1.2古典概率计算1013 这里要求m≤M,n-m≤N-M,否则概率为0（因E为不可能事件）. 例2.2n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只.问“各堆都自 成一双鞋”这个事件E的概率是多少？ 把2n只鞋分成n堆，每堆2只的分法，按公式(2.6)，有N=(2n)I/2 种.有利于事件E的分法可计算如下：把每双鞋各自绑在一起看成一个物件， 然后把这相异的n个物体分成n堆，每堆1件.按公式(2.6)，分法有M=n」 种.于是 P(E)=M/N=n12*/(2n)1=1/(2n-1)II. a!这个记号对奇自然数定义：a！=1·3·5.a,即所有不超过a的奇数 之积 另一种算法如下：把这2n只鞋自左至右排成一列（排法有(2n)!种），然后 把处在1,2位置的作为一堆，3,4位置的作为一堆，等等，为计算使事件E发生 的排列法，注意第1位置可以是这2n只鞋中的任意一只，其取法有2n种，第1 位置取定后，第2位置只有一种取法，即必然取与第1位置的鞋配成一双的那一 只.依此类推，知奇数位置依次有2n,2n一2,2n-4,2种取法，而偶数位置 则都只有1种取法，所以，有利于事件E的排列总数为2n(2n二2)”~2 2"n!,而 P(E)=2nI/(2n)! 与前面用另外的方法算出的结果相同， 例2.3n个男孩，m个女孩(m≤n+1)随机地排成一列，问“任意两个女 孩都不相邻”这个事件E的概率是多少？ 把n+m个孩子随意排列，总共有N=(n+m)!种不同的排法，有利于事 件E发生的排法可计算如下：先把n个男孩子随意排成一列，总共有n!种方 法.排定以后，每两个相邻男孩之间有一个位置，共 0—×0一x0—×0 有n-1个：加上头尾两个，共n+1个位置（图1.2 头5图120出 画出了n=3的情况，“×”表示男孩，4个“○”表示 刚才所指出的n+1=4个位置).为了使两个女孩都不相邻，必须从这n+1个 位置中取出m个放女孩，取法有+)种，取定位置后，m个女孩子尚可在这 、m m个取定位置上随意排列，方法有m!种.由此推出，有利于事件E发生的排列
0141第1章事件的概率 数为M=a(m,因此 B=(aa1=('/产） 如果这中m个孩子不是排成一条直线，而是排在一个圆圈上，则同一事 件E的概率是多少(m≤n)?初一看以为无所区别，其实不然.看图1.2，若以 “×”和“○”分别表男孩、女孩，则在一条直线上首、尾两女孩并不相邻，但若把这 条直线弯成一个圆圈，则首、尾两女孩就成为相邻了，因此算法略有不同.我们留 给该者去证明：答案为（偏）(+) 例2.4一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n支，每次抽烟时从口袋中随机 拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿出）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取 出的那一盒已空了，问“这时另一盒中恰好有m支火柴”的概率是多少？ 解法1我们来考察最初2n+1-m次抽用的情况，每次抽用时有2种方 法（抽出甲盒或乙盒），故总的不同抽法有2+1m种.有利于所述事件的抽法可 计算如下：先看“最后一次（即第2n+1-m次）抽出甲盒”的情况.为使所述事 件发生，在前2n-m次中，必须有n次抽用甲盒，实现这一点不同的抽法为 2”,类似地，“最后一次抽出乙盒”的抽法也有这么多.故有利于所述事件 的全部描法为2“。严）面平件的展率为 (2.8) 解法2因每盒中只有n支，最晚到第2n+1次抽取时，或在此之前，必发 现抽出的盒子已空，故我们不管结果如何，总把试验做到抽完第2n+1次为止， 不同的抽法有22m*1种 现在计算有利于所述事件的抽法.仍如前，先考虑“先发现甲盒为空”的抽法 有多少，这必然是对某个r(r=0,1,n一m),以下情况同时出现： 1°第n+r次抽取时抽出甲盒，而这时甲盒已是第n次被抽出： 2°前n+,-1次抽取时，乙盒被抽出，次（其不同的抽法有
1.2古典概率计算1015 3°紧接着的n一m-r次全是抽出乙盒： 4°第2n-m+1次抽取时抽出甲盒（这时发现它已空，且乙盒恰有 m支)： 5°最后m次抽取结果可以任意（其不同的抽法有2种）. 综合上述，对固定的，抽法有，○2种，因此·“有利于事件发生， 且先发现甲盒为空”的抽法有 种.类似地，“有利于事件发生，且先发现乙盒为空”的抽法也有α种.故总数为 2a,概率为 2a/2u=(n-1+）/2-4 (2.9) 两种方法算出的结果，只能有一个，故比较(2.8)式和(2.9)式，我们得到 个组合恒等式 当然，你也可以怀疑，这两个解法中有一个不对，因而上式也可能错了，但此式可 另行证明.为方便计，将式中的m改为nm,而将该式写为 而此式易用数学归纳法证明.当m=0,1时，直接计算可知其成立，然后用易证 的等式 m m 1 去完成归纳证明.中，W 这个例子给人的启发是：适当的考虑得出简洁的解法，第2种解法，把试验
0161第1章事件的概率 做到必然能见分晓的地步，较为自然易懂，但结果则较繁复，要不是有(2.8)式对 照，我们可能停留在(2.9)式，而得出不理想的形式.前一解法抓住了这一点：要 使所设事件发生，抽取必然是2n+1-m次.正是这一简单的观察得出了极为 简洁的解(2.8) 例2.5有21本不同的书，随机地分给17个人.问“有6人得0本，5人得1 本，2人得2本，4人得3本”这个事件E的概率是多少？ 因为每本书都有17种可能的分法，故总的不同分法有171种，为计算有利 于事件E的分法，得分两步分析：①按得书本数不同把17人分成4堆，各堆分 别含6人(0本)、5人(1本)、2人(2本)、4人(3本).这不同的分法按公式 (2.6),有171/(6！512141)种.②把21本书按17人得书数情况分为17堆，各堆 数目依次为 0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,3,3,3,3 不同的分法有 211/(0111521231)=211/(21231) 种，二者相乘，得出有利于事件E的分法总数，进而得出E的概率为 171211/(172121331415161). 以上举的例子都有一定的代表性，古典概率计算实质上就是组合计算，但在 分析问题时，怎样去选定一个适当的实现随机化的机制（如例2.4，例2.5），怎样 去正确计算公式(1.1)中的M,N,以保证既不重算也不漏算，则需要细心·尤其 是：你所设想的机制是否真的实现了等可能性？有时表面上看想当然对，其实是 似是而非的.如例2.3中，圆圈的情况和直线有所不同一在直线上正确地体现 了等可能的做法，在圆圈上却没有.再看下例. 例2.6n本书随机分给甲、乙二人，问“甲、乙各至少得到1本”这个事件 E的概率是多少？ n本书随机地分给2人，甲得的本数无非是0,1，n,一共有n+1种可能 性，其中0和n两种是“全归一人”，剩下n-1种有利于事件E,故P(E)= (n-1)/(n+1). 这个解法是否对？不对.问题在于：0,1，n这n+1种结果不具有等可能 性，凭常识可以推想：若n较大，则甲得/2本左右的机会，应比他全得或全不 得的机会大一些.正确的解法如下：”本书分给2人，不同的分法有2”种.其中
1.3事件的运算、条件概率与独立性1017 仅有两种是使事件E不发生的，故P(E)应为(2-2)/2“=1-1/2-1， 1.3事件的运算、条件概率与独立性 在实用上和理论上，下述情况常见：问题中有许多比较简单的事件，其概率 易于算出，或是有了理论上的假定值，或是根据以往的经验已对其值作了充分精 确的估计.而我们感兴趣的是一个复杂的事件E,它通过种种关系与上述简单事 件联系起来，这时我们想设法利用这种联系，以便从这些简单事件的概率去算出 E的概率.正如在微积分中，直接利用定义可算出若干简单函数的导数，但利用 导数所满足的法则，可据此算出很复杂的函数的导数， 例如，向一架飞机射击，事件E是“击落这架飞机”.设这架飞机有一名驾驶 员，两个发动机G,和G2.又假定当击中驾驶员，或同时击中两个发动机时，飞机 才被击落，记事件 E。=击中驾驶员， E,=击中G,(i=1,2), 则E与E。,E1,E2有关，确切地说，E即由E。,E1,E2决定，其关系可通过文字 表达如下： E=(E。发生或者E1,E2都发生}. 这种表述很累赘，我们希望通过一些符号来表达，这就是本节要讨论的事件的关 系和运算.对事件进行运算，如同对数字做运算一样：对数字进行运算得出新的 数字，而对事件做运算则得出新的事件· 1.3.1事件的蕴含、包含及相等 在同一试验下的两个事件A和B,如果当A发生时B必发生，则称A蕴含 B,或者说B包含A,记为ACB.若A,B互相蕴含，即ACB且BCA,则称A, B两事件相等，记为A=B. 例如，掷两粒骰子.记