习 题 1.1假定某种类型的分子的许可能级为0，⊙，2w,3w,…而且是 非简并的。如果体系含有6个分子，问与总能登为3心相联系的是什么 样的分布？根据(1.6)式计算每一种分布的？，并由此确定各种分布 的几率。 上.3倘若0和ω两个能级是非简并的，而2w和3w两个能级分别 为6度和10度筒并。试重复1.1题的计算。 1.8混合晶体是由在晶格点阵中随机酏放置N4个分子A和Na 个分子B组成。利用(1.3)式，证明分子能够占据格点的方式数目为： 0* (N4+Na)1 N1→NgI。 1.4如果1.3题中N4=N一，那宋利用斯特令定理证明 u=2N。 1.5如果1.3题中N4N母=2，则=6。而根据1.4题，应当是 0=2=16。为什么会产生这一矛盾？ 1.6如果每个确定量子态不可能被一个以上的分子所占据的话， 证明(1.6)式应当用下式： Po=W1Ⅱg (g.-n)【n,l 代替。（该结果与第十三章讨论的费密-狄喇克统计的基本关系式密切 相关。)
第二章 麦克斯韦-玻耳滋曼统计法 根据1,6节，分布几率正比于相应的2知的值。因此，求 出处在给定状态的体系的2D达到极大值时的，n,…, …的值，我们便得到（麦克斯韦-玻耳兹曼的）最可几分布。 在给出这种处置之前，我们先概述一下在我们的处理中所默 认的假设。绝大多数简化的假设所回避了的另一种更加有效 的方法，将在第十四章中再作讨论。 2.1被研究体系的性质 目前我们仅限于探讨具有下列特性的体系： (①)热力学体系是一个由N个可区分的独立的粒子 集，它处在由体积V和内能所定义的某一状态中，独土的 意思是指在计箅总能量时，粒子之间的相互作用力没有明确 地加以考虑的必要。因此，知同(1.4)式，总能量为各个粒子 的能壁之和： 亚=∑ne。 从这个意义上说，，理想气体的分子是独立的。但是，我们发 现，尽管对固体和液体来说分子之间的相互作用力是不能忽 略的，但是将它们当作近独立粒子系集来处理还是可能的。 可区分性，正如上一章中我们所做的那样，表示把各个分 子标上记号（如a,b,c,)来加以区别是可行的。实际上， 这一点还需要仔细地加以讨论，第四章要研究这个问题。 (②)每个粒子的能量都是薛定污方程(1.1)的本征值。假 1
定分子的能量是用经典力学的方法来计算，同样可以十分严 格地建立起统计力学的许多内容（如早先的气体分子运动 论)。但是完全采用量子能量常常既精确又简洁。不过也有 一些问题用经典力学来近似更易于解决，这些问题留待第十 一章再讨论。 ()除了粒子的能量之和为丑之外，对于各个粒子在能 级4上放置的方式并无限制。也就是说，任何特定能级都 可以放置任意数目的分子，只要把分子放置到各能级之后使 总能量为的各种方式都是可以的。这个假设不一定都成 立，第十三章中我们将研究一个量子态的占据受到泡利原理 限制的体系。 ()与固定的丑和了相联系的一切配容都是等几半的。 1.6节曾指出，这个假设的结果使得分布儿车与相应的Q知值 成正比。尽管没有前面的三个假设也可以建立起统计热力 学，但是假设之（④），或者某一个等价的假设却常常是必不可 少的。 2.2 最可几分布：麦克斯韦~玻耳兹曼分布律 如果与确定的热力学态（即有确定的B和？的态）相联 系的一切配容都是等几率的，那末，正如我们已经指出的 样，该状态的景可几分布也就是口，具有最大值的分布。因 而，糯要从1.6)式求出使2p为极大值的，%，…，，… 的数值。 可以设想，它们应当是这样的一组值：对一切来说 a2p-0。 2.1) os 倘使一切%都可以独立变化的话，亦即4的许可值没有限制 14
的话，确实该是这样的情况。但是眼下的情况是，我们帚要的 是与一个确定的热力学状态相联系的最大的2知值，在这个 状态中，丑、W、及V的值已经被确定了，于是求极大值的步 骤就应有些差别。因而，最后得到的值必须满足以下的约 束条件： (1)十十…=∑n4=N,（为一个常数)。。（亿.2） (i)1+m2e十…=∑n6=B,(为一个常数)。(2.3) 假定%，2，…，，…的数值政变-个小量δ，8g,…, 64,…),那末2D的数值也相应地改变一个小量82： 0-(梁2）m+(梁)6m+…+(梁）+ (2.4) 由上面的条件()，得 δ1+δmg+…+6mw+…=8N0。 (2.6) 同样，从条件()得出： 68t+eδ购+…+e6nu十…=8E=0。,(2.6) 根据上面箱单说明的道理，现在我们引进两个常数y和B(在 这一步，它们的数值是完全任意的)。将(2.)式乘上Y,(2.) 式乘上B,再从(2,4)式中诚去这两式，得 0o-(22-y-6）n+(-Y-}n+… +(22-y-a+ 2.7) 当2。达最大值时， )为了求出(1.6)式所确定的函数，的极大值，九被当作连续变量来处 理，因此求出的最大值时的常常不是整数（实际上这个数值可以当作分布系数 的时间平均值一一见第十四章)。由于对宏观体系来说，仅仅非常大的那丝4直 才有物理意义，因此其中的小数部分可以略去
62D-0。 因此，，，…，m,…必须为这样的值：对于符合(2.)式 和(2.6)式的全部82,62，…，84，…的值，(2.T)式右边为 零。假定我们任意选取δng,84,…,6m,…的值，那末81， 82就必须选择得使(2.)式和(2.6)式均成立。换言之，8m 中除了两个之外，其余都可以独立选取。 因为对任何Y和B,(2.T)式都得成立，让我们选取y和 B为这样的值： a2n-y-B61-0: O (2.8) a0p-y-Be2-0, Ona 则 0-(梁-ya)+(器-y-4小5+… +(梁--)m+0 (2.9) 其中6a,8e,…,8,…的值可以独立地选取。 保证(2.9)式右边对于8，n4,…,6nu,…的任何值都 为零的唯一办法，只有全部括号中的量都等于零；亦即 82 On 2-y-Bea -0 22-y-Be4=0 Ons (2.10) 2n一y-B%=0 O 由(2.8)式和(2.10)式，我们可以断定：使2D为极大值 的全部的数值必须满足条杵：