数学分桥教程… 1.5单调数列 在1.3节中我们强调过，有界数列不一定收敛.本节将要引入一类特殊的数 列一单调数列，对这类数列而言，有界和收敛是等价的. 定义1.5.1如果数列{am}满足 am≤am+1(n=1,2,…）, 则称此数列为递增数列；如果{an}满足 an≥an+1(n=1,2,…), 则称此数列为递减数列.如果上面两个不等式都是严格的，即an<an+1(或an> an+1)(n=1,2,…),则称此数列为严格递增的（或严格递减的）. 递增或递减的数列统称为单调数列 关于单调数列，有下面的重要结果： 定理1.5.1单调且有界的数列一定有极限 证明不妨设数列{αm}是递增的且有上界.我们把这个数列的各项表示成十 进制无尽小数： a1=A1.b11b12b13…, a2=A2.b21b22b23…, a3=A3.b31b32b33…, 其中A1,A2,A3,…是整数，而b(i,j=1,2,…)是从0到9中的数码.现在从上 到下考察由整数A1,A2,A3,…组成的那一列.因为数列{am}是有界的，这些整数 不能无限地增大；又因为这些数列是递增的，所以整数数列{A}在到达最大值之 后将保持不变，记这个最大的整数为A,并设它在第N。行上出现.现在从上往下 考察第二列b1,b2,b1,…,不过只需把注意力集中在第N。行和以下的各行上· 如果x1是第N。行后出现在这一列上的最大数码，我们设它出现在第N,行上，其 中N1≥No.那么x1一旦出现将再也不会改变，这是因为{an}是递增数列.接着我 们考察第三列的数码b12,b22,b2,….同样的讨论表明，第三列上的数码将在第 N2≥N1行以及以后的各行上取一个定值x2.如果我们对第四列、第五列…重复 这一过程，就会得到数码x3,x4,…和相应的正整数N2≤N3≤….容易看出，数 ·26·
,:·第1章实数和数列极限 a=A.x1X2X3X4… 应该是数列{an}的极限.为了证明这一结论，对任意给定的e>0,取m∈N·,使得 l0-m<e,那么对所有的n>Nm,an的整数部分以及小数点后的前m位上的数码 与a的是一样的，因此我们有|an-a≤10~m<e.这样就用e-N语言证明了 lim an=A.x1x2x3… 0 这个定理在直观上是很清楚的.如果M是递增数列{am}的一个上界，那么 [M,+∞)中的一切实数都是这个数列的上界.具有这种性质的最大区间的左端点 就是数列{an}的极限.也就是说，递增数列{an}的“最小上界”是数列的极限，至于 最小上界的精确定义将会在1.8节中加以细说， 值得注意的是：定理中涉及的极限既不需要预先给定，也不需要预先知道.这 里所说的意思是，在规定的条件下，极限必定存在.我们说这是一种存在性的证明， 以后将不断地遇到这种类型的证明， 十分重要的是：这个定理是实数的连续性的一种表现形式.这个定理的成立， 有赖于在有理数的基础上添加了无理数；否则，结论不一定总是对的. 我们来看一些例子 例1求数列{a"/n！}的极限，这里a是一个任意给定的实数 解令xn=|a|"/n!(n∈N').当n≥|a时， a xa*1=xnnt1≤Xn: 因此，{xm}从某个确定的项开始是递减的数列，并且显然有下界0.从而极限 x=mx,存在.在等式x1=x的两边令一0，得到x=X0=0,所以 {xm}为无穷小，从而{a"/n!}也是无穷小. 0 例2对n∈N·,设 a=1+2+…+ 求证：{am}发散 证明很明显，{αn}是严格递增数列，即满足条件 a1<a2<…<an<an+l<… 我们只需证明这个数列没有上界.事实上，对k∈N·,有 a=1+是+(3+4)+（号+…+8）+（合+…+） +…+(2+7++2) ·27·
数学分析教程，： ≥1+合+（保+）+（信+…+8）+（品+…+6） +…+(经+…+安) =1+++…+=1+(k=01…). k个 因此{am}是无界的. 0 例3对n∈N”,设 an=1++…+ h, 这里a>l.求证：am收敛 证明 很明显，{am}是严格递增数列.易知 a1=1+(会+)+（保+…+号）+（绿+…+） 1 +…+(2)+…+21)) ≤1+品++ 2k-1 +8+…+2 =1++点+…+2= 1 =1+2品+(2品)+…+(2品) 1-(品)广 2-1 1-2 <2-1-1 至此，已证明{an}有一子列{a2"-1}是有上界的.因为{an}是递增数列，由此得知 {am}也有上界，从而{an}是收敛数列. 0 在上述例子中，我们只证明了对任何α>1，数列{am}的极限是存在的，却没有 研究其极限值是多少.即使对a=2及a=4等等，想要计算数列{am}的极限的精 确值，对初学者来说也绝非易事，我们将在本教材第17章中给予解答. 作为定理1.5.1的一个重要应用，我们来证明1.1节中曾经提到过的闭区间 套定理.它是实数系统连续性的一种表现形式 定理1.5.2（闭区间套定理）设Im=[am,bn](n∈N),并且11一12D13一 ·28·
，“第1章实数和数列极限 …DIn一Im+1D….如果这一列区间的长度引Im|=bn-an→0(n→∞)，那么交集 A1m含有唯一的一点。 证明由这一列区间的包含关系可知：它们的左端点组成递增数列{an},而 右端点组成递减数列{bn}.显然，{an}有上界b1,而{bn}有下界a1.因此由定理 1.5.1,以下两个极限存在： a lim a,b lim bn. 由于an≤bn(n∈N“),可见a≤b.因此，不等式 an≤a≤b≤bm 对一切n∈N*成立.由此式可得 0≤b-a≤bm-am=|1m1. 由|In|→0(n→∞)，可知必有a=b.这时，an≤a≤bm对n∈N"成立，即a∈Im (n=1,2,…).由此得到a∈Im显然，点a是唯一的. 0 应当特别指出：定理中的“闭区间”的“闭”字是不可以去掉的.请看下面的例 子：设开区间In=(0,1/n)(n=1,2,…).显然 11D12D13D…D1mD1m+1…, 而且|1nl=1/n→0(n→∞)，但是∩Im=0,是空集 现在可以来回答1.1节中提出的问题：每一个实数是否都是数轴上某点的坐 标？1.1节中已经对有理数回答了这个问题.现设 x=a.b1b2b3… 是一个无理数，即无尽不循环小数，其中a是某一整数，b1,b2,b3,…是0,1，…，9 中的某个数码.由x可以生成下列闭区间套： I0=[a,a+1], +品a+] 1=[a+ =[a+8+ěa+0+， 1.=[a+++…+0a++ě+…+] 显然，Io一I,一12一…→In一…，而且|1m1=1/10→0(n→∞).于是根据闭区间 ·29·
数学分析教程人·、‘： 套定理，它确定唯一的一点，这点的坐标就是x 现在我们来讨论无穷个数如何相加的问题.形如 .=a1+影+…+a.+… (1） =1 的和式称为无穷级数，其中每个a;(i∈N·)都是实数.对任何有限的和，我们都能 计算，但对无限项的和如何计算？合理的做法是先算出它的前n项的和 Sm=a1+a2+…+am(n∈N'), 由此构成的数列{S.}称为式(1)的部分和数列.如果 lim S=S, 就称级数(1)是收敛的，S称为级数(1)的和.如果数列{Sn}不收敛，就称级数(1)是 发散的，级数(1)没有和 例2告诉我们，级数 是发散的.例3告诉我们级数 na 当a>1时是收敛的 本教材第14章、第15章将对无穷级数有详细的讨论，这里只作些最基本的介 绍，因为有一点关于无穷级数的知识，对以后的叙述将有许多方便 练习题1.5 1.利用定理1.5.1，证明下列数列极限存在： 1wx=9号20昌： 2)x.=(1-)(1-3)(1-n+） 2.设x1=√2，并定义xm+1=√2+xn（n=1,2,3,…).求证：limx存在。 3.求证：如果单调数列有一子列收敛，那么原数列也必收敛 4.设数列{am}满足0<an<1,且有不等式(1-an)am+1>1/4(n=1,2,3,…).求证： lim a =1/2. (提示：因为有不等式 ·30·