·、·第1章实数和数列极限 0 no na 例3当}q1<1时，求证： lim g"=0. H-年可 证明当q=0时，结论显然成立.设0<|q<1,则 。Tg7-1>0 由二项式展开，可见 1+a)n=1+a+nm21D。2+…>a. 2 由此得出 1g-01=1q=a+@<d 因此，对任给的e>0,只要取N=[1/(ae)],当n>N时，必有 1g<a<点< 0 例3也可用一个更简单的方法来做：要使 I qI"<e, (2) 即nlnq<lne,只需 Ine n>in ql' (3) 因此取N=[lne/lnq],则当n>N时，式(3)便成立，因而式(2)也成立. 例4求证：lim ni/n=1. 材 证明利用几何平均-算术平均不等式，得到 1≤nn=(1nvn)m≤n-2)+2m=1+2(Vn-1) n n n-2个 因此 0≤nn-1≤2 n 所以，对任给的e>0,取N=[4/e2],当n>N时，有 1-1<< 2 Te. 0 以上的例子给读者演示了证明数列极限的“ε-N方法”.不仅如此，其中例2、 例3和例4的结论本身还有重要的用处，最好能将它们记住 ·11·
数学分析教程。· 练习题1.2 1.利用极限定义，证明： 1 ==0; (2)mn4=0. n (3)1im=0: (4)1im-1)" 2n+3_2 (5)im5n-i0=5 (6)lim0.99…9=1; n个 (7)lim m1+2+…+n= n2 2: (8)lim1+2+.+n2= 3: (9)lim arctan n= n2arctan n= 月- (10)1im-1+n2 2 2.设lim a=a.求证：liml a|=a.举例说明，这个命题的逆命题不真， 3.设{an}是由整数组成的数列.求证：数列{an}收敛，当且仅当从某一项起数列的项都等于 一个常数。 4.下列陈述是否可以作为lim a.=a的定义？若回答是肯定的，请证明之；若回答是否定 的，请举出反例. (1)对无限多个正数e>0,存在N∈N·,当n>N时，有|am-a|<e; (2)对任意给定的e>l,存在N∈N",当n>N时，有an-a|<e; (3)对任意给定的正数e<l,存在N∈N·,当n>N时，有|am-a|<e; (4)对每一个正整数k,存在Nk∈N·,当n>Nk时，有|am-a!<1/k; (5)对任意给定的两个正数e与8，在区间(a-e,a+8)之外至多只有数列{an}中的有 限多项 5.用精确语言表达“数列{an}不以a为极限”这一陈述 6.设数列{an}满足im2m=0,证明： nt n lim max(a1a2,,an）=0. 7.设a,b,c是三个给定的实数，令ao=a,b。=b,co=c,并归纳地定义 an=ba-i+cn=i 2 bn=C-l十au,(n=1,2,3,…. 2 Cn an-i+ba-1 2 ·12-
， 第1章实数和数列极限 求证： lim a=imb=ima+b+e). 1.3 收敛数列的性质 有了数轴，我们就可以用几何的语言来刻画收敛数列.绝对值不等式|am-a <e等价于 a-E<an a E, 而后者正是am∈(a-e,a+e).我们称关于a对称的开区间(a-e,a+e)为a的 e邻域，这样一来，定义1.2.1就可以用几何语言等价地表达为： 定义1.3.1数列{an}当n→∞时收敛于实 数a是指：对任意的e>0,总存在N∈N*,使得此 Q-8 a a+E 数列中除有限多项a1,a2,·,aw,其他的项均落在 图1.2 a的e邻域内（图1.2）. 定理1.3.1如果数列{an}收敛，则它只有一个极限.也就是说，收敛数列的 极限是唯一的. 证明用反证法.假设收敛数列{am}有两个不同的极限a与b,不妨设a<b, 令e=(b-a)/2.对这个e>0,必有N1∈N,当n>N1时一切am均在b的e邻 域内；同时又有N2∈N',当n>N2时一切an均在a的e邻域内.因此，当n> max(N1,N2)时，一切an都必须同时在这两个开区间内，但因这两个开区间没有 公共点（图1.3），这就产生了矛盾.所以，只能有a二b,这就证明了极限是唯一的.0 定义1.3.2设{am}是一个数列. (a+b)/2 0 如果存在一个实数A,使得an≤A对一 图1.3 切n∈N*成立，则称{am}是有上界的， A是此数列的一个上界， 类似地，可以定义有下界的数列： 如果数列{am}既有下界又有上界，则称它是一个有界数列 非常明显的是，数列{a}是有界数列必须且只需它的各项全都包含在同一个 有限的区间之内 ·13·
数学分析教程‘· 定理1.3.2收敛数列是有界的， 证明设收敛数列{an}的极限是a,那么，对a的1邻域，必存在N∈N·,使 得凡是n>N的项an都在这个邻域内，不在这个开区间内的至多是a1,a2,aN 这些项.我们完全可以找到一个大一些的区间，它既包含a的1邻域，又包含着 a1,a2,…,aw,这就证明了数列{an}是有界的.如果有人还希望有更形式化一些的 证明，这就是：当n>N时，有|an-a<1,于是 |am|=|am-a+a|≤|am-a|+|a|<1+|a|. 若令M=|a1|+|a2|+…+|awl+|a|+1,则对一切n∈N',有|am|<M. 0 请注意，这个命题的逆命题是不正确的.我们马上将看到发散的有界数列. 定义1.3.3设{am}是一个数列，k:∈N·（i=1,2,3,…),且满足k1<k2< k3<…,那么数列{akn}叫作{an}的一个子列， 由这个定义，{am}自身也可以看作是{an}的子列. 定理1.3.3设收敛数列{an}的极限是a,那么{an}的任何一个子列都收敛 于a. 证明由条件，对任意的e>0,存在N∈N',当n>N时，有|am-a|<e. 任取{an}的一个子列{akn},令 bm=ak,(n∈N'). 由于km≥n对n∈N'成立，故当n>N时，有km≥n>W,因此 Ibn-al=l ak -a<e. 这正表明{bn}收敛于a. 0 这个定理告诉我们：如果数列{an}的两个子列收敛于不同的极限，那么数列 {am}是发散的.这个结论通常被用来证明某个数列是发散的，我们考察数列 {(-1)"-1},显然它是一个有界的数列，但它不是一个收敛数列.这是因为它的奇 数位置上的所有项组成的子数列的极限是1，而偶数位置上的所有项组成的子数 列的极限是-1. 从定理1.3.3容易得到下面的推论： 推论1.3.1数列{am}收敛的充分必要条件是它的偶数项子列{a2m}和奇数 项子列{a2m-1}都收敛，而且有相同的极限. 证明从定理1.3.3立得推论的必要性.现证充分性.设lima2n=lima2n-l =a.由于ima2k=a,对任给的e>0,存在K1∈N,当k>K1时，有 azk-a<E. (1) 由于lima2-1=a,对任给的e>0,存在K2∈N*,当k>K2时，有 ·14·
·。·“·:,第1章实数和数列极限 |a2k-1-a|<e (2) 现取N=max(2K1,2K2-1),那么当n>N时，如果n=2k,由于2k>2K1,k> K1,所以由式(1)，知|a2k-a|<e,即 an -a<e. (3)》 如果n=2k-1,由于2k-1>2K2-1,k>K2,由式(2)，知a2k-1-a|<e,即 an -a<e. (4) 由式(3)和(4)，即知lim an=a. 0 以后将要多次用到这个推论· 定理1.3.4（极限的四则运算）设{am}与{bn}都是收敛数列，则{an+bn, {anbn}也是收敛数列.如果lim b≠0，则{an/bn}也收敛，并且有： (1)lim(an±bn)=lim an±lim b; (2)lim abn=lim a·lim b,特别地，如果c是常数，便有1 im can= n- 以山 c lim an; lim an (3)1i四6：=mb,其中四b.≠0. 月一◆0 证明设iman=a,lim b=b. 村-eag (1)对任给的e>0,存在N1∈N",使得当n>N1时，有 |am-a|<; 也存在N2∈N,使得当n>N2时，有 Ibm-b|<受： 所以，当n>N=max(N1,N2)时，以上两个不等式都能成立，从而有 I(am±bm)-(a±b)|=|(an-a)±(bm-b) ≤|am-a|+|bn-b| <8+号=e 这就证明了 lim(an±bn)=a±b. (2)由于{bn}是收敛的，它必有界.这就是说，存在正数M,使得|bnI<M对 一切n∈N·成立.从而有 l anbn-ab=anbn -abn abn-ab ·15·