《数学分析》教素第二十一章 重积分教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关的数学、物理方面的计算问题；3.了解n重积分的有关概念及计算方法。教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。教学时数：20学时$1二重积分概念矩形域上的二重积分：从曲顶柱体的体积引入，用直线网分割定义二重积分.例 1用定义计算二重积分xyd.用直线网[0,Y:0.1]iXE，（1≤i，j<n)分割该正方形，在每个正方形上取其右上顶点为nn介点.门1773jlim解lim→0n2→0nnn司11n(n + 1)(2n +1). n(n + 1)_ 152.1= limlim62-0 n56台2-1D=可积条件：[a,b; c,d].大和与小和Th 1 e R(D), 台nD-1
《数学分析》教案 - 1 - 第二十一章 重积分 教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积 分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题；3.了解 n 重积分的有关概念及计算方法。 教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累 次积分。 教学时数：20 学时 § 1 二重积分概念 一. 矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 . 定义 二重积分 . 例 1 用定义计算二重积分 .用直线网 分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为 介点 . 解 . 二. 可积条件 : D . 大和与小和. Th 1 ,
《数学分析》教素Th 2J E R(D), 台V>0, 3T, A0,<Th 3f在D上连续，一J在D上可积：Th 4设[a，]c[a,b]，:[α，]→R为[a,]上的可积函数.E=((x,y)Iy=p(), xE[α,p)) C D,（或E=（(xy)lx=y),yE[a.ulCc,dCD）若f在D上有界且在D1E上连续，则f在D上可积，例 2 P217ex2三.一般域上的二重积分：1.定义：一般域上的二重积分2.可求面积图形：用特征函数定义四.二重积分的性质：性质 1Ikf=k[.34性质2关于函数可加性：性质3intDnintD,=，D=D,UD则f在D上可积台f在D,和D,可积，且性质4关于函数单调性：性质5≤I-2 -
《数学分析》教案 - 2 - Th 2 , . Th 3 在 D 上连续 , 在 D 上可积 . Th 4 设 , 为 上的可积函数. D, ( 或 D ) . 若 在 D 上有界 , 且在 D \ 上连续 , 则 在 D 上可积 . 例 2 P217ex2 三． 一般域上的二重积分： 1． 定义： 一般域上的二重积分. 2． 可求面积图形: 用特征函数定义. 四. 二重积分的性质 : 性质 1 . 性质 2 关于函数可加性 . 性质 3 则 在 D 上可积 在 和 可积 , 且 . 性质 4 关于函数单调性 . 性质 5
《数学分析》教素性质 66J≤M=AD<<MAD性质7中值定理：Th若区域D的边界是由有限条连续曲线（=(x)，xE[a,b]或x=w()，yE[c,d])组成，f在D上连续，则在D上可积.例 3去掉积分-dxay中的绝对值。[0.18.]82二重积分的计算化二重积分为累次积分：1.矩形域D=[α,b]x[c,d]上的二重积分：用“体积为幂在势上的积分”推导公式2.简单域上的二重积分：简推公式，一般结果1P219Th9例 1 D:y=2x,x=2y,x+y=3faxdy,解法一P221例3解法二D为三角形，三个顶点为（0,0)，（1,2),(21)，01021axdy=D/-21例 2 1 = 「xe-" dxdy,D:x=0,y=1, y=x.P221例2例3求底半径为R的两直交圆柱所围立体的体积：P222例4.- 3 -
《数学分析》教案 - 3 - 性质 6 . 性质 7 中值定理 . Th 若区域 D 的边界是由有限条连续曲线 ( 或 )组成 , 在 D 上连续 , 则 在 D 上可积 . 例 3 去掉积分 中的绝对值 . § 2 二重积分的计算 二. 化二重积分为累次积分: 1. 矩形域 上的二重积分: 用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式. 2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9. 例 1 , . 解法一 P221 例 3 解法二 为三角形, 三个顶点为 , . 例 2 , . P221 例 2. 例 3 求底半径为 的两直交圆柱所围立体的体积 . P222 例 4
《数学分析》教素S3Green公式：曲线积分与路径无关性Green公式：，闭区域的正面与边界正向的规定搭配：右手螺旋定向，即以右手拇指表示区域的正面（理解为拇指“站立在”区域的正面上），则其余四指（弯曲）表示边界的正向．右手螺旋定向法则还可表述为：人站立在区域的正面的边界上，让区域在人的左方：则人前进的方向为边界的正向．参阅P图21一10若以L记正向边界，则用一L或L-表示反向（或称为负向）边界1.Green公式：Th21.11若函数P和Q在闭区域DCR2上连续，且有连续的一阶偏导数，则有aFaodxay=f.Pdx+Qay,yax其中L为区域D的正向边界.（证）P224aaGreen公式又可记为axaydxdy=f Pdx +QdyQ1.应用举例：对环路积分，可直接应用Green公式。对非闭路积分，常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧例1计算积分ady，其中A（0,r)，B（r,0)．曲线AB为圆周x?+=在第一象限中的部分.P226例1- 4
《数学分析》教案 - 4 - § 3 Green 公式 . 曲线积分与路径无关性 一. Green 公式: 闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示 区域的正面( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 ) 表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界 上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅 P 图 21—10. 若以 L 记正向边界, 则用—L 或 L 表示反向（或称为负向）边界. 1. Green 公式: Th21.11 若函数 P 和 Q 在闭区域 D R 上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有 , 其中 L 为区域 D 的正向边界. ( 证 ) P224 Green 公式又可记为 . 1. 应用举例: 对环路积分, 可直接应用 Green 公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条 线使变成环路积分的技巧. 例 1 计算积分 , 其中 A B . 曲线 AB 为圆周 在第一象限中的部分. P226 例 1
《数学分析》教素解法一（直接计算积分）曲线AB的方程为x-rcost，y=rsit，0st>.方向为自然方向的反向因此2rcos"tdt-axdyf+sin2t24解法二（用Green公式）补上线段BO和OA（O为坐标原点），成闭路设所围区域为D,注意到aD为反向，以及Jeoa=0，有Jeg dy-f, xo-Jeoa oby --[fdxy--r?xdy-ydx，其中L为任一不包含原点的闭区域D例2计算积分I=Jx+y的边界（方向任意）P227例2V解（P和Q在D上有连续的偏P(x,y) =Q(x,y) -2 + 2x2 +x导数).Q-2-x2)+yop,ax(x2+)2apaQdxdy=0于是，I = 4axdy曲线积分与路线无关性：-5-
《数学分析》教案 - 5 - 解法一 ( 直接计算积分 ) 曲线 AB 的方程为 .方向为自然方向的反向. 因此 . 解法二 ( 用 Green 公式 ) 补上线段 BO 和 OA ( O 为坐标原点 ), 成闭路. 设所围 区域为 D, 注意到 D 为反向, 以及 , 有 . 例 2 计算积分 I = , 其中 L 为任一不包含原点的闭区域 D 的边界(方向任意 ) P227 例 2 解 . ( 和 在 D 上有连续的偏 导数). , . 于是, I = . 二. 曲线积分与路线无关性: