17.试确定下列各式中的常数c,使这些函数成为概率密度函数 (1)f)=ce-,-o<x<∞ ②fa={-al、bSisd 其他. ③fa={-京<1 0, 其他 国={ee x>0,a>0 0, x<0. 18.设随机变量X的密度函数为 （(4r-2x2),0<x<2 f(x)= 0, 其他. (1)求常数c (2)求P(1/2<X<3/2) 19.设随机变量X只在(0,1)中取值，其累积分布函数F(x)满足：对任意0<a<b<1, F(b-F(a)仅与b-a有关.试证明X服从(0,1)上的均匀分布. 20.设随机变量5服从参数为1的指数分布，求方程 4x2+4x+￡+2=0 有实根的概率。 21.(1)设随机变量5N(0,1),试求P(5<2),P(≤2). (2)设随机变量ξ~N(4,o2),试求P(I5-四≤σ)，P(-川≤2a). (3)设随机变量5~N(3,4),试求P(2<≤5)，P(5>3),并确定常数c使得 P(le-d<c）=0.01. 22.设随机变量5~N(60,9),试求分点1,2,3，使得5落在(-0o,E1),(c1,2,(2,3), (r3,∞)内的概率之比为3：2：2：3. 9
17. 试确定下列各式中的常数 c, 使这些函数成为概率密度函数: (1) f(x) = ce−|x| , −∞ < x < ∞. (2) f(x) = ( c|x − a|, b ≤ x ≤ d 0, 其他. (3) f(x) = ( c √ 1 − x 2 , |x| < 1 0, 其他. (4) f(x) = ( cx2 e −x 2/α, x > 0, α > 0 0, x ≤ 0. 18. 设随机变量 X 的密度函数为 f(x) = ( c(4x − 2x 2 ), 0 < x < 2 0, 其他. (1) 求常数 c. (2) 求 P(1/2 < X < 3/2). 19. 设随机变量 X 只在 (0, 1) 中取值, 其累积分布函数 F(x) 满足: 对任意 0 < a < b < 1, F(b) − F(a) 仅与 b − a 有关. 试证明 X 服从 (0, 1) 上的均匀分布. 20. 设随机变量 ξ 服从参数为 1 的指数分布, 求方程 4x 2 + 4ξx + ξ + 2 = 0 有实根的概率. 21. (1) 设随机变量 ξ ∼ N(0, 1), 试求 P(ξ < 2), P(|ξ| ≤ 2). (2) 设随机变量 ξ ∼ N(µ, σ2 ), 试求 P(|ξ − µ| ≤ σ), P(|ξ − µ| ≤ 2σ). (3) 设随机变量 ξ ∼ N(3, 4), 试求 P(2 < ξ ≤ 5), P(ξ > 3), 并确定常数 c 使得 P(|ξ − c| < c) = 0.01. 22. 设随机变量 ξ ∼ N(60, 9), 试求分点 x1, x2, x3, 使得 ξ 落在 (−∞, x1), (x1, x2), (x2, x3), (x3,∞) 内的概率之比为 3 : 2 : 2 : 3. 9
23.·设为取正值的连续型随机变量，试证明它服从指数分布的充分必要条件是：对任 意t>0和x>0,有 P(5≤t+x>t)=P(≤x). 24.*若分布函数F(x)的密度函数(x)满足微分方程： 是-千2 (x-a)f() 则称F(x)为Pearson型分布.证明正态分布及T分布均为Pearson型分布. 25.设随机变量￡的概率分布律为 5-2-1013 11 试求随机变量n=2的概率分布律。 26.设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布，求圆的面积的密度函数 27.设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布 (①)求Y=ex的概率密度. (2)求Y=-2lnX的概率密度函数. 28.设随机变量X的概率密度函数为 （0,其他。 求Y=sinX的概率密度函数. 29.设随机变量￡服从参数为2的指数分布，试求刀=1-e5的概率密度函数， 30.设随机变量~N(，2),试求=e的概率密度函数 31.在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机变量.在使用过程中，只要有 两个温控器显示的温度不低于临界温度0，电炉就断电。以E表示事件“电炉断电” 而T)≤T2≤T≤T和为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（选择其一 (A){Ta)≥toh. (B){T2≥to}. (C){Ta≥o. (D){T4之to} 10
23. ∗ 设 ξ 为取正值的连续型随机变量, 试证明它服从指数分布的充分必要条件是: 对任 意 t > 0 和 x > 0, 有 P(ξ ≤ t + x|ξ > t) = P(ξ ≤ x). 24. ∗ 若分布函数 F(x) 的密度函数 f(x) 满足微分方程: df dx = (x − a)f(x) b0 + b1x + b2x 2 则称 F(x) 为 Pearson 型分布. 证明正态分布及 Γ 分布均为 Pearson 型分布. 25. 设随机变量 ξ 的概率分布律为 ξ −2 −1 0 1 3 P 1 5 1 6 1 5 1 15 11 30 试求随机变量 η = ξ 2 的概率分布律. 26. 设圆的直径服从区间 (0, 1) 上的均匀分布, 求圆的面积的密度函数. 27. 设随机变量 X 服从 (0, 1) 上的均匀分布. (1) 求 Y = e X 的概率密度. (2) 求 Y = −2 ln X 的概率密度函数. 28. 设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) = ( 2x π 2 , 0 < x < π 0, 其他. 求 Y = sin X 的概率密度函数. 29. 设随机变量 ξ 服从参数为 2 的指数分布, 试求 η = 1 − e −2ξ 的概率密度函数. 30. 设随机变量 ξ ∼ N(µ, σ2 ), 试求 η = eξ 的概率密度函数. 31. 在电炉上安装了 4 个温控器, 其显示温度的误差是随机变量. 在使用过程中, 只要有 两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0, 电炉就断电. 以 E 表示事件 “电炉断电”, 而 T(1) ≤ T(2) ≤ T(3) ≤ T(4) 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值, 则事件 E 等于 (选择其一) (A) {T(1) ≥ t0}. (B) {T(2) ≥ t0}. (C) {T(3) ≥ t0}. (D) {T(4) ≥ t0}. 10