0181第1章事件的概率 A={掷出的点数之和大于10， B=(至少有一粒骰子掷出6) 若事件A发生，易见B非发生不可，故A蕴含B,一个形象的看法如图1.3所 示.向一个方形靶面射击，以A,B分别记“命中图中所标出 的闭曲线内部”的事件，则命中A自意味着命中B.这个图形 也说明了“B包含A”这个说法的来由.因为从图中明白看 出，B这一块包含了A这一块， 拿“事件是试验的一些结果”（见1,1.2段）这个观点去 看，如果A蕴含B,那只能是：A中的试验结果必在B中，即 图1,3B这个集合（作为试验结果的集合）要大一些，“包含”一词即 由此而来.实际含义是：若ACB(也写为B一A),则A和B相比，更难发生一 些，因而其概率就必然小于或至多等于B的概率.“两事件A,B相等”无非是 说，A,B由完全同一的一些试验结果构成，它不过是同一件事表面上看来不同 的两个说法而已 例如，掷两个骰子，以A记事件“两骰子掷出点数奇偶不同”，以B记事件 “掷出点数之和为奇数”.这两个事件，说法不同，其实则一.对复杂情况则未必如 此一目了然.证明两事件A,B相等的一般方法是：先设事件A发生，由此推出 B发生；再反过来，由假定B发生推出A发生，这将在后面举例说明 1.3.2事件的互斥和对立 若两事件A,B不能在同一次试验中都发生（但可以都不发生），则称它们 是互斥的.如果一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的，或简 称互斥的 例如，考虑投掷一个骰子这个试验，记E,为事件“掷出的点数为1的倍数” (i=2,3,4),则E。与E,为互斥.因若E4发生，则只有掷出4点，而它非3的倍 数，即E必不发生，但是，E2和E,并非互斥，因若掷出6点，则二者同时发生 简而言之，互斥事件即不两立之事件.从“事件是由一些试验结果所构成的”这个 观点看，互斥事件无非是说，构成这两个事件各自的试验结果中不能有公共的 互斥事件的一个重要情况是“对立事件”，若A为一事件，则事件 B={A不发生} 称为A的对立事件，多记为A(读作Abar,也记为A)
1,3事件的运算、条件概率与独立性|019 例如，投掷一个骰子，事件A={掷出奇数点}=(1,3,5}的对立事件是B {掷出偶数点》=(2,4,6).对立事件也常称为“补事件”.拿上例来说，事件A包 含了三个试验结果：1,3和5，而对立事件B中所含的三个试验结果2,4和6，正 好补足了前面三个，以得到全部试验结果. 1.3.3事件的和（或称并） 设有两个事件A,B,定义一个新事件C如下： C={A发生，或B发生)={A,B至少发生一个)， 所谓定义一个事件，就是指出它何时发生，何时不发生，现在这个事件C在何时 发生呢？只要A发生，或者B发生（或二者同时发生也可以），就算是C发生 了，不然（即A,B都不发生）则算作C不发生，这样定义的事件C称为事件A 与事件B的和，记为 C=A+B. 例如，投掷一个骰子，以A记事件{掷出偶数点}={2,4,6)，以B记事件{掷 出3的倍数)={3,6)，则C=A+B={2,3,4,6},即当掷出的点为2,3,4或6 时，事件C发生，而掷出1,5时则不发生.我们注意到，两事 件的和，即把构成各事件的那些试验结果并·在一起所构成 A 的事件.如把图1,4所示的正方形视为一个平面靶，A,B两 事件分别表示命中图中所指闭曲线内部，则C=A+B表 示“命中由A,B两闭曲线的外缘所围成的区域”.这个区域 比A,B都大，它由A,B两部分合并而成.当然，作为集合， 重复的部分（图中斜线标出的部分）只需计入二次 图14 这样，若C=A+B,则A,B都蕴含C,C包含A也包含B.经过相加，事件 变“大”了（含有更多的试验结果），因而更容易发生了 事件的和很自然地推广到多个事件的情形，设有若干个事件A:,A2, A。.它们的和A,定义为事件 ·由于这个原因，事件的和也常称为事件的并，和A+B也常被记为AUB.“U”这个记 号有“合并”的含义.由于称呼和书写上的方便，本书中我们一直用“和”与“+”的说法，也有些 著作在当A,B互斥时才把AUB写成A+B,本书不采用这个做法
0201第1章事件的概率帝 A={A:发生，或A2发生，或A。发生)划 ={A1,A2,A。至少发生一个}， 且记为A,+A2+.+A。或∑A,(也常记为0A,本书不用这个记号)，A是 由把A1,A。所包含的全部试验结果并在一起得到的.和的定义显然地可推 广到无限个事件的情形。 在此要不厌其烦地重复一点，有的初学者对事件的运算感到不易理解.比 如，定义事件A,B之和为C={A,B至少发生其一}.他们问：既然已说A,B至 少要发生一个，那岂不是对A,B做了限制？不然，我们不要忘记1.1节中所说 的“事件不是指已发生了的情况，而是某种情况的陈述”.定义C为“A,B至少 发生其一”，当然不是说A,B已经或必然发生一个，而是在试验时，若A,B至 少发生了一个，则算做C发生了.在任何一次特定的试验中，当然可能A,B都 不发生，这时C也就不发生，理解了这一点就好办了，望读者多加留意 1.3.4概率的加法定理 定理3.1若干个互斥事件之和的概率，等于各事件的概率之和，即 P(A:+A2+.)=P(A1)+P(A2)+. (3.1) 事件个数可以是有限的或无限的，这个定理就称为（概率的）加法定理，其重要条 件是各事件必须为两两互斥 在概率的古典定义和统计定义之下，(3.1)式很容易证明，拿古典定义来说 设试验一共有N个等可能的结果，而有利于事件A,A2,发生的结果数分别 为M,M2,则由于互斥性，有利于事件A=A十A2十.发生的结果数应为 M=M1+M2+:,于是 P(A)=(M+M2+.)/N =M/N+M2/N+ =P(A1)+P(A2)+. 对统计定义也可完全类似地处理， 在概率论书籍中，加法定理往往被称为加法公理，即(3.1)式是不加证明而 被接受的事实.这条公理就是我们在1,1.5段中提到而未加说明的柯氏公理体 系中的第3条
1.3事件的运算、条件概率与独立性|021 读者可能会问：既然在古典定义、统计定义这样在实用上重要的概率定义之 下，(3.1)式是可以证明的，那么为什么要把它看作一条公理？问题在于：你可以 想像而且也确实可以建立一种概率理论，其中(3.1)式不成立.柯氏公理的意思 是说，我只考虑那种满足(3.1)式的概率理论，而不及其他.正如在几何学中，你 可以把“过不在直线【上的任一点只有一条与I平行的直线”作为公理，由此建 立一套欧氏几何学，也可以废弃这条公理而建立非欧几何学，二者都符合形式逻 辑.古典定义和统计定义之所以适合(3.1)式，不过是说明了：它们是柯氏公理佛 系中的东西。 加法定理(3.1)的一个重要推论如下： 系3.1以A表A的对立事件，则 P(A)号1P(A).18.2) 证明很容易.以2记必然事件，则按对立事件的定义有A+A=Q,且A和 A互斥，因P(2)=1,由(3.1)式得1=P(Q)=P(A+A)=P(A)+P(A) 即(3.2)式. 这个简单公式在概率计算上很有用，因为有时计算P(A)不易，而P(A)则 容易处理一些 1.3.5事件的积（或称交）、事件的差 设有两个事件A,B,则如下定义的事件C: C={A,B都发生} 称为两事件A,B的积或乘积，并记为AB.拿图1,4所示的例子来说，若分别以 A,B表示“命中图中相应区域”的事件，则AB就是事件“命中图中斜线部分” 又如骰子试验，分别以A,B记“掷出偶数点”和“掷出素数点”的事件，则AB就 是事件“掷出2点”.一般地，事件A,B各是一些试验结果的集合，而AB则由同 属于这两个集合的那些试验结果组成，即这两个集合的交叉”，按积的定义，两 个事件A,B互斥，等于说AB是不可能事件， 多个事件A1,A2,.(有限或无限个都可以)的积的定义类似：A={A, ￥由于这个原因，事件的积也常称为事件的交，积AB也常记为A∩B,“门”这个记号有 取交的含义，为书写方便，本书一直用AB这个记号
0221第1章事件的概率 A2,.都发生)，记为A=A1A2.,或工A:(事件个数有限)或工A:(事件个 数无限) 两个事件A,B之差，记为A-B,定义为 A-B={A发生，B不发生 例如，刚才提到的掷骰子试验中的两个事件A和B,A-B={4,6).在图1.4 中，A一B就是“命中图中用点标出的区域”这个事件.一般地，A一B就是从构 成A的那些试验结果中，去掉在B内的那一些，很明显 A-B=A B, (3.3) 其中B是B的对立事件.因为，AB无非是说，A,B都发生，或A发生B不发生 这样，差可以通过积去定义， 我们对事件引进了和、差、积等运算，借用了算术中的名词，但应注意，算术 的法则不一定能用于事件运算.有些规则是成立的.例如，和A+B及积AB与 次序无关，即A+B=B+A,AB=BA,这由定义可直接看出，乘法结合律成 立，即(AB)C=A(BC)(它们都等于ABC).分配律也对，例如： A(B-C)=AB-AC. (3.4) 证明如下：设在左边的事件发生，则按积的定义，事件A和B一C都发生，按差的 定义，B发生，C不发生.因此，A,B同时发生而A,C不同时发生，故AB发生而 AC不发生.按差的定义，即知AB-AC发生，反过来，若右边的事件发生，则AB 发生而AC不发生，由前者知A,B都发生，由A发生及AC不发生，知C不发生， 故B-C发生，因A和B-C都发生，知A(B-C)发生，这就证明了(3.4)式. 这就是我们在本节1.3.1段末尾处指出的证明事件相等的一般方法的一个 实例.读者必须了解，像(3.3)，(3.4)这类的等式，不过是反映了一种逻辑关系 因而必须用上述逻辑思维的方式去验证.有些关系，看来不习惯，但逻辑上很简 单.例如，A+A=A,而非2A(2A无意义)：AA=A,而非A2(A2无意义)：由 A-B=(不可能事件)，推不出A=B,而只能推出ACB.又如，(A一B)+B 并不是A,而是A+B(请读者自证)，等等. 1.3.6条件概率 一般来讲，条件概率就是在附加一定的条件之下所计算的概率，从广义的意