··第1章实数和数列极限 0<a.1-a)≤}， 根据题设，得(1-an)an+1>1/4≥an(1-am）,从而{an}严格递增.) 5.求证：an=(n!)1n是递增数列. 6.设{xn}是一个非负的数列，满足 xm+1≤xn+ n' (n=1,2,…). 证明：{xn}收敛、 问题1.5 1.设c>0,a1=c/2,an+1=c/2+a员/2(n=1,2,…).证明： J1-√1-c,0<c≤1， +0, c>1. 2.设数列{un}定义如下： u1=b, un+1=u7+(1-2a)4n+a2（n=1,2,…) 问a,b为何值时{un}收敛？极限值是什么？ 3.设A>0,0<y0<A1,且 ym+1=ym(2-Ayn)(n=0,1,…). 证明：lim y=A-l. 4.设数列{an}由下式定义： an=2m-1-3am-1(n=1,2,…). 求ao所有可能的值，使得{an}是严格递增的. 1.6自然对数的底e 在中学里，我们已经知道，不只在数学里，而且在全部科学中，圆周率π是一个 十分重要的常数.现在我们来介绍另一个十分重要的常数：自然对数的底e. 同时考察如下两个数列： e.=(1+)°(n∈N), ·31·
数学分析教程心”： =1++分+…+是 (n∈N). 显然，数列{Sn}是严格递增的，并且，由于 ≤1+1++安+…+点<3， 即{sn}有上界，所以s=lim s存在. 利用二项式展开，得 .=1+2()是 =1++(1-六)+(1-)1-吴) +…+(1-)1-是)(1-”m1) 这里共有n+1个加项.在en+1的类似展开式中，将有n+2个加项，在其中的最初 n+1个加项中每一项都不会小于en的相同位置上的项，而最后一个加项是一个 正数.这就说明：对n∈N",有en<em+1,即{em}也是一个严格递增的数列.此外， 由en的展开式，可以看出 e.≤1+品+员+…+清=5<3 对一切n∈N'成立.这就证明了lim en的存在性，记e=lim en,从而得知e≤s。 另一方面，当n≥m时，有 e≥1+品+1-片）++-(1-m） 把m∈N·暂时地固定，同时令n→∞，由上式，知 e≥1+品+员+…+ 这时再令m→∞，得出e≥s.于是我们证明了e=s.以e作为底而作成的对数称为 自然对数.为了与大家已经习惯了的以10为底的对数符号g区别开来，自然对数 符号记作l.在本书中，除了少数显著申明了的情形，我们谈到“对数”都是指自然 对数.其中的理由到第3章便可明白， 我们已经证明，数列{em}与{Sm}都递增地收敛于e.这两个事实都有理论上的 意义.从计算来看，使用极限 i(1+品+员+…+)=e ·32·
,·第1章实数和数列极限 更为有利.我们取充分大的n,用sn作为e的近似值.由于 sn=s+mm=+h‘n十 在计算S+1的时候，就能充分地利用上面已经算出的Sn的数值，并且只需多作一 次除法运算（除以n+1).我们利用计算器，很容易对n≤10算出sm到小数点后7 位小数.例如 58=2.7182787,5g=2.7182815,510=2.7182818. 由这种近似所产生的误差，可以用下面的方法来作估计：由于 O<Sn+m -Sn =n1+n+2++n+2n+m] 1 <m+1+n+(n++(n）"] n+1 1 1 <n*‘1五 n!n' n+1 令m→∞，得到 0<e-≤nn(n∈N). (1) 因此，用s1o来逼近e所产生的误差将小于10-7.特别地，我们看到e<3 我们来证明下面的定理： 定理1.6.1自然对数的底e是无理数， 证明用反证法.假设e=p/q,其中p,q∈N·.由于2<e<3,可见e不是正 整数，因此q≥2.由式(1)，可得 0<9e-s)≤日≤合 (2) 但是 q1(e-sg)=(g-1p-9(1+1++…+i) 是整数，这与式(2)矛盾！ 0 通过上述讨论，我们看到，数列{en}与{Sn}的各项都是有理数，但是它们的极 限却是无理数.我们又一次看到了在全体有理数中添加无理数的必要性.如果不这 样做，极限运算就无法进行 ·33·
数学分析教程·： 从lim(1+1/n)n=e,很容易得到 im(1-分）”=im("后2)月 脚+。* im（1+2）°=m(“t2)” =(+”(“★) =m1++)(1+n)'(1+品)” =e2. 练习题1.6 1.求下列极限： m(1+n是2)八； 2m（(1-n+3)八： (3)im(2+8)”: ④im(1+员)”： 5)1+2a) 2.设k∈N·.求证： m(1+)°=e心. 3.求证：数列{(1+1/n)n}是严格递增数列. (提示：用几何平均-算术平均不等式 (+广=1…+-+)<(+m)”.) n+1 n个 4.求证：数列{(1+1/n)*1}是严格递诚数列. 提示(”=1·-((a+”+)9. n+2 n+1个 5.证明不等式： (1+）<e<(1+月)”(n∈N). ·34·
，.,·；第1章实数和数列极限 6.利用对数函数lnx的严格递增性质，证明： n+<a(1+)k丹 对一切n∈N'成立. 7.设n∈N且k=1,2,….证明不等式： n本k<(1+)K资 8.对n∈N',求证： 含+吉++n<nn+1)<1+含++月 9.令 x.=1+合++-n(n+1)(n∈N) 证明：limx存在，此极限常记为y,叫作Euler(欧拉，1707~1783)常数. 10.利用第9题，证明： 1+合+++=nn+y+c 其中lim e=0. 11.证明不等式： (t)^<n!<e()". 12.证明： e 13.求证： e=1+品++++品 其中0n∈(n/(n+1),1). l4.求极限lim(n!e-[n！e). 15.求极限m(++2+h) 16.设x,=(（1+2)(1+2）…(1+2)证明：limx.存在. 问题1.6 1.求证：当n≥3时，有不等式 ·35·