《数学分析》教案第九章定积分（14学时）1定积分概念教学目的要求：掌握定积分的概念和几何意义，会用定义计算定积分教学重点、难点：重点定积分的定义，用定义计算定积分难点不定积分定义的理解，用定义计算定积分学时安排：2学时教学方法：讲授法教学过程：一问题的提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。先看两个实例1.曲边梯形的面积设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)≥0。则由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b以及x轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。在区间[a,b]内任取n-1个分点，依次为a=x<x,<x2<..<x-- <x,=b它们将区间[a,b]分割成n个小区间[x-,]，i=1,2,,n。记为Ax，即x,=[x-,x,]，i=1,2,,n。并用Ax,表示区间[x-,x,]的长度，记=max(Ax,x2,,Ax,)，再用直线x=x,，i=1,2,,n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形（如上右图）。在每个小区间[x-1,x]，i=1,2,",n上任取一点5,，i=1,2,,n，作以f(5）为高，△x,为底的小矩形，其面积为f(5）△x,，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于f(x)连续，它在每个小区间[x-1,x,]上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的f(5,)Ax,。从而小曲边梯形的面积。于是，该曲边梯形面积的近似值为S1S= limf(5)Ax,2.变力所作的功W设质点受力F的作用沿x轴由点a移动到点b，并设F处处平行于x轴（如下图），1同上述，有W~ZF(5)Ax，而W=limZF(5)Ax, 170ial二定积分的定义定义1设闭区间[a.b]内有n-1个点，依次为a=xo<x<x<..<x-I<x,=b
《数学分析》教案 第九章 定积分 （14 学时） §1 定积分概念 教学目的要求： 掌握定积分的概念和几何意义，会用定义计算定积分. 教学重点、难点：重点定积分的定义，用定义计算定积分. 难点不定积分定义的理解, 用定义计算定积分. 学时安排: 2 学时 教学方法: 讲授法. 教学过程: 一 问题的提出 不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊 和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。先看两个实例。 1．曲边梯形的面积 设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f (x) 0 。则由曲线 y = f (x)，直线 x = a ， x = b 以及 x 轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何 曲线边界图形的面积的基础）。 在区间 [a,b] 内任取 n −1 个分点，依次为 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b 它们将区间 [a,b] 分割成 n 个小区间 [ , ] i 1 i x x − ，i = 1,2, , n 。记为 i x ，即 [ , ] i i 1 i x x x = − ， i = 1,2, , n 。 并用 i x 表示区间 [ , ] i 1 i x x − 的长度，记 max{ , , , } 1 2 n T = x x x ，再用直线 i x = x ，i = 1,2, ,n −1 把曲 边梯形分割成 n 个小曲边梯形（如上右图）。在每个小区间 [ , ] i 1 i x x − ， i = 1,2, , n 上任取 一点 i ， i = 1,2, , n ，作以 ( ) i f 为高， i x 为底的小矩形，其面积为 ( ) i f i x ，当分点不断增多，又分割得较细 密时，由于 f (x) 连续，它在每个小区间 [ , ] i 1 i x x − 上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的 小曲边梯形的面积。于是，该 曲边梯形面积的近似值为 = n i i i S f x 1 ( ) 。从而 i n i i T S = f x = → lim ( ) 1 0 。 2．变力所作的功 W 设质点受力 F 的作用沿 x 轴由点 a 移动到点 b ，并设 F 处处平行于 x 轴（如下图）， 同上述，有 i n i i W F x = ( ) 1 ，而 i n i i T W = F x = → lim ( ) 1 0 。 二 定积分的定义 定义 1 设闭区间[ a.b ]内有 n −1 个点，依次为 a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b
《数学分析》教案将闭区间[a.b]分成n个小区间，记为Ax,=[x-1,x,]，i=1,2,,n，简记为T={xo,X,",x,」，或T={Ari,Ax2,",Ax,并称为区间[a.b]的一个分割。同时也用Ax,=x,-xi-1，i=1,2,…,n，并记=max[Ax,}称为分割T的模。定义2设f(x)是定义在[a.b]上的一个函数，对于[a.b]的一个分割T=(△x,△xz,,Ax,}，任取点5,eAx，i=1,2,…,n，并作和式f(5)Ax,。称此和式为f(x)在[a.b)关于分割T的一个积分和，也称i=l黎曼和。（注：积分和既与分割T有关，也与点5,的取法有关）。又设J是一个确定的实数，若对任给的s>0，总存在8>0，使得对[a.b]的任意分割T，以及5,E△x,i=1,2,,n，只要<8，就有2 (5,)Ax, -.S则称函数f(x)在[a.b]上可积或黎曼可积。数J称为函数f(x)在[a.b]上的定积分或黎曼积分，记作：J = [f(x)dx其中f(x）称为被积函数，x称为积分变量，【a.b]称为积分区间，f(x)dx称为被积式，a,b分别称为积分的下限和上限。定积分的几何意义：定积分的几何意义就是-...-由连续曲线y=f(x)≥0及直线x=a,x=b,y=0所围曲边梯形的面积。注：定积分[f(x)dx的值只与被积函数f(x)及积分区间[a.b]有关，而与积分变量所用的符号无关。例1求由抛物线y=x2，xe[0,1]，及y=0所围平面图形的面积。解（在用定义求定积分时，一般都要选用特殊的分割T和特殊的点5,），如下图：取分割T为n等份，并取,=/二1，i=1,2,,n。则所为面积为：h(i-1)2 =lim (n-1)n(2n-1) _S = lim Z(-l)2.1=lim -6n33nn课堂练习：课后记：1、在讲完定积分的定义后,进一步得出[" f(x)dx=lim(5,)Ax,分析F(5,)Ax,与5,有关,与分
《数学分析》教案 将闭区间[ a.b ]分成 n 个小区间，记为 [ , ] i i 1 i x x x = − ， i = 1,2, , n ，简记 为 { , , , } 0 1 n T = x x x ，或 { , , , } 1 2 n T = x x x 并称为区间[ a.b ]的一个分割。同时也用 i = i − i−1 x x x ， i = 1,2, , n ，并记 max{ } 1 i i n T = x 称为分割 T 的模。 定义 2 设 f (x) 是定义在[ a.b ]上的一个函数，对于[ a.b ]的一个分割 { , , , } 1 2 n T = x x x ，任取点 i i x ，i = 1,2, , n ，并作和式 i n i i f x = ( ) 1 。称此和式为 f (x) 在[ a.b ]关于分割 T 的一个积分和，也称 黎曼和。（注：积分和既与分割 T 有关，也与点 i 的取法有关）。 又设 J 是一个确定的实数，若对任给的 0 ，总存在 0 ，使得对[ a.b ]的任意分割 T，以及 i i x ， i = 1,2, , n ，只要 T ，就有 − = n i i i f x J 1 ( ) 。 则称函数 f (x) 在[ a.b ]上可积或黎曼可积。数 J 称为函数 f (x) 在[ a.b ]上的定积分或黎曼积分，记作： = b a J f (x)dx 其中 f (x) 称为被积函数， x 称为积分变量，[ a.b ]称为积分区间， f (x)dx 称为被积式， a,b 分别称为积分的 下限和上限。 定积分的几何意义：定积分的几何意义就是-由连续曲线 y = f (x) 0 及直线 x = a, x = b, y = 0 所 围曲边梯形的面积。 注：定积分 b a f (x)dx 的值只与被积函数 f (x) 及积分区间[ a.b ]有关，而与积分变量所用的符号无关。 例1 求由抛物线 2 y = x ， x [0,1] ，及 y = 0 所围平面图形的面积。 解 （在用定义求定积分时，一般都要选用特殊的分割 T 和特殊的点 i ），如下图： 取分割 T 为 n 等份，并取 i n i −1 = ，i = 1,2, , n 。则所为面积为： n n i S n i n 1 ) 1 lim ( 2 1 − = = → = = → − n i n i n 1 2 3 ( 1) 1 lim = 3 1 6 ( 1) (2 1) lim 3 = − − → n n n n n 。 课堂练习： 课后记: 1、在讲完定积分的定义后,进一步得出 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a T i f x dx f x → = = ,分析 i n i i f x = ( ) 1 与 i 有关,与分
《数学分析》教案法T有关,若已知f(x)在区间[a.b]可积,则任一积分和的极限都等于f(x)dx,所以用定义计算定积分可选一极限好求的积分和来计算定积分，为用定义计算定积分做一铺垫，效果不错2、讲清分割、近似求和、取极限是一种数学思维方式，为定积分的应用打基础82牛顿一莱布尼茨公式敦学目的要求：掌握牛顿一莱布尼茨公式及其证明并会用它计算定积分，会用定积分计算极限教学重点、难点：重点记住牛顿一莱布尼茨公式，会用定积分计算极限难点牛顿一莱布尼茨公式的证明，用定积分计算极限学时安排：2学时教学方法：讲授法教学过程：用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。定理9.1若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且J" f(x)dx = F(b)- F(a)这即为牛顿一莱布尼茨公式，也常记为f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a)。注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如F(αx)：在在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(x)=f(x),xE(a,b)。而f(x)只要在在[a,b]上可积即可。注2：本定理对F(x)的要求是多余的。例1利用牛顿一莱布尼茨公式计算下列定积分： ra (a为整（0<a<b);3）"e'dx4) ['sin xdx: 5) x/4-xdx注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。例2利用定积分求极限：lm（+++.+)-Jn+1n+22n【解题要领】利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式课堂练习：P206T1（1）、（3）、（5)：P207T2（1）、（4）。s3可积条件教学目的要求：掌握可积的必要条件和充分条件，会证明可积的必要条件.了解大和、小和的概念。会应用可积准则证明三类函数的可积性，并掌握证明函数可积性的方法逐步具有证明有关可积性问题的能力教学重点、难点：重点理解并熟记可积性定理的内容难点定理9.5和黎曼函数可积性的证明2学时学时安排：
《数学分析》教案 法 T 有关,若已知 f (x) 在区间[ a.b ]可积,则任一积分和的极限都等于 b a f (x)dx ,所以用定义计算定积分可选 一极限好求的积分和来计算定积分,为用定义计算定积分做一铺垫,效果不错. 2、讲清分割、近似求和、取极限是一种数学思维方式，为定积分的应用打基础. §2 牛顿—莱布尼茨公式 教学目的要求： 掌握牛顿—莱布尼茨公式及其证明并会用它计算定积分，会用定积分计算极限. 教学重点、难点：重点记住牛顿—莱布尼茨公式，会用定积分计算极限. 难点牛顿—莱布尼茨公式的证明, 用定积分计算极限. 学时安排: 2 学时 教学方法: 讲授法. 教学过程: 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供 了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。 定理 9.1 若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，且存在原函数 F(x) ，则 f (x) 在 [a,b] 上可积，且 = − b a f (x)dx F(b) F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为 = = − b a b a f (x)dx F(x) F(b) F(a) 。 注 1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如 F(x) ：在在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导， 且 F(x) = f (x), x (a,b) 。而 f (x) 只要在在 [a,b] 上可积即可。 注 2：本定理对 F(x) 的要求是多余的。 例 1 利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分： 1） b a n x dx （n 为整数）； 2） b a x dx 2 （0<a<b）；3） b a x e dx ； 4） 0 sin xdx ；5） − 2 0 2 x 4 x dx . 注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。 例 2 利用定积分求极限： J n n n n + + = + + → + ) 2 1 2 1 1 1 lim ( . 【解题要领】利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。 课堂练习：P206T1（1）、（3）、（5）；P207T2（1）、（4）。 §3 可积条件 教学目的要求： 掌握可积的必要条件和充分条件，会证明可积的必要条件.了解大和、小和的概念. 会应用 可积准则证明三类函数的可积性，并掌握证明函数可积性的方法逐步具有证明有关可 积性问题的能力 教学重点、难点：重点理解并熟记可积性定理的内容. 难点定理 9.5 和黎曼函数可积性的证明. 学时安排: 2 学时
《数学分析》教案教学方法：讲授法教学过程：可积的必要条件定理9.2若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必有界。注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。1当x为有理数例1证明狄利克雷函数D(x）：在[0,1]上有界但不可积。[0，当x为无理数二可积的的充要条件要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。设T=(△x「i=1,2,…,n}为对[a,b]的任一分割。由f(x)在[a,b]上有界知，它在每个△x,上存在上下确界：M,=sup J(x),m,=if (),i=1,2,,n.作和 S(T)-之M,Ax,, s(T)=之m,Ax,izl1=1分别称为f(x）关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给E△x，i=1,2..,n，显然有s(T)≤Zf(5,)Ar,≤S(T)。说明：与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点，的取法无关。定理9.3（可积准则）函数f(x)在[a,b]上可积对V>0，3T，使得S(T)-s(T)<ε。设の,=M,-m，并称为f(x)在△x,上的振幅，有必要时记为の。则有S(T)- s(T)= Zo,Ax, 。i定理9.3'函数f(x)在[a,b]上可积对V>0，T，使得o,Ax,<8。i=l不等式S(T)-s(T)<或の,Ax,<的几何意义：若函数f(x)在[a,b]上可积，则下图中包围曲线isly=f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。三可积函数类定理9.4若函数f(x)为[a,b]上的连续函数，则f(x)在[a,b]上可积。定理9-5若f(x)是区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f(x)在[a,b]上可积
《数学分析》教案 教学方法: 讲授法. 教学过程: 一 可积的必要条件 定理 9.2 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则 f (x) 在 [a,b] 上必有界。 注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。 例1 证明狄利克雷函数 = 当 为无理数 当 为有理数 ， x x ， D x 0 1, ( ) 在 [0，1] 上有界但不可积。 二 可积的的充要条件 要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复 杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉 及定积分的值。 设 T={ i x i = 1,2, ,n }为对[ a ,b]的任一分割。由 f (x) 在[ a ,b]上有界知，它在每个 i x 上存在上、 下确界： i x x i M f x = sup ( ), i x x i m f x = inf ( ) , i = 1,2, , n .作和 = = n i i i S T M x 1 ( ) ， = = n i i i s T m x 1 ( ) ， 分别称为 f (x) 关于分割 T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给 i i x ， i = 1,2 , n ，显然有 s(T) f ( ) x S(T) i i 。 说明：与积分和相比，达布和只与分割 T 有关，而与点 i 的取法无关。 定理 9.3 （可积准则）函数 f (x) 在 [a,b] 上可积 对 0，T ，使得 S(T) − s(T) 。 设 i = Mi − mi ，并称为 f (x) 在 i x 上的振幅，有必要时记为 f i 。则有 i n i i S T − s T = x =1 ( ) ( ) 。 定理 9. 3 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积 对 0，T ，使得 = i n i i x 1 。 不等式 S(T) − s(T) 或 = i n i i x 1 的几何意义：若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则下图中包围曲线 y = f (x) 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。 三 可积函数类 定理 9.4 若函数 f (x) 为 [a,b] 上的连续函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 定理 9-5 若 f (x) 是区间 [a,b] 上只有有限个间断点的有界函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积
《数学分析》教案定理 9.6若f(x)是区间[a,b]上的单调函数，则f(x)在[a,b]上可积。注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。0,x= 0例2试用两种方法证明函数f(x)=11在区间[0,1]上可积。,n=1,2...<XS(n'n+1n证明[方法1]利用定理9-6。[方法2]利用定理9-3'和定理9-5。课后记：1、定理 9.2 的证明中[(5)>M+C,为什么取 M+有些学生还是不清楚,需解释一下,Ax,Ax2、这节课的难点是用可积准则证明可积函数类，为此，我在讲课的过程中引导学生总结规律，得出一般情况下用要证明o,Ax<6，要么证明"の,<s"，要么证明"の,有界<s"，有一定的效果84定积分的性质教学目的要求：掌握定积分的性质及其证明方法，会用定积分的性质及其证明方法证明不等式等有关问题教学重点、难点：重点定积分的性质和证明方法的运用难点利用积分的性质证明问题学时安排：3学时教学方法：讲授法.教学过程：定积分的其本性质性质1若函数f(x)在[a,b]上可积，k为常数，则kf(x)在[a,b]上也可积，且 k(x)dx = kf" f(x)dx。即常数因子可从积分号里提出。（注意与不定积分的不同）性质2若函数f(x)、g(x)都在[α,b]上可积，则f(x)±g(x)在[a,b]上也可积，且有["Lf(x)± g(x)]dx = I" f(x)dx ± [ g(x)dx 。性质 3若函数f(x)、g(x)都在[a,b]上可积，则f(x)·g(x)在[a,b]上也可积。" f(x)g(x)dx + " f(x)dx g(x)dx 。注意：一般地性质4（关于积分区间的可加性）函数f(x)在[a,b]上可积一VcE(a,b)，f(x)在[a,c与[c,b]上都可积，此时有,f(x)dx=[,(x)dx+"f(x)dx规定1当a=b时，f(x)dx=0。规定2 当a>b时，" f(x)dx=-[,f(x)dx。注：有了这个规定后，性质4对a,b,c的任何大小顺序都成立
《数学分析》教案 定理 9.6 若 f (x) 是区间 [a,b] 上的单调函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。 注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。 例2 试用两种方法证明函数 = + = = , 1,2, 1 1 1 , 1 0, 0 ( ) n n x n n x f x 在区间 [0,1] 上可积。 证明 [方法 1] 利用定理 9-6。 [方法 2] 利用定理 9- 3 和定理 9-5。 课后记: 1、定理 9.2 的证明中 ( ) k k M G f x + ,为什么取 k M G x + 有些学生还是不清楚,需解释一下. 2、这节课的难点是用可积准则证明可积函数类，为此，我在讲课的过程中引导学生总结规律，得出一般 情况下用要证明 1 n i i i x = ，要么证明 " " i ，要么证明 "i 有界 T " ，有一定的效果. §4 定积分的性质 教学目的要求： 掌握定积分的性质及其证明方法，会用定积分的性质及其证明方法证明不等式等有关问题. 教学重点、难点：重点定积分的性质和证明方法的运用. 难点利用积分的性质证明问题. 学时安排: 3 学时 教学方法: 讲授法. 教学过程: 一 定积分的其本性质 性质 1 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积， k 为常数，则 kf (x) 在 [a,b] 上也可积，且 = b a b a kf(x)dx k f (x)dx。 即常数因子可从积分号里提出。（注意与不定积分的不同） 性质 2 若函数 f (x) 、 g(x) 都在 [a,b] 上可积，则 f (x) g(x) 在 [a,b] 上也可积，且有 = b a b a b a [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 。 性质 3 若函数 f (x) 、 g(x) 都在 [a,b] 上可积，则 f (x) g(x) 在 [a,b] 上也可积。 注意：一般地 b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 。 性质 4（关于积分区间的可加性） 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积 c (a,b) ， f (x) 在 [a, c] 与 [c,b] 上 都可积，此时有 = + b a c a b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx 。 规定 1 当 a = b 时， = a a f (x)dx 0。 规定 2 当 a b 时， = − b a a b f (x)dx f (x)dx 。 注：有了这个规定后，性质 4 对 a,b, c 的任何大小顺序都成立