常章实数和数列极限 之 1 lim- =1. n-m√/n2+1 m1+是 再一次利用夹逼原理，可得 lim a 1. 0 在结束本节的时候，我们来叙述并证明一些通过不等式来表达的收敛数列的 性质 定理1.3.7(1)设lim an=a,a,B满足a<a<P,那么当n充分大时，有 an>a;同样，当n充分大时，有an<B. (2)设imam=a,lim b=b,且a<b,那么当n充分大时，一定有an<ba. (3)设lim an=a,lim bn=b,并且当n充分大时an≤bn,那么有a≤b 证明(1)令e=a-a>0,则必存在N∈N‘,使得当n>N时，一切4m属于 a的e邻域.因此必有a-e<an,即an>a对n>N成立.类似地，可证明第二个 结论 (2)令m=(a+b)/2,于是a<m<b.由(1)可知，存在一个N∈N·,使得当 n>N时，有 an<m<bn. (3)用反证法.假设a>b.由(2)可知，存在N∈N*,使得当n>N时，有an >bn,这与条件an≤bm对充分大的n成立的假设相违背，因此只能是a≤b.口 练习题1.3 1.回答下列问题： (1)若{an},{bn}都发散，对{am+bn}与{anbn}是否收敛能不能作出肯定的结论？ (2)若{an}收敛而{bn}发散，这时{an+bn}的敛散性如何？ (3)若lim a=a≠0而{bn}发散，这时{anbn}的敛散性如何？ (4)若1iman=0而(bm}发散，这时{anbn}的敛散性如何？ (5)设an≤bn≤cn且1im(cn-an)=0,问{bn}是否必收敛？ 2.若iman=a≠0，求证：lim2m=1.举例说明，当a=0时不能得出上述结论 n+的an 3.求下列极限： 3”+(-2)” (1)lim31+(-2)n南i ·21·
数学分析教程：‘·， 2)m(+2*2*-受)： n+2 (3)lim√n(√n+i-√n); (4)lim(√n2+n-n)1m; 5)(1-), (6)1im(n2-n+2)m: (7)lim(arctan n); (8)lim(2sin2n cos2n)1'n. 4.求下列极限： ▣8+g+g1a1<1.1b1<1: ②(2*z6*+natD）为 3)im(1-是)1-）…(1-)： 4m(1-中2)1-1+2+s-(1-1+2++n: (5)im71-2+3-4++(-1)-nl: (6)im(1+x)(1+x2)(1+x4)…(1+x2"-)(1x|<1). 5.求极限： (1)lim(a"+b")n(0≤a≤b): (2)lim(a+a2+…+am)1n(ai≥0，i=l,2,…,m). 6.设lim a=a.证明： lim [na=a, n-ce n 这里[x]表示不超过x的最大整数. 7.设am>0(n=1,23,…),且lim aa.求证： lim(a1az…an)vn=a. 8.利用第7题的结论，证明： (1)若a.>0(m=1,2,3,…).且im2=a.则1ima,=a: n+西a元 (2)当a>0时，lim al=1; (3)lim nI/n=1; ·22·
…··,:第1章实数和数列极限 (4)lim(n!)-/m=0. 月四 9.证明： ▣(1+之+号+…+)=0. 10.如果ao+a1+…+ap=0,求证： lim(ao√n+a1√n+I+…+ap√n+p)=0. 11.设数列{am}满足 lim azn-1=a,lim azn =b. 证明： lima+a2+…+aa=g+b n 2 12.证明： m2(W1+奈-1)=子 问题1.3 1.设数列{x,}满足im(xm-xm-2)=0.求证： lim=0. n-e四 n 2.(Toeplitz(特普利茨，1881~1940)定理)设n,k∈N时，t≥0，且 tk=1, lim to=0.如果lim a.=a,令 试证： lim x=a. 3.设1 lim a=a.证明： 1im+20+a=号 n2 4.设1iman=a.证明： ·23·
数学分析教程： 1.4数列极限概念的推广 为了今后讨论的方便，我们有必要将极限的概念加以扩充 定义1.4.1如果数列{an}满足条件：对任何正数A,都存在N∈N·,使得当 n>N时，有am>A,则称数列{an}趋向于+∞（正无穷大），记作 lim an=+c∞. n-+o0 如果对任何正数A,都存在N∈N',使得当n>N时，有an<-A,则称数列 {am}趋向于-∞（负无穷大），记作 lim an=-co 虽然以上两种数列按照定义1.2.1是发散的，但是我们在这里还是使用了im 这一记号，用来说明当无限增大时这两种数列有某种确定的变化趋势， 例1设am=n2-3n-5(n=1,2,3,…).求证：lim an=+∞. 证明当n≥9时，有 am=n2-3n-5>n2-3n-5n=n(n-8)≥n. 从而对任何正数A,取N=max(9,[A]+1),当n>N时，有 am≥n≥[A]+1>A, 因此lim an=+∞. 定义1.4.2如果1imam|=+o,则称{am}趋向于o,记作1iman=o. 无论三种情形 lim an=+∞，lim an=-,lim an=∞ 9 中的哪一种，数列{an}都称为无穷大. 无穷大有下列简单的性质： (1)如果{an}是无穷大，那么{an}必然无界. 注意，上述命题的逆命题不成立，例如 1,0,2,0,3,0,…,n,0, 是无界的，但这个数列不是无穷大.但有： (2)从无界数列中一定能选出一个子列是无穷大， ·24·
“。·,·第1章实数和数列极限 (3)如果1iman=+o(或-∞，∞)，那么对{an}的任意子列{akn},也有 机s四 lim ak=+∞（或-o,∞）. n (4)如果lim a=+o,lim bn=+∞，那么 门◆年 lim(an+bn)=+∞， lim anbn=+c∞. 上述性质对anm-bn和an/bn不成立.例如，an=n,bm=n都是无穷大，而 an-bm=0,an/bn=1都不是无穷大， (5){am}是无穷大的充分必要条件是{1/an}为无穷小. 上面这些性质的证明都很容易，留给读者作练习. 将全体实数的集合R连同两个符号一∞与+∞放在一起，从而形成扩充的实 数系统，我们把这扩充了的系统记作R。,即R。=RU{-∞，+∞}. 练习题1.4 1.设三次多项式p(x)=x3-4x2+5x-6.求证： limp(n)=+∞，limp(-n)=-∞. 2.求证：lim片(1+2+3++)=+0， 3.求证：m1+2+32++n2)=+m 4.求证：limn(√n-√n+I)=-o. 1+1 5.求证：lim(n+行n+ +…+1 问题1.4 1.设ag=1,am+1=am+1/an(n=1,2,…).求证：lim a=+∞. 2.设{am}是一个正数数列.如果 lim anti ansz=+, 那么{an}必为无界数列. ·25·