第1章 实数和数列极限 粗略地说，数学由三个大的分支一几何学、代数学和分析学组成.它们有着 各自的研究对象、内容和方法，同时又互相依赖和渗透.分析学是从“微积分”开始 的.虽然在古代已经产生了微积分的朴素的思想，但是作为一门学科，微积分则建 立于17世纪下半叶.在这一方面，英国、法国和德国的数学家们作出了杰出的贡 献.创立微积分的大师们着眼于发展强有力的方法，他们虽然解决了许多过去被认 为是无法攻克的难题，却未能为自己的方法奠定无懈可击的理论基础.这就引起了 长达一个多世纪的混乱和争论，直到19世纪初才玉宇澄清，一切混乱、误解的阴霾 才为之一扫.这主要是由于有了严格的极限理论，以及这一理论所依赖的“实数体 系的连续性”得以确定 本书书名为《数学分析教程》，正是研究微积分学的原理和应用，因此我们得从 实数理论和数列的极限理论谈起， 1.1实 数 在中学里，大家已经学习过有理数，任何有理数都可以表示为两个整数 之商： r=卫 式中p,9都是整数，且9≠0.大家还知道：有理数经过加、减、乘、除（除数不能 是0)四则运算之后仍为有理数.据此，称全体有理数组成一个数域.就是说，仅仅 通过四则运算，我们不可能从有理数得到别的东西 。1
数学分析教程。，·· 那么有理数是如何产生的？让我们从整数说起 我们说桶内有5升水，这说明桶内水的含量，这个量是由数“5”和单位“升”来 共同表达的.所以数是反映量的，是量的抽象.量无非是多寡、长短和大小，是比较 出来的.例如，2匹马、5只羊，这是量的多寡，是可以数的量.似乎可以说，由这种可 数量的多寡比较产生了自然数1,2,3，….但自然数远远不足以度量长短，这是因 为长短是连续变化的，这种“连续”的量与上述“可数”的或“离散”的量有根本区别 人们想到，规定一个标准长叫“一尺”，一切长度拿来与这个标准长作比较，就产生 了有尽小数的概念，如3尺2寸5分，即3.25尺.大小就是面积或体积的比较，而 面积是长度的平方，体积是长度的立方，因此要用数反映量，归根到底，就是要创造 出足以反映一切长短的全部数来.也就是说，规定了标准的单位长以后，每一个线 段都相应有一个数表示其长短，并且数与数的关系能反映线段的长短关系 那么有尽小数是否能度量一切线段的长度呢？远远不能.例如，把22尺布分 给7个人，每人得22/7尺，这个数不能用有尽小数来表示，而是 2号=3.i4285. 即无尽循环小数.这是因为用7除22，除不尽，产生余数1；再除，产生余数3.如此 下去，每次所余只能是0,1，…，6这七个数之一.因此最多除7次必得重复出现的 余数.如果重复出现的余数是0，就得有尽小数，不然就得无尽循环小数.由此我们 可得一般的结论：分数都是有尽小数或无尽循环小数 那么有尽小数或无尽循环小数是不是一定是分数呢？答案是肯定的.例如 3.25= 325-13 100=4 无尽循环小数3.142857通过下面的方法也可写成分数：记 3.i42857=3+a, 其中a=0.142857,那么10a=142857+a,于是 142857-142857-1 106-1 999999 , 所以 3.i42857=3+号=2号 由以上讨论知道，任何分数一定是有尽小数或无尽循环小数，反之亦然.那么 分数能否度量一切线段的长度呢？仍是远远不能！ 我们知道，两条直角边均为1的直角三角形的斜边长为√2.这个数就不是一个 ·2·
··。第1章实数和数列极限 分数.事实上，如果√2是分数，即 2=卫. 其中p,q是无公因子的正整数，那么 p2=2q2, 即p2是偶数，因而p也是偶数.设p=2k(k是一自然数)，代入上式，得4k2= 2g2,即 92=2k2, 所以9也是偶数，于是p,q有公因子2，这与p,q没有公因子的假设矛盾，所以√2 不是一个分数 但是我们也不是对√2一无所知，我们知道它在1与2之间；算得精确些，知道 它在1.4与1.5之间：再精确些，它在1.41与1.42之间；再精确些，它在1.414与 1.415之间…也就是说， √2=1.41421…， 它不是有尽小数，也不是无尽循环小数，否则它就是分数了· 于是我们看到，用标准长去量一切线段，只能出现上述三种情况：量得尽，得长 为有尽小数；量不尽，出现循环，得长为无尽循环小数；量不尽，且不出现循环，得无 尽不循环小数.对第三种情况，我们自然用量得的无尽不循环小数表示该线段的长 度也就是说，在分数（有尽或无尽循环小数）的基础上，再补充无尽不循环小数，就 可以度量一切线段的长度了： 我们把0，±1，±2，…叫作整数；把0和正负分数（整数也是分数）叫作有理数， 因而有理数包括0、正负有尽小数和无尽循环小数；把正负无尽不循环小数叫作无 理数.有理数和无理数统称为实数.有尽小数显然也可看作特珠的无尽循环小数， 例如 1.25=1.2500…=1.2499… 这样，实数就是全体无尽小数、 今后我们用Z记全体整数，N记自然数，N记全体正整数，Q记全体有理数，R 记全体实数，RQ记全体无理数。 构造了实数以后，我们就可以建立数轴.在直 线（图1.1）上任取一点O当作原点，再取一个线 Q 01 P 段当作单位长，以此单位长从原点开始往右量，量 图1.1 得线段OP的长为x,则以x表示P点，叫作P点 ·3·
数学分析教程·。… 的坐标.以此单位长从原点开始往左量，量得线段OQ的长为x',则以-x'表示Q 点，叫作Q点的坐标.这样，1上每一点都对应一个实数，即该点的坐标，1叫作数 轴.有了数轴就可以建立平面和空间坐标系，从而就可以建立解析几何学. 至此，问题还没有完.数轴上每一点都对应一个实数为其坐标，那么每一实数 是否都是数轴上某点的坐标呢？也就是说，全体实数是否正好充满整个数轴？答 案是肯定的，但严格的证明要等证明了闭区间套定理（定理1.5.2）之后才能给出， 但对任何有理数p/q,很容易找到数轴上和它对应的点：把单位长度分成g等份， 找出代表1/q的那一点，由此便容易找出代表p/9的那一点. 对固定的正整数q,让p取遍所有的整数，那么p/q这些数把数轴分成一些 长度为1/q的区间.每一个实数x位于这些区间中的一个区间，这就是说，对任意 固定的实数x,一定可找出一个整数p,使得 卫≤x< P+1 9 这个不等式等价于 0≤x-卫< q q 由此得 x-< 由于q是任意取定的正整数，我们可以事先把q取得充分大，以至使1/q小于我 们预想的值.上面那个不等式表明：每一个实数都能用有理数去逼近到任意精确的 程度 不等式在数轴上的表示是非常形象的：a<b意即a在b的左边.设a<b,所 有在a与b之间的点的集合称为开区间，我们写为 (a,b)={x:a<x<b} 闭区间[a,b]是由开区间(a,b)添上两个端点而组成的，即 [a,b]={x:a≤x≤b}. 半开或半闭的区间(a,b]或[a,b)可类似地定义.记R=(-∞，+∞)，对a∈R, 定义 (-∞，a]={x∈R:x≤a}，,(a,+∞)={x∈R:x>a} 一个数x的绝对值是指它到原点的距离，记为|x【.点x与y之间的距离是 x-y|.对任何实数x与y,我们有 -|x|≤x≤x,-|y|≤y≤|yI, ·4
:··,·第1章实数和数列极限 把这两个不等式相加，得到 -(|x+1yI)≤x+y≤|x|+|yI, 这等价于 |x+y≤Ix|+|y1. 这个不等式称为三角形不等式.容易证明，式中等号成立的条件是x与y中至少有 一个等于0，或者x与y有相同的正负号. 我们说R中的数集E在R中是稠密的，如果在任意两个实数间必有E中的 一个数 上面这段讨论说明，有理数集Q在R中是稠密的 前面我们证明了√2是无理数，那么3，√5是不是也是无理数？答案是肯定的， 下面就给出证明， 例1证明：若n∈N'且n不是完全平方数，那么√n是无理数 证明用反证法.假设√n=p/q,其中p,q∈N*.由于n不是完全平方数，故 有m∈N·,使得m<p/q<m+1,由此得到0<p-mq<q.在等式p2=nq2的 两边都减去mpg,得到p2-mpq=ng-mpg,这等价于 卫=ng-mp g p-mg 令p1=nq-mp,91=p-mg.由于q1∈N'且q1<q,所以p1∈N*且p1<p.对 等式 卫=P1 991 反复地进行同样的讨论，可以得出两串递减的正整数列 p>p1>pz>p3>… 与q>91>q2>93>…, 使得 卫=P1=P2= 9919293 这是不可能的，因为从P或q开始的正整数不可能无止境地递减下去，这就证明了 √n不可能是有理数. 0 上行中所用的记号“口”表示待证明的命题已经证明完毕。 上述证明中所用到的方法，叫作无穷递降法.这是在初等数论中常用的一种 方法. 数的产生和发展是由计数和量测的需要而促成的.因此，如果我们只局限于有 ·5