常微分方程教案第一章 论s1.1微分方程的概念与实例教学目的：了解常微分方程模型的一些例子，理解微分方程的基本概念教学重点：模型的建立、基本概念教学难点：模型的建立1.微分方程的一些例子在讨论问题的时候，需要知道变量间的函数关系。但对稍微复杂的问题，不能直接得到变量间的关系。有些时候可以得到变量及其导数的关系，即得到包含变量及其导数的等式---微分方程。通过求解微分方程、求近似解、分析解的性态等手段可以掌握变量的变化规律。下面先看建立微分方程的几个例子。例1：镭的衰变镭是一种放射性物质，其质量是时间t的函数，在时刻t镭的质量记为R(t)。已发现其裂变速度与它的现存量成正比，且已知t=0时，镭的质量为Ro，试确定在时刻t镭的质量R(t)。解：由于R(1)将随时间而减少，故镭的衰变速度些应为负值。于是，有dtdR - -kR, R(0)=Ro:dt其中 k为一正的比例常数.方程变形为=-kdt,，两边积分得了{-kdt,即 InR=-kt+c1,R即 R(t)=ce-。将条件 R(0)=Ro代入到上式得 c=Ro，所以 R(1)=Re-。例2：SIS型传染病模型假设总人口没有出生和死亡，从而总人口为常数N。当某种传染病存在时，总人口分为两部分：易感者和感染者，分别用S(t)和I(t)表示在时刻t易感者和感染者的数量。假设易感者与感染者接触后变为感染者，感染者经过治疗而恢复，但没有免疫力，从而变为易感者。-1
常微分方程教案 第一章 引论 §1.1 微分方程的概念与实例 教学目的： 了解常微分方程模型的一些例子，理解微分方程的基本概念 教学重点： 模型的建立、基本概念 教学难点： 模型的建立 - 1. 微分方程的一些例子 在讨论问题的时候，需要知道变量间的函数关系。但对稍微复杂的问题，不能直接 得到变量间的关系。有些时候可以得到变量及其导数的关系，即得到包含变量及其导数 的等式-微分方程。通过求解微分方程、求近似解、分析解的性态等手段可以掌握变量 的变化规律。下面先看建立微分方程的几个例子。 例 1：镭的衰变 镭是一种放射性物质，其质量是时间 t 的函数，在时刻 t 镭的质量记为 R(t)。已发 现其裂变速度与它的现存量成正比，且已知 t=0 时，镭的质量为 R0，试确定在时刻 t 镭 的质量 R(t)。 解：由于 R(t)将随时间而减少，故镭的衰变速度 dR dt 应为负值。于是，有 dR kR dt = − ，R(0)=R0. 其中 k 为一正的比例常数。方程变形为 dR kdt R = − ，两边积分得 dR kdt R = − ∫ ∫ ，即 lnR=-kt+c1， 即 () e kt Rt c − = 。将条件 R(0)=R0 代入到上式得 c=R0，所以 0 () e kt Rt R − = 。 例 2：SIS 型传染病模型 假设总人口没有出生和死亡，从而总人口为常数 N。当某种传染病存在时，总人口 分为两部分：易感者和感染者，分别用 S(t)和 I(t)表示在时刻 t 易感者和感染者的数量。 假设易感者与感染者接触后变为感染者，感染者经过治疗而恢复，但没有免疫力，从而 变为易感者。 - 1 -
常微分方程教案假设易感者和感染者均匀混合，任意两个人间的接触率为β(>0)，则单位时间内有BSC)易感者变为感染者。假设恢复率为(>0)，则单位时间内有2I()感染者变为易N感者。如图1.1。BSINS21图1.1SIS型传染病模型这样可以建立如下的SIS传染病模型L- I=(β - 2)I- BIFBSI-B(N-dtNNN例3：已知曲线上点P(x，y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分（图1.2)，求该曲线方程y=y(x)所满足的微分方程。图1.2解：曲线在点P(x,y)处的切线斜率为J，在该点处的法线斜率为因线段PQ中L_y-0_-1点位于y轴上，所以点Q的坐标为(-x,O)，于是有一，化简得微分方程yy+2x=0。x-(-x)2.微分方程基本概念一般说来，含有自变量、未知函数以及未知函数导数（或微分）的等式称为微分方程。如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数与两个或更多个自变量有关，则称为偏微分方程。本课程所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程。在一个常微分方程中，所包含的未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。如果微分方程中未知函数和它的各阶导数都是线性的，则称为线性常微分方程，否- 2 -
常微分方程教案 假设易感者和感染者均匀混合，任意两个人间的接触率为 β(>0)，则单位时间内有 StIt () () N β 易感者变为感染者。假设恢复率为 λ(>0)，则单位时间内有 λI(t)感染者变为易 感者。如图 1.1。 图 1.1 SIS 型传染病模型 这样可以建立如下的 SIS 传染病模型 2 ( ) () . dI SI N I I I I II dt N N N β β β λ λ βλ − = −= −=− − 例 3：已知曲线上点 P(x, y)处的法线与 x 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 y 轴平分(图 1.2)，求该曲线方程 y=y(x)所满足的微分方程。 图 1.2 解：曲线在点 P(x, y)处的切线斜率为 y′，在该点处的法线斜率为 1 y − ′ ，因线段 PQ 中 点位于 y轴上，所以点 Q 的坐标为(-x, 0)，于是有 0 1 ( ) y x xy − − = − − ′ ，化简得微分方程 yy x ′ + = 2 0。 2. 微分方程基本概念 一般说来，含有自变量、未知函数以及未知函数导数(或微分)的等式称为微分方程。 如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数与两个或 更多个自变量有关，则称为偏微分方程。本课程所介绍的都是常微分方程，有时就简称 微分方程或方程。 在一个常微分方程中，所包含的未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。 如果微分方程中未知函数和它的各阶导数都是线性的，则称为线性常微分方程，否 S I λI - 2 -
常微分方程教案则称为非线性微分方程。线性方程的一般形式为d"-xdxd"x+a,(t)+a,-(t)+a,(t)x= f(t)din-1dt"dt例4:+ky=0(1)01L4xdxd'ydy=002(2)Unlxy+xy(dx?dxd'y.d'y(3)04L+3y=sinxxydx?dx4d'uduF(t,u,02?(4)u1mdt?dtOvOyP1(5)=Vvs, tasataua"u,o"u2P(6)=0ux, y,zax?0z2ay?n阶微分方程的一般形式为-dyd"y=0(1.1)F(x,y,dxdx"d"y其中，X是自变量，y是未知函数，F是已知函数且必须含有dx"如果能从(1.1)中解出便得到n阶显式微分方程dx"dyd-lyd"y=f(x,y,drn-1dx"dx"(1.1)也称为隐式微分方程。设函数y=o(x)在区间I上连续，且有直到n阶的导数，如果把y=(x)、=(x)、…=g((x)代入方程(1.1)，使得它成为区间1上恒等式dxdx"F(x,p(x),g((x),.., g(m)(x))=0则称y=(x)为方程(1.1)在区间1上的一个解。例5：y=e*是++hy=0在(-8,+)上的解，y=tanx是y'=1+在(-号)上的dx2解。如果由F(x,y)=0确定的隐函数y=p(x)是方程(1.1)的解，则称 F(x,y)=0是(1.1)的隐式解。-3 -
常微分方程教案 则称为非线性微分方程。线性方程的一般形式为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a t x f t dt dx a t dt d x a t dt d x n n n n n n + + + − + = − − 例 4： (1) + ky = 0 dx dy y x O 1 L (2) ( ) 0 2 2 2 + = dx dy xy dx d y y x O 2 Unl (3) y x dx d y dx d y 5 3 sin 2 2 4 4 + + = y x O 4 L (4) ( , , ) 2 2 dt du F t u dt d u m = u t O 2 ? (5) v t v s v = ∂ ∂ + ∂ ∂ v s, t P 1 (6) 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u u x, y, z P 2 n 阶微分方程的一般形式为 ( , , , ) = 0 n n dx d y dx dy F x y (1.1) 其中，x 是自变量，y 是未知函数，F 是已知函数且必须含有 n n dx d y 。 如果能从(1.1)中解出 n n dx d y ，便得到 n 阶显式微分方程 1 1 (, , , ) n n n n d y dy d y f xy dx dx dx − − = (1.1)也称为隐式微分方程。 设函数 y = ϕ(x) 在区间 I 上连续，且有直到 n 阶的导数 ， 如果把 y = ϕ(x) 、 ( ) (1) x dx dy = ϕ 、.、 ( ) ( ) x dx d y n n n = ϕ 代入方程(1.1)，使得它成为区间 I 上恒等式 F(x,ϕ(x), ( ), , ϕ(1) x ( ) ( ) x n ϕ ) ≡ 0 则称 y = ϕ(x) 为方程(1.1)在区间 I 上的一个解。 例 5：y = e-kx 是 + ky = 0 dx dy 在 (−∞, + ∞) 上的解， y = tan x是 2 y′ = 1+ y 在 ) 2 , 2 ( π π − 上的 解。 如果由 F(x, y) = 0 确定的隐函数 y = ϕ(x) 是方程(1.1)的解，则称 F(x, y) = 0 是(1.1) 的隐式解。 - 3 -
常微分方程教案例6：隐函数x2+y2-c=0是方程xdx+ydy=0的隐式解。对于函数y=(x,CjC2,，cn)，其中c1,C2，cn是任意常数，若存在点(x,C1,C2…cn)的一个邻域，在其内有apaapac,Oc2ac,pap'Op0ac,ac,ac,Op(n-l)Op(n-1)ag(n-1)ac,Oc2Oc,则称y=(,ccc）含有n个相互独立的任意常数1,c2…Cn，其中()dxkn阶常微分方程(1.1)的含有n个相互独立任意常数ci，C2，.…，Cn的解y=(x,c,C2，"",c,)称为该方程的通解，如果方程(1.1)的解y=p(x)不包含任意常数，则称它为特解。例7：y=cicosx+C2sinx是方程y"+y=0的通解，y=cicosx+c2cosx不是方程"+y=0的通解，y=cosx,y=sinx,y=cosx+sinx都是方程y"+y=0的特解。若想得到特解，需要先得到通解再确定通解中的任意常数。在确定通解中任意常数的时候，需要微分方程满足一定的条件。通常的条件为初始条件，即指定未知函数在自变量为Xo时满足的条件d"y(x0) = y(a-l)dxo) = yo., d(1.2)y(xo) = yo,dxdx"-方程(1.1)和初始条件(1.2)放在一起称为初值问题，写为[F(x,y,y',..,y(n)=0y(xo)= yoy'(xo) = yoJ(n-)(0)= yon-1)例8：下面为两个初值问题{dR=-kR,["+2"+3y+4y=5dt[y(1) = 1, y'(1) = 0, y"(1) = 0[R(0) = R。4
常微分方程教案 例 6：隐函数 x2 + y2 – c = 0 是方程 xdx +ydy=0 的隐式解。 对于函数 ( , , , , ) 1 2 n y = ϕ x c c c ，其中 c1，c2，.，cn 是任意常数，若存在点(x, c1, c2, ., cn)的一个邻域，在其内有 0 ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1) 1 2 1 2 ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − n n n n n n c c c c c c c c c ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 则称 ( , , , , ) 1 2 n y = ϕ x c c c 含有 n 个相互独立的任意常数 c1，c2，.，cn，其中 k k k dx d ϕ ϕ = ( ) 。 n 阶常微分方程 (1.1) 的含有 n 个 相 互 独立任意常数 c1 ， c2 ， . ， cn 的 解 ( , , , , ) 1 2 n y = ϕ x c c c 称为该方程的通解，如果方程(1.1)的解 y x =ϕ( ) 不包含任意常数，则 称它为特解。 例 7：y = c1cosx + c2sinx 是方程 y′′ + y = 0的通解，y = c1cosx + c2cosx 不是方程 y′′ + y = 0的通解，y = cosx, y = sinx, y = cosx + sinx 都是方程 y′′ + y = 0的特解。 若想得到特解，需要先得到通解再确定通解中的任意常数。在确定通解中任意常数 的时候，需要微分方程满足一定的条件。通常的条件为初始条件，即指定未知函数在自 变量为 x0 时满足的条件 0 0 y(x ) = y , , ( ) 1 0 0 y dx dy x = , ( 1) 1 0 0 1 ( ) − − − = n n n y dx d y x (1.2) 方程(1.1)和初始条件(1.2)放在一起称为初值问题，写为 = ′ = = ′ = − ( −1) 0 0 ( 1) 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , , , ) 0 n n n y x y y x y y x y F x y y y 例 8：下面为两个初值问题 = = − 0 R(0) R kR dt dR ， = ′ = ′′ = ′′′ + ′′ + ′ + = (1) 1, (1) 0, (1) 0 2 3 4 5 y y y y y y y - 4 -
常微分方程教案s1.2解的存在唯一性定理教学目的：理解解的存在唯一性定理，会求Picard迭代序列教学重点：解的存在唯一性定理及证明思路，构造Picard迭代序列教学难点：解的存在唯一性定理考虑初值问题=f(x,y)。 (x)=o(1.3)dx其中f是给定的x、y的函数。往往不能求出(1.3)的解，这就需要求它的近似解或通过理论研究解的性态。这都要求(1.3)的解存在并且唯一，因为如果解不存在，那么去求近似解或分析解的性态就没有意义，如果解不唯一，那么求出来的近似解和那个解近似呢？得到的解的性态又是哪个解的呢？这节来介绍(1.3)的解的存在唯一性定理。考虑矩形区域R=(x,y)x-x≤a,y-<b)，如果存在常数L>0，使得对任意的(x,y), (x,y,)eR都有f(x,J)-f(x,y2)<L-y,则称f(x,y)在R上关于y满足Lipschitz条件,L称为Lipschitz常数。定理1(解的存在唯一性定理)：如果f(x,y)在R上连续且关于变量y满足Lipschitzb条件，则初值问题（1.3)在区间x-x≤h上存在唯一解，其中h=mina,MM = maxf(x, y)。不证明该定理，只给出证明思路。1. 在崇= (x,)两侧同时从 xo 到 x 对 x 积分得dx[" dy(x)= " f(x, 以(x)dx 即 " dy(s)= " f(s, (s)ds所以有J(x) = yo +f f(s, y(s)ds(1.4)-5
常微分方程教案 §1.2 解的存在唯一性定理 教学目的： 理解解的存在唯一性定理，会求 Picard 迭代序列 教学重点： 解的存在唯一性定理及证明思路，构造 Picard 迭代序列 教学难点： 解的存在唯一性定理 - 考虑初值问题 0 0 f (x, y), y(x ) y dx dy = = (1.3) 其中 f 是给定的 x、y 的函数。往往不能求出(1.3)的解，这就需要求它的近似解或通过理 论研究解的性态。这都要求(1.3)的解存在并且唯一，因为如果解不存在，那么去求近似 解或分析解的性态就没有意义，如果解不唯一，那么求出来的近似解和那个解近似呢？ 得到的解的性态又是哪个解的呢？ 这节来介绍(1.3)的解的存在唯一性定理。 考虑矩形区域 R = {(x, y) x − x0 ≤ a, y − y0 ≤ b}，如果存在常数 L>0，使得对任意的 (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ R都有 1 2 12 f x y f x y Ly y (, ) (, ) − ≤− ，则称 f(x, y)在 R 上关于 y 满足 Lipschitz 条件， L 称为 Lipschitz 常数。 定理 1(解的存在唯一性定理)：如果 f(x, y)在 R 上连续且关于变量 y 满足 Lipschitz 条件，则初值问题 (1.3) 在区间 x − x0 ≤ h 上存在唯一解 ，其中 = M b h min a, ， max ( , ) ( , ) M f x y x y ∈R = 。 不证明该定理，只给出证明思路。 1. 在 f (x, y) dx dy = 两侧同时从 x0 到 x 对 x 积分得 0 0 ( ) ( , ( )) x x x x dy x f x y x dx = ∫ ∫ 即 0 0 ( ) ( , ( )) x x x x dy s f s y s ds = ∫ ∫ 所以有 ∫ = + x x y x y f s y s ds 0 ( ) ( , ( )) 0 (1.4) - 5 -