目录 第一章系综理论… …………………(1) 1基本假设… (1) $2正则系综· (3) 3巨正则系综 (18) 4自由粒子系统 (25) 5经典统计 (57) 6非理想气体 (72) 第二章趋向平衡的过程 ………(83) 7维（Liouville）定和彭加（Poin- caré）周期 ……………… …………(83) 8H定理 (88) $9 Ehrenfest模… (91) 第三章凝聚理论与合作现象 (105) 10体积有限系统的性质 (105) 11容积为无限时的极限 (109) 12相变…… (119) $13有序-无序转变、伊辛模型和格气………… …(124) 14平均场近似………… (133) 15临界指数的标度假设… (142) 16矩阵方法 (144) 第四章量子统计法 (182) $17量子统计中的维里展开式 (182) 18超流现象 (193) 附录证明梅耶第二定理 (196) 习题… (207)
第一章 系综理论 统计力学的研究目的，是对各种宏观系统的所有与时问无关 的性质进行统计分析.我们主要讨论宏观系统平衡现象的理论， 而非平衡态现象不是我们主要的研究对象.目前对非平衡态所取 得的进展是发现过去的趋向平衡的理论不正确，纠正了一些错 误，但问题并没有很好地得到解决」 平衡态系综理论是研究宏观系统已经达到平衡之后的各种热 力学性质。 我认为统计力学是理论物理中最完美的科目之一，因为它的 基本假设是简单的，但它的应用却十分广泛 物理学的研究目的是探求自然界的基本原理，这种基本原理 是简单的，其数学表达形式也不一定复杂，但其应用的领域一定 很广泛.统计力学就具备这一特点.现在我们就从统计力学的基 本假设开始 §1基本假设 设有一定体积的宏观系统，其哈密顿量是登，它的本征态 (本征矢量)为的，本征值为8（即能量），标准的壁子力学本征值 方程为： 中=6的. (1.1) 假如，考虑由W个相同粒子组成的宏观系统，每个粒子的质 量为m,而第：个粒子的动量用卫：表示。如动能用非相对论性的表 达式，势能仅考虑粒子间的对相互作用，即势能仅与r有关， 则哈密颜量就是 =p」 (1.2)
在公式(1.2)中，求和号)表示对所有的粒子对数相加.其 t>i 中N是一个非常大的数目，它表示宏观系统. 第j粒子· 假设我们只知道系统的总能量在E和E一 △E之间，动量在卫和p+△p之间，除此之外， 我们并不知道到底系统处在哪个本征态上，设 用2表示所有符合特定条件下的本征态的总 数.显然？应是E,△E,p和Ap的函数，即 第粒 2=2(E,△E,p,△p,…). (1.3) 现在：我们要问：发现该系统处在这2个可 能本征态中某特定术征态的几爷是多少？ 答案是很简单的，果我们不知道它在：娜个状态1上，我 以假设它在：每个态上的儿*是相等的，即 1 p（几举)· (1.4) 公式（1.4)就是流计力学平衡态的唯…基本假设 我们以后将詹到，就是这个毕本假设，师上不同的哈密顿量 就可使我们研究各种复杂系统的祖变现象，从固态到液态或从 液态到气态的转化，以及超导等等. 应该指出：，以上这个假设是任何统计问题所通用的.因此， 它也是一个相当普遍、自然的假设. 例如，掷骰子、打桥牌等游戏.骰了有六个面，我们问某-一 特定面向：的几率是什么？或问打桥牌时，人们随衬地取出任何 一张特定的牌的几率是什么？很自然地回答，它们的儿率分别为 合和品 那么到底掷骰子出现某一特定面的儿率是否就是。呢？这要 取决于是不有人在骰子内捣鬼，如果有人将骰子内充以水银，那结 2
果就不会是】.如果经过实际的投滨发现现的儿率与计算的结 6 果不符，那一定有某些周定的条件未计入·经过研究弄清这些条 件后，再把它圳进去，果就相符合了. 到此为止，我们并未要求粒子的数日N>1,只求状态数 牛0.以后我们将说明为计么要用到粒子数要足够多这个条件 S21 正则系综 设H表示V个料问粒构成的非相对论性系纺的哈密顿 量 (2.1) 它的本征值方程是 H中y=E1. (2.2) 其中中是系统的第个术征态，E,是相应的木征值.其实，N不 一定是固定的，如对光子米说，其数日是不固定的，哈密顿量也 不是非相对论的，在始阶段可先来时论固定粒子数和非相对论 性的情形.然后到推广到相对论情形 我们的目标是求出系统的热力学函数，如亥姆霍兹白山能、 吉布斯热力势、熵等等. 这个问题的求解方法是：先想像山M个相同的系统组成一系 综，每个系统均由N个相同的粒了组成，其哈密顿量为H,H2, H,…,系统与系统问的热接触用线表示，表示可以交换热量. 由于各个系统是处在不同位置，封此是可以区分的.如1.1所 示. 系综的总哈密顿量为，它应该等于各个系统的哈密顿址之 和再加上线的热交换对哈密顿量的贡献.我们用“热交换项”表 示这部分的贡献，每个系统的哈密顿量H。都是相同的，所以总 3
的哈密顿量是： 一四闪可 系统标号a“】 图1.1 （系综)-∑H。+“热交换项”. 系综的哈密顿量写成以上形式是所有进行统计问题者所具备 的 通常掷骰子游戏是把时间延长，进行无数多次投掷求得其几 率的.但是也可以把无数多同样的骰子分散给众人，让众人在相 同条件下同时掷骰子（系综）来实现.这两种办法是一致的，因 此，以上把许多同样的系统放在一起构成系综是进行统计的一个 基本的方法」 正则系综是我们用来研究通常热力学系统与外界有热交换， 但源度一定的情况.如图1.1中有热接触线的系统，只要每个系 统足够大，在物理上就可使得热交换足够的小，以致于认为是完 金可以被忽略的.但是，如果系统中只有几个粒了，就不可能有 比系统本身小得可以被忽略的热交换项了.所以说只要是一个宏 观系统，其热交换项就是完全可被忽略的.在这种条件下，系综 的总哈密顿量就可写成各个系统的哈密顿量之和，系综的本征态 就是各个系统本征态之积： 2(系综)=∑H, (2.3) (系综)= (2.4) 凡是符合以上条件的系综就是正则系综.正则系综是用来研 究固定温度的系统的.要使系统的温度不变，就要和一个大热库 相接触。在系综中这个热库就相当于除该系统外的其他全部系统 4