数学分析教程‘：， 理数范围，那就不得不承认边长为1的正方形的对角线是无法量测的.不言而喻， 我们不可能作出这样的结论，因为任何度量几何都不可能建立在这样的基础之上。 只能承认，局限在有理数的范围之内，我们无法给数轴上的每一个点规定一个数. 也就是说，为了度量的需要，光有有理数还是不够的.这就迫使我们增添一类新 数—一无尽不循环小数，我们称之为无理数，有理数和无理数合起来统称为实数。 这样实数和数轴上的点就建立了一一对应，或者说，全体实数正好充满了数轴.这 一事实称为实数的连续性 定义实数的方式有好多种，通过无尽小数来定义实数只是其中的一种，而且是 比较简单和直观的一种，因为它同通常的测量过程相关.需要指出的是，实数的连 续性和数轴的连续性是一回事，这实际上是一条公理.我们并未涉及实数公理化的 研究，因为我们觉得对学习数学分析来说，这里介绍的基本内容已经够用了· 练习题1.1 1.设a为有理数，b为无理数.求证：a+b与a~b都是无理数；当a≠0时，ab与b/a也是 无理数 2.证明：两个不同的有理数之间有无限多个有理数，也有无限多个无理数， 3.证明：2是无理数 4.证明：√2+√3是无理数 5.在平面直角坐标系中，当x和y都是有理数时，称点(x,y)为有理点.证明：圆周 (x-√2)+y2=2上只有唯一的有理点， 6.证明：任何有理数都可以表示为有尽小数或无尽循环小数；无尽循环小数一定是有理数， 7.0.1010010001000010…是有理数还是无理数？ 8.把下列循环小数化为分数： 0.24999…,0.375,4.518 9.逐步地写下所有的正整数以得到下面的无尽小数： 0.1234567891011121314… 问它是有理数吗？ 10.证明： (1)若r+s√2=0，其中r,s是有理数，则r=s=0; (2)若r+s√2+t√3=0，其中r,s,t是有理数，则r=s=t=0. 11.设n≥2，实数a1,a2,…,an都大于-1，并且它们有着相同的符号.证明： (1+a1)(1+a2)…(1+an)>1+a1+a2+…+am ·6·
：·，·第1章实数和数列极限 12.设a1,a2,…,an(n≥2)都是正数，且a1+a2+…+am<1.证明： (1） >a+a)>1+2a 1- k=1 (2)— k= k=1 l3.设a1,a2,…,an为实数.证明不等式： |a≤ia,l, 并指明式中等号成立的条件， 14.求证： max(a,b)=a+b+1a。bl, 2 2 min(a,b)=a十b-⊥a,b, 2 2 并解释其几何意义， 15.设a个分数2爱一后的分号b,e…b,都大于零证明+8+最介于这 些分数的最小值和最大值之间， 16.设n=2,3,…,x>-1且x≠0.求证：(1+x)">1+nx. (提示：用数学归纳法.) 17.设x,y≥0，m,n为正整数.求证： xmy”+x"ym≤xm+”+ym*", 等号当且仅当x=y时成立. 问题1.1 1设非负整数2,6使得计品为整数求证：这个整数必是菜一整数的平方。 (本题是1988年第29届国际数学奥林匹克竞赛的试题，有11名中学生给出了正确的证 明，我国的6名参赛选手中有2人此题得了满分.) 2.设n为正整数，且x≥0，y≥0.求证：当n>1时， ””≥（安八 等号当且仅当x=y时成立· 3.设a1≤a2≤…≤an,且b,≤b2≤…≤bn.证明Chebychev(切比雪夫，l8211894)不等式： 。7·
数学分析教程·： i1 i=1 4.设a1≤a2≤…≤a,b≤b<…≤b并且b1+b2+…+bn=0.求证：∑a,b,≥0. 5.已知素数的个数是无限的.考虑无尽小数x=0.a1aza3…,其中 (1,当n为素数时， an= 0,其他 问：x是有理数吗？ 6.已知圆周率π=3.1415926535897….求证：若正有理数p/g比355/113更接近于π，则 9>16586. 7.设x0=0,x1,…,xm都是正数.且满足 x1+…+X#=1. 证明： 2++,√x,++无不多 8.对任意给定的实数x,证明：存在无穷多个有理数p/q(q>0),使得 -号<导 1.2数列和收敛数列 一个数列，正如其词义所表达的，是指一个接着一个并且永无尽头的数的排 列.例如 1,2.3,….n.…; 1分…宝 1,-1,1,-1,…,(-1)-1,…. 这些都是数列.数列的最一般的表示是 a1,a2,·,an,…, 其中am中的下标n指明了这一项在数列中的位置.am被说成是这个数列的第n 项，也称作数列的通项.为节约书写起见，数列常常记为{an},这里的下标n依次 地取遍正整数集N.下标不具有实质性的意义，这样的符号称为哑符号.因此， ·8…
,:：第1章实数和数列极限 上述数列也可以记为{am},下标m依次地取遍正整数集N".注意：数列中可以出 现若干相等的项，甚至所有的项都可以相等 在数列中，特别值得重视的是所谓“收敛数列”.粗略地讲，收敛数列具有这样 的性质：当n变得越来越大时，项am就越来越接近某一个常数a.这种现象在实际 中是经常出现的.我们可以人为地作出下面这个收敛数列的例子： a1=0.30000…, a2=0.33000…, am=0.33333330…, n个 很明显，当n越来越大时，项am将与实数0.333…=1/3越来越近 我们不得不承认，上述关于收敛数列的说法，不但含糊不清，而且会招致误解， 什么叫作“越来越大”？什么叫作“越来越近”？如果只停留在这种说法上，任何科 学的、有价值的讨论都不可能进行下去，我们必须给出一个明确的定义. 定义1.2.1设{an}是一个数列，a是一个实数.如果对任意给定的e>0,存 在一个N∈N*,使得当n>N时，有 an-a<e, (1) 就说数列{an}当n趋向无穷大时以a为极限，记成 lim an=a, 也可以简记为an→a(n→∞).我们也说数列{an}收敛于a.存在极限的数列称为 收敛数列；不收敛的数列称为发散数列 现在再来考察出现在定义1.2.1前的那个数列{am}.由于 号-a=10.3333…-0.33…330… =0.0-033…=08×0.33=3×10 n个 因此对任意给定的e>0,取N=[1/e]+1(这里记号[x]表示不超过x的最大整 数)，当n>N时，便有 -a=xio<<<<e 这就严格地证明了：当n趋向于无穷大时，数列an以1/3为其极限 由于极限是一个十分重要的概念，我们对定义1.2.1应当有更深入的考虑 ·9·
数学分析教程…’· (1)在定义1.2.1中，正数e必须是任意给定的，不能用一个很小的正数来代 替.所谓“任意”，着重强调的是“任意小”的方面，而不是“任意大”那一方面.很显 然，若在定义1.2.1中把“对任意给定的e>0”改成“对任意给定的e∈(0,1/2)”， 其他词句不作改变，仍引旧可以作为数列收敛的定义 (2)当正数e给定之后，满足要求的N通常是与e有关的.一般来说，当e变 小时，相应的N将变大.很明显，如果N∈N满足|am-a|<e的要求，那么 N+1,N+2,N+3,…都能满足|am-a|<e的要求.在证明数列收敛的时候，我 们重视的是满足条件的N的存在性，并不需要找出满足要求的最小的正整数： 这里举几个证明数列极限的例子， 例1证明： lim3y元+1=3 n+2√/n-1 2 证明因为 3n+13 ÷5 5 2√n-1 -z=4√n-22√m+2(n-1) <5 63 2√n√n 所以，对任意给定的ε>0，只要取N=[9/e2],当正整数n>N时，便有 3√n+1-3 0 2√n-1 √n 例2证明：对任意的正数a>0,有 lim辽 n-o na =0 证明先设a≥1.这时 是-0=≤是 对任意的e>0,取N=[1/e],当正整数n>N时，便有 是-0≤为 <6 这就对a≥1的情形证明了结论. 现设0<a<1,总可以找到m∈N·,使得ma>1.由于{1/nm}收敛于0，故对 任意给定的e>0,存在N,使得当n>N时，有1/n<em,这等价于1/n“<e.所 以，可以断言：对一切a>0,有 ·10…