设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面5种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的 数学模型。 目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5 约束条件： s.t. x1+2x2 +x4 ≥100 2x3+2x4+x5≥100 3x1+x2+2x3 +3x5≥100 x1,x2,x3.x4.x5≥0 用“管理运筹学"”软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料 10根：按方案4下料50根。 即x1=30,x2=10:x3=0:x4=50:x5=0: 只需90根原材料就可制造出100套钢架。 注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为 有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方 案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。 §7配料问题 例6.某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙， 数据如右表。问：该应如何安排生产，使利润收入为最大？ 产品名称丁 规格要求 单价（元kg) 原材料1不少于50%，原材料2不超过25% 50 原材料1不少于25%，原材料2不超过50% 35 丙 不限 25 原材料名称 每天最多供应量 单价（元kg) 100 63 100 60 解：设x刘表示第i种（甲、乙、丙）产品中原料j的含量。 对于甲：x11, x12,X13: 对于乙：x21,x22,x23: 对于丙：X31,x32,x33: 对于原料1：x11,21,x31: 对于原料2：x12,x22,x32:
设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的 数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 ≥ 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 ≥ 100 x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0 用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案 1 下料 30 根；按方案 2 下料 10 根；按方案 4 下料 50 根。 即 x1=30; x2=10；x3=0；x4=50；x5=0； 只需 90 根原材料就可制造出 100 套钢架。 注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为 有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方 案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。 §7 配料问题 例 6．某工厂要用三种原料 1、2、3 混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙， 数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？ 解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。 对于甲： x11， x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料 1： x11，x21，x31； 对于原料 2： x12，x22，x32； 产品名称 规格要求 单价（元/kg） 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 50 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 35 丙 不限 25 原材料名称 每天最多供应量 单价（元/kg） 1 100 65 2 100 25 3 60 35
对于原料3：x13,x23,x33: 目标函数：利润最大，利润=收入·原料支出 约束条件：规格要求4个：供应量限制3个。 利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量甲乙丙使用的原料单 价*原料数量，故有 目标函数 Max50(x11+x12+x13)+35(x21+x22+x23)+25(x31+x32+x33)-65(x11+x21+x31) -25(x12+x22+x32)-35(x13+x23+x33) =-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： 从第1个表中有： x11≥0.5x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5x21+x22+x23) 从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原 材料的供应限额，故有 (x11+x21+x31)≤100 (x12+x22+x32)≤100 (x13+x23+x33)≤60 通过整理，得到以下模型： 例6.（续） 目标函数： Maxz=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： st.0.5x11-0.5x120.5x13≥0（原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（原材料1不少于25%） -0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0（原材料2不超过50%）
对于原料 3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个；供应量限制 3 个。 利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单 价*原料数量，故有 目标函数 Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31） -25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： 从第 1 个表中有： x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23) 从第 2 个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原 材料的供应限额，故有 (x11+x21+x31)≤100 (x12+x22+x32)≤100 (x13+x23+x33)≤60 通过整理，得到以下模型： 例 6．（续） 目标函数： Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料 1 不少于 50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料 2 不超过 25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料 1 不少于 25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料 2 不超过 50%）
x21+x31≤100（供应量限制） x12+ x22+ x32≤100（供应量限制） x13+23+x33≤60（供应量限制） x对≥0，i=1,2,3,j=1,2,3 §8投资问题 例8.某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目 A:从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%：项目B:从 一年到第四年每年年初都可投资， 次年末能收回本利125%，但规定每年最大投 资额不能超过30万元：项目C:需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%， 但规定最大投资额不能超过80万元：项目D:需在第二年年初投资，第五年末能 收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。据测定每万元每次投资的 风险指数如右表： 项目 风险指数（次万元） 55 问： )应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最 大？ b)应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万 元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？ 解：1)确定决策变量：连续投资问题 设x刘(i=1一5，j=1一4)表示第i年初投资于AGP1)BG-2CG=3DG=4) 项目的金额。建立如下的决策变量： Ax11x21x31x41x51 Bx12x22X32x42 X33 D x24 2)约束条件： 第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是x1+x2 =200：
x11+ x21 + x31 ≤ 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 ≤ 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 ≤ 60 (供应量限制） xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3 §8 投资问题 例 8．某部门现有资金 200 万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目 A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利 110%；项目 B：从 第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利 125%，但规定每年最大投 资额不能超过 30 万元；项目 C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利 140%， 但规定最大投资额不能超过 80 万元；项目 D：需在第二年年初投资，第五年末能 收回本利 155%，但规定最大投资额不能超过 100 万元。据测定每万元每次投资的 风险指数如右表： 问： a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最 大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在 330 万 元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？ 解： 1）确定决策变量：连续投资问题 设 xij ( i = 1～5，j = 1～4)表示第 i 年初投资于 A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4) 项目的金额。建立如下的决策变量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24 2）约束条件： 第一年：A 当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200； 项目 风险指数（次/万元） A 1 B 3 C 4 D 5.5