历史上，第一个被发现的无理数是V2，这是毕达哥拉斯学派发现的，这个发现在当时引起了很大的恐慌.1761年，J.Lambert证明了元为无理数.1947年，由INiven给出了π为无理数的一个简单证明，下面我们给出的证明基本上就是Niven提出的.证明用的是反证法.假设元为有理数，元=号：0,6为互素正整数.令1r"(a-br)",re[0,],f(r) =n!其中n为待定正整数.我们有(1) f(α)=f(元-a), E[0,元l;(2)f()(0)为整数,k=1,2,...,2n;(3）()(）为整数,k=1,2....,2n令F() = f(μ) - f(2)(r) + f(4)(r) - ... + (-1)n f(2n)(r),则显然有F"(r) + F(μ) = f(r),因此f(r) sin rda = [F(a) sina - F(a) cos al = F(π) + F(0) E Z
§7.1 ½È©A^ 7 Ïd n! = e 1−Cn n n+ 1 2 e −n . d Wallis úª, limn→∞ (n!)22 2n (2n)! 1 √ n = √ π, r n! Ú (2n)! Lª\, k √ π = limn→∞ e 2(1−Cn)n 2n+1e −2n e 1−C2n (2n) (2n + 1 2 ) 2 2n √ n = e 1−c √ 2 , ùÒ n! XeL« n! = √ 2πn ( n e ) n e C−Cn , ( Stirling úª), Ù¥ 1 < eC−Cn < e 1 12 ( 1 n2 + 1 n ) < 1 + 1 12n + 1 10n2 , (n > 1). (2) π oÃnê. {¤þ, 1uyÃnê´ √ 2, ù´.x.dÆuy, ùuy 3Úå é. 1761 c, J. Lambert y² π Ãnê. 1947 c, d I. Niven Ñ π Ãnê{üy², e¡·Ñy²Ä þÒ´ Niven JÑ. y²^´y{. b π knê, π = a b , a, b pê. - f(x) = 1 n! x n (a − bx) n , x ∈ [0, π], Ù¥ n ½ê. ·k (1) f(x) = f(π − x), x ∈ [0, π]; (2) f (k) (0) ê, k = 1, 2, . . . , 2n; (3) f (k) (π) ê, k = 1, 2, . . . , 2n. - F(x) = f(x) − f (2)(x) + f (4)(x) − · · · + (−1)n f (2n) (x), Kw,k F 00(x) + F(x) = f(x), Ïd Z π 0 f(x) sin xdx = [F 0 (x) sin x − F(x) cos x] π 0 = F(π) + F(0) ∈ Z.