1.1概率是什么1003 个概念有广泛的生活基础.我们几乎无时不在估计种种情况出现的可能性，而不 同的人很少能在“客观”的基础上达成一致.②这可能反映认识主体的一种倾向 性，而有其社会意义，例如，若问“三年后经济形势会得到根本改善”的可能性大 小怎样，则不同经济状况、社会地位以至政治倾向的人，会做出有差异的估计.就 个别估计而言，可能谈不上多大道理；但从总体而言，则反映了社会上广大群众 对长远发展的信心如何，对社会学家乃至决策者来说，这是很有用的资料.③在 涉及（经济和其他的）利益得失的决策问题中，处于不同地位和掌握信息多少不 同的人，对某事件可能性的大小要参照这些情况及可能的后果去做衡量，适合于 某人的决策，例如风险较小的决策，不必适合于另一个人，因对他而言，这一决策 可能风险太大.因此，主观概率这个概念也有其实用基础.事实上，许多决策都难 免要包含个人判断的成分，而这就是主观概率， 1.1.2试验与事件 前面我们已经提到了“事件”这个名词.事件是什么？在通常的意义下，它往 往是指一种已发生的情况，例如某某空难事件，1941年日本偷袭珍珠港的事件 之类，在概率论中则不然，事件不是指已发生了的情况，而是指某种（或某些）情 况的“陈述”，它可能发生，也可能不发生，发生与否，要到有关的“试验”有了结果 以后才能知晓 拿前例而言，事件A“陈述”了这样一种情况：下午6时前不会下雨.我们当 然并未说这已经发生了，它是否发生，要等试验结果，这个试验，就是对到下午⑥ 时前的天气情况进行观察. 推而广之，我们就不难明白：在概率论中，“事件”一词的一般含义是这样的 (1)有一个明确界定的试验.“试验”一词，有人为、主动的意思，而像上例那 样，人只处在被动地位，只是记录而并不干预气象过程·这类情况一般称为“观 察”，在统计学中，这一分别有时有实际含义，但对目前的讨论不重要，可以把“试 验”一词理解为包含了观察， (2)这个试验的全部可能结果，是在试验前就明确的，拿上例来说，试验的 全部可能结果只有两个：其一是A,另一是A={今天下午6时前会下雨}，为此， 可把这个试验写为(A,A).不必等到试验完成（不必到下午6时）就知道：非A 即A,必居其一，又如，投掷一个赌博用的骰子这个试验，虽无法预卜其结果如 何，但总不外乎是“出现1点”，.，“出现6点”这6个可能结果之一，因而不妨 把这个试验简记为(1,2，.，6)
0041第1章事件的根率 在不少情况下，我们不能确切知道一个试验的全部可能结果，但可以知道它 不超出某个范围，这时，也可以用这个范围来作为该试验的全部可能结果，如在 前例中，若我们感兴趣的不止在于下午6时前是否下雨，而需要记录下午6时前 的降雨量（如以毫米为单位），则试验结果将是非负实数x,我们无法确定x的可 能取值的确定范围，但可以把这个范围取为[0，©)，它，总能包含一切可能的试验 结果.尽管我们明知某些结果，如x>10000,是不会出现的.我们甚至可以把这 个范围取为（一∞，∞）也无妨.这里就有了一定的数学抽象，它可以带来很大的 方便，这一点在以后会更清楚， (3)我们有一个明确的陈述，这个陈述界定了试验的全部可能结果中一个 确定的部分·这个陈述，或者说一个确定的部分，就叫做一个事件.如在下雨的例 中，A是全部可能结果(A,A)中确定的一部分，在掷骰子的例中，我们可以定义 许多事件，例如： E,={掷出偶数点)=(2,4,6)， E2=(掷出素数点}=(2,3,5)， Ea=〈掷出3的倍数点}=(3,6)， 等等，它们分别明确地界定了全部试验结果的集合(1,2，6)中的一个相应的 部分 如果我们现在把试验做一次，即把这个骰子投掷一次，则当投掷结果为2 或为4，或为6时，我们说事件E,“发生了”，不然就说事件E,“不发生”.因此，我 们也可以说：事件是与试验结果有关的一个命题，其正确与否取决于试验结果 如何 在概率论上，有时把单一的试验结果称为一个“基本事件”这样，一个或一 些基本事件并在一起，就构成一个事件，而基本事件本身也是事件，在掷骰子的 例中，有1,2，.，6等6个基本事件.事件E2则由2,3,5这三个基本事件并成 设想你处在这样一种情况：投掷一个骰子，若出现素数点，你将中奖，则在骰 子投掷之前你会这样想：我能否中奖，取决于机遇.因此，在概率论中，常称事件 为“随机事件”或“偶然事件”，“随机”的意思无非是说，事件是否在某次试验中发 生，取决于机遇.其极端情况是“必然事件”（在试验中必然发生的事情，例如，〈掷 一个骰子，其出现点数不超过6)和“不可能事件”（在试验中不可能发生的事 件).这两种情况已无机遇可言，但为方便计，不妨把它们视为随机事件的特例， 正如在微积分中，常数可视为变量的特例
1.1概率是什么005 可以把必然事件和不可能事件分别等同于概率为1和概率为0的事件，从 严格的理论角度而言，这二者有所区别，但这种区别并无实际的重要性 本段讲的概念虽很浅显，但是很重要，特别提醒读者区别“事件”一词的日常 及在概率论中的不同含义， 1.1.3古典概率 承接上一段，假定某个试验有有限个可能的结果e1,e2,·,ew.假定从该试 验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一个结果，例如 e:,比任一其他结果，例如e,更具有优势（即更倾向于易发生），则我们只好认 为，所有结果e1,.ew在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会 常常把这样的试验结果称为“等可能的” 拿掷骰子的例子而言，如果：①骰子质料绝对均匀：②骰子是绝对的正六 面体：③掷骰子时离地面有充分的高度，则一般人都会同意，其各面出现的机会 应为等可能.当然，在现实生活中这只能是一种近似，何况，在骰子上刻上点数也 会影响其对称性， 在“等可能性”概念的基础上，很自然地引进古典概率的定义： 定义1.1设一个试验有N个等可能的结果，而事件E恰包含其中的M个 结果，则事件E的概率，记为P(E),定义为 P(E)M/N. (1.1) 本定义所根据的理由很显然，按前面的分析，由等可能性的含义，每个结果 的概率同为1/N.今事件E包含M个结果，其概率理应为1/N的M倍，即 M/N.古典概率是“客观”的，因为，如果等可能性是基于客观事实（例如在骰子 绝对均匀且为严格正六面体时)而非出于主观设想，则看来除按(1.1)式外，别无 其他的合理定义法，因此，在等可能性的前提下，(1.1)式应为大家所公认这样 关键就在于保证这个等可能性成立无误，在开奖时要设计适当的方法并设置公 证人，这些措施都是为了保证所用方法导致等可能的结果 设有一个坛子，其中包含N个大小和质地完全一样的球，M个为白球， N-M个为黑球.将这N个球彻底扰乱，蒙上眼睛，从中抽出一个.则人们都能 接受：“抽到白球”这个事件的概率，应取为M/N.这个“坛子模型”看起来简单， 却很有用：它是在一切概率的讨论中，唯一的一个易于用形象的方法加以体现的 情况，日常习用的按“抽签”来保证机会均等的做法，就是基于这一模型，有了这
0061第1章事件的概率 一模型，我们可以把一些难于理解的概率形象化起来而获得感性认识，如在“下 雨”那个例子中，说乙估计事件A的概率为0.2，这听起来不甚了然和不好理解 但如乙说“我认为A发生的机会，正如在4黑球1白球中，抽出白球的机会”，则 人们就感到顿时领悟了他的意思 古典概率的计算主要基于排列组合，将在下一节举一些例子来说明.这个名 称的来由是远自16世纪以来，就有一些学者研究了使用骰子等赌具进行赌博所 引起的“机会大小”的问题，由此结晶出概率论的一些最基本的概念，如用(1.1) 式定义的概率（赌博中各种结果自应公认为等可能的）及数学期望（见下一章） 等.其中一个著名的问题是“分赌本问题”，在下面已简化了的例中，我们来看看 使用古典概率的概念，如何使这个问题达到一个公正的解决， 例1.1甲、乙两人赌技相同，各出赌注500元，约定：谁先胜三局，则谁拿 走全部1000元.现已赌了三局，甲二胜一负，而因故要中止赌博，问这1000元 要如何分，才算公平？ 平均分对甲欠公平，全归甲则对乙欠公平，合理的分法是按一定比例而甲 拿大头.一种看来可以接受的方法是按已胜局数分，即甲拿2/3，乙拿1/3.仔 细分析，发现这不合理，道理如下：设想继续赌两局，则结果无非以下四种情况 之一 甲甲，甲乙，乙甲，乙乙， (1.2) 其中“甲乙”表示第一局甲胜、第二局乙胜，其余类推.把已赌过的三局与(1.2)中 这四个结果结合（即甲、乙赌完五局），我们看出：对前三个结果都是甲先胜三局 因而得1000元，只在最后一个结果才由乙得1000元，在赌技相同的条件下 (1.2)中的四个结果应有等可能性.因此，甲，乙最终获胜的可能性大小之比为 3:1.全部赌本应按这个比例分，即甲分750元，乙分250元，才算公正合理. 这个例子颇给人启发，即表面上看来简单自然的东西，经过深人一层的分析 而揭示了其不合理之处，这个例子还和重要的“数学期望”的概念相关，见第 2章 古典概率的局限性很显然：它只能用于全部试验结果为有限个，且等可能性 成立的情况.但在某些情况下，这个概念可稍稍引申到试验结果有无限多个的情 况，这就是所谓“几何概率”.举一个例子 例1.2甲、乙二人约定1点到2点之间在某处碰头，约定先到者等候10分 钟即离去，设想甲，乙二人各自随意地在1~2点之间选一个时刻到达该处，问
1.1概率是什么1007 “甲、乙二人能碰上”这个事件E的概率是多少？ 以1点作原点，分钟为单位，把甲、乙到达时间x,y构成的点(x,y)标在直 角坐标系上，则图1.1中的正方形OABC内每个点都是一个可能的试验结果， 而这个正方形就是全部可能的结果之集.“甲、乙二人 各自随意地在1一2点之间选一个时刻到达该处” 语，可以理解为“这个正方形内任一点都是等可能 60 的”，按约定，只有在点(x,y)落在图中的多边形 OFGBHI内时，事件E才发生，因正方形内包含无限 多个点，古典概率定义的(1.1)式无法使用.于是，我 10 60 们把“等可能性”这个概念按本问题的特点引申一下： 正方形内同样的面积有同样的概率，全正方形的面积 图1.1 为60=3600，而容易算出上述多边形的面积为1100.按上述引申了的原则，算 出事件E的概率为P(E)=1100/3600=11/36. 这样算出的概率称为“几何概率”，因它是基于几何图形的面积、体积、长度 等而算出的.就本例而言，重要之点在于把等可能性解释或引申为“等面积，等概 率”，其他一些可用几何概率处理的问题，都需要做类似的引申.在某些较复杂的 问题中，几种引申看来都可接受，由此可算出不同的结果，这并无矛盾可言，因为 每一种不同的引申，意味着对“等可能性”的含义做不同的解释，问题在于哪一种 解释最符合你的问题的实际含义 1.1.4概率的统计定义 从实用的角度看，概率的统计定义无非是一种通过实验去估计事件概率的 方法.拿“掷骰子”这个例子来说，若骰子并非质地均匀的正方体，则投掷时各面 出现的概率不必相同，这时，“出现么”这个事件E,的概率有多大，已无法仅通 过一种理论的考虑来确定，但我们可以做实验：反复地将这个骰子投掷大量的次 数，例如n次，若在这n次投掷中么共出现m1次，则称m1/n是E,这个事件在 这n次试验（每次投掷算作一次试验）中的“频率”.概率的统计定义的要旨是 说，就拿这个频率m1/n作为事件E,的概率P(E:)的估计.这个概念的直观背 景很简单：一个事件出现的可能性大小，应由在多次重复试验中其出现的频繁程 度去刻画 一般的情况与此毫无区别，只需在上文的叙述中，把“掷骰子”改换成某个 般的试验，而把“出现么”这个事件E,改换成某个指定的事件即可，要点在于：