《概率论与数理统计》课程PPT教学课件：第三章 多维分布（3.3）随机变量的独立性

Ch3-94 533随机变量的独立性 将事件独立性推广到随机变量 两个rv相互独立性 定义设(XY)为二维r若对任何 实数x,y都有 P(X≤x,sy)=P(X≤x)P(Y≤y) 则称rv.X和Y相互独立

Ch3-94 §3.3 随机变量的独立性 —— 将事件独立性推广到随机变量 设(X,Y )为二维r.v. 若对任何 P(X  x,Y  y) = P(X  x)P(Y  y) 则称r.v. X 和Y 相互独立 两个r.v.相互独立性 实数 x, y 都有 定义

Ch395 由定义知 维rv.(X,Y)相互独立 今F(x,y)=Fx(x)F(y) →Va<bc<d P(a<X≤b,c<Y≤d) =P(a<≤b)P(c<Y≤d) Va.c∈R P(X>a, Y>c)=P(X>aP(>c)

Ch3-95 由定义知 二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立 F(x, y) F (x)F ( y) = X Y ( ) ( ) ( , ) , P a X b P c Y d P a X b c Y d a b c d =            ( , ) ( ) ( ) , P X a Y c P X a P Y c a c R   =    

二维离散rv(XH)相互独立3 P(X=X, Y=y,=P(X=x) P(Y=y, 即P=Pp 二维连型rv(X,Y)相互独立 →今f(x,y)=f(x)(y)(ae 维rv(X,Y)相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布 二维连续rV.(X,Y)相互独立 fr(x)=fxr(xy) (r(v)>O f,(y)=fx(yx)((x)>0)

Ch3-96 二维离散 r.v.( X, Y ) 相互独立 ( , ) ( ) ( ) i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y 即 pij = pi• p• j 二维连型 r.v. ( X, Y ) 相互独立 f (x, y) f (x) f ( y) (a.e.) = X Y 二维连续 r.v. ( X,Y ) 相互独立 f (x) = f (x y) ( f ( y)  0) X X Y Y f ( y) = f ( y x) ( f (x)  0) Y Y X X 二维 r.v. ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布

命题(X,Y)~N(A1,o2,p)相互独立 p=0 证一对任何x,y有 1「(x-32my2)(y)2 2(1-p 2n01O21-p (x-H1 y-l2 2 √兀o √2nO2 取 x=11,y=

Ch3-97  = 0 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 2 ( ) 1 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1                    − − − −       − + − − − − − − = − x y x x y y e e e 证 对任何 x,y 有 1 2 取 x =  , y =  ( , ) ~ ( , ; , ; ) 2 2 2 2 命题 X Y N 1 1    相互独立

Ch3-98 2n0G,1P3s1 2O1√2丌O2 故P=0 一将ρ=0代入f(x,y)即得 f(x,y)=f(xf(y

Ch3-98 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1      = − 故  = 0 将  = 0 代入 f (x, y) 即得 f (x, y) f (x) f ( y) = X Y