30.求下列各系统能正常工作的概率，其中框图中的字母代表元件，字母相同但下标不同 的都是同一种元件，只是装配在不同的位置上，A,B,C,D类元件能正常工作的概率 分别为PA,PB,PC,PD (1) A A (2 B c (3) A A2 B B C2 (4) A c (5) A B A2 B 31.有4个一年级男生，6个一年级女生，6个二年级男生共上一门课，为了使在随机选取 一个学生时性别与班级独立，在这个班还需要出现多少个二年级女生？ 32.设敌机俯冲时被步枪击落的概率是0.008，求当25只步枪同时开火时，击落敌机的概
30. 求下列各系统能正常工作的概率, 其中框图中的字母代表元件, 字母相同但下标不同 的都是同一种元件, 只是装配在不同的位置上, A, B, C, D 类元件能正常工作的概率 分别为 pA, pB, pC, pD. (1) A B C (2) B C A (3) B1 C1 A1 C2 A2 B2 (4) D1 B C A D2 (5)∗ C A2 A1 B2 B1 31. 有 4 个一年级男生, 6 个一年级女生, 6 个二年级男生共上一门课, 为了使在随机选取 一个学生时性别与班级独立, 在这个班还需要出现多少个二年级女生? 32. 设敌机俯冲时被步枪击落的概率是 0.008, 求当 25 只步枪同时开火时, 击落敌机的概 率. 4
33.对同一目标进行三次独立射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.5,0.6和0.8， 试求： (1)在这三次射击中，恰好有一次射中的概率 (②)在这三次射击中，至少射中一次的概* 34.设事件A1,.,An相互独立，记P(A)=m>0,i=1,2,.n,假设1=1.求 (1)这些事件至少有一件不发生的概率， (2)这些事件均不发生的概率. (3)这些事件恰好发生一件的概率 35.假设某厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试.经调 试后的仪器以概率0.8可以出厂，以概率0.2被定为不合格品不能出厂，假设该厂生 产了n(n>2)台仪器（各台生产过程相互独立）.试求下列事件的概率： (1)全部能出厂 (2)恰有两件不能出厂 (3)至少有两件不能出厂 36.要验收一批乐器，共100件，从中随机地抽取3件进行测试（设3件乐器的测试相互独 立)，如果3件中任意一件音色不纯，就拒绝接收这批乐器.设一件音色不纯的乐器经 测试查出的概率为0.95.而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如 果这100件乐器中有4件是音色不纯的.问这批乐器被接收的概率是多少？ 37.有甲、乙两只口袋，甲袋中有5只白球2只黑球，乙袋中有4只白球5只黑球.先从甲 袋中任取两球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球是白球的概率。 38.某工厂的第一、二、三号车间生产同一种产品，产量各占总产量的1/2,1/3,1/6，次品 率分别为1%，1%和2%.现从该厂产品中随机抽取一件产品 (①)求该产品是次品的概率. (2)若发现该产品是次品，求它是一号车间生产的概率. 39.考卷中的某选择题有四个答案，其中只有一个是正确的.某考生可能知道哪个是正确 的，也可能是乱猜一个，假设此考生知道正确答案的概率为D,而且在不知答案的情 况时是随机地选择一个答案.如果已知他答对了这道题，问他确实知道正确答案的概 率是多少？ 40.设有来自三个地区的考生报名表共50份，三个地区分别有10,15和25份，其中女生 的报名表分别为3份，7份和5份，现随机地选一个地区，从该地区的报名表中先后抽 出2份
33. 对同一目标进行三次独立射击, 第一、二、三次射击的命中率分别为 0.5, 0.6 和 0.8, 试求: (1) 在这三次射击中, 恰好有一次射中的概率. (2) 在这三次射击中, 至少射中一次的概率. 34. 设事件 A1, · · · , An 相互独立, 记 P(Ai) = pi > 0, i = 1, 2, · · · n, 假设 Pn i=1 pi = 1. 求 (1) 这些事件至少有一件不发生的概率. (2) 这些事件均不发生的概率. (3) 这些事件恰好发生一件的概率. 35. 假设某厂家生产的每台仪器以概率 0.7 可以直接出厂, 以概率 0.3 需进一步调试. 经调 试后的仪器以概率 0.8 可以出厂, 以概率 0.2 被定为不合格品不能出厂. 假设该厂生 产了 n (n > 2) 台仪器 (各台生产过程相互独立). 试求下列事件的概率: (1) 全部能出厂. (2) 恰有两件不能出厂. (3) 至少有两件不能出厂. 36. 要验收一批乐器, 共 100 件, 从中随机地抽取 3 件进行测试 (设 3 件乐器的测试相互独 立), 如果 3 件中任意一件音色不纯, 就拒绝接收这批乐器. 设一件音色不纯的乐器经 测试查出的概率为 0.95, 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为 0.01. 如 果这 100 件乐器中有 4 件是音色不纯的. 问这批乐器被接收的概率是多少? 37. 有甲、乙两只口袋, 甲袋中有 5 只白球 2 只黑球, 乙袋中有 4 只白球 5 只黑球. 先从甲 袋中任取两球放入乙袋, 然后再从乙袋中任取一球, 求此球是白球的概率. 38. 某工厂的第一、二、三号车间生产同一种产品, 产量各占总产量的 1/2, 1/3, 1/6, 次品 率分别为 1%, 1% 和 2%. 现从该厂产品中随机抽取一件产品 (1) 求该产品是次品的概率. (2) 若发现该产品是次品, 求它是一号车间生产的概率. 39. 考卷中的某选择题有四个答案, 其中只有一个是正确的. 某考生可能知道哪个是正确 的, 也可能是乱猜一个. 假设此考生知道正确答案的概率为 p , 而且在不知答案的情 况时是随机地选择一个答案. 如果已知他答对了这道题, 问他确实知道正确答案的概 率是多少? 40. 设有来自三个地区的考生报名表共 50 份, 三个地区分别有 10 , 15 和 25 份, 其中女生 的报名表分别为 3 份, 7 份和 5 份, 现随机地选一个地区, 从该地区的报名表中先后抽 出 2 份. 5
()求先抽到的1份是女生报名表的概率 (②)已知后抽到的1份是男生报名表，求先抽到的1份是女生报名表的概率 41.装有m(m>3)个白球和n个黑球的罐子中失去一球，但不知是什么颜色的球.为 猜测它是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都得到的是白球，试求失去的球 是白球的概率。 42.假设患乙肝的人通过检查能被诊断出来的概率为0.98.而正常人经检查被误诊为有乙 肝的概率为0.05，设某城市乙肝患病率为0.05.现从该城市居民中随机抽出一人进行 检查，如果其被诊断为乙肝患者，求该人确实患有乙肝的概率 43.盒中有三枚硬币，一枚是双正面的硬币，另外两枚是正反面硬币（其中一枚是均匀的 硬币，一枚是正面出现概率为75%的不均匀硬币).当从这三枚硬币中随机选取一枚 抛掷时，它出现正面.问它是双正面硬币的概幸是多少？ 44.假定某种病菌在群体中的带菌率为10%.。在检测时，带菌者和不带菌者被检测出阳性 的概率分别为0.95和0.01. ()现有某人被测出呈阳性反应，该人确为带菌者的概率是多少？ (b)”该人又独立地做了一次检测，检测结果依然是阳性，问在两次检测均呈阳性的情 况下，该人确为带菌者的概率是多少？ 计算机模拟题 45.从区间0，刂中任取两个数，由理论计算知此两数的积小于}的概率为}+专血2 试利用此结论与概率的统计定义，通过计算机模拟对血2进行估计，比较模拟次数 n=1000,5000,10000,100000时与实际值的误差，从这个比较中你是否可以在误差与 模拟次数之间建立一个关系？ 46.(Bfon试验)平面上划有间隔为d的等距离平行线，向平面上任意投一个长度为 1(<d④的针，由理论计算知针与平行线相交的概率为器，试利用此结论与概率的统 计定义，通过计算机模拟对π进行估计. 6
(1) 求先抽到的 1 份是女生报名表的概率. (2) 已知后抽到的 1 份是男生报名表, 求先抽到的 1 份是女生报名表的概率. 41. 装有 m (m > 3) 个白球和 n 个黑球的罐子中失去一球, 但不知是什么颜色的球. 为 猜测它是什么颜色, 随机地从罐中摸出两个球, 结果都得到的是白球, 试求失去的球 是白球的概率. 42. 假设患乙肝的人通过检查能被诊断出来的概率为 0.98, 而正常人经检查被误诊为有乙 肝的概率为 0.05, 设某城市乙肝患病率为 0.05. 现从该城市居民中随机抽出一人进行 检查, 如果其被诊断为乙肝患者, 求该人确实患有乙肝的概率. 43. 盒中有三枚硬币, 一枚是双正面的硬币, 另外两枚是正反面硬币 (其中一枚是均匀的 硬币, 一枚是正面出现概率为 75% 的不均匀硬币). 当从这三枚硬币中随机选取一枚 抛掷时, 它出现正面. 问它是双正面硬币的概率是多少? 44. 假定某种病菌在群体中的带菌率为 10%. 在检测时, 带菌者和不带菌者被检测出阳性 的概率分别为 0.95 和 0.01 . (a) 现有某人被测出呈阳性反应, 该人确为带菌者的概率是多少? (b)∗ 该人又独立地做了一次检测, 检测结果依然是阳性, 问在两次检测均呈阳性的情 况下, 该人确为带菌者的概率是多少? 计算机模拟题 45. 从区间 [0, 1] 中任取两个数, 由理论计算知此两数的积小于 1 4 的概率为 1 4 + 1 2 ln 2, 试利用此结论与概率的统计定义, 通过计算机模拟对 ln 2 进行估计, 比较模拟次数 n = 1000, 5000, 10000, 100000 时与实际值的误差, 从这个比较中你是否可以在误差与 模拟次数之间建立一个关系? 46. (Buffon 试验) 平面上划有间隔为 d 的等距离平行线, 向平面上任意投一个长度为 l (l < d) 的针, 由理论计算知针与平行线相交的概率为 2l πd , 试利用此结论与概率的统 计定义, 通过计算机模拟对 π 进行估计. 6
第二章随机变量及其分布 1.一个罐子装有m个白球和n个黑球，无放回地抽取r个球（口≤m+n),记抽到的白 球的个数为X,试求X的概率分布， 2.一台设备由三大部件构成，假设各部件的状态相互独立，在设备运转过程中各部件需 要调整的概*分别为0.10,0.20,0.30.令X表示同时需要调整的部件数.试求X的 分布律和至少有一个部件需要调整的概率 3.袋子中有α个白球，b个黑球.现不放回地每次从袋子中取出一球，直到取出黑球为 止，设此时已经取出了￡个白球，求的概率分布. 4.将一颗骰子连掷两次，以表示掷出的最小数，求的概率分布 5.一射手的命中率为p,现其不断地向一目标射击，假设各次射击相互独立 (①)以￡表示第一次命中目标所需的次数，求￡的概率分布。 (2)以￡，表示第x次命中目标所需的次数.求￡，的概率分布 (③)设共射击了n次，且第n次射击是命中的，以n表示这n次射击中命中的次数，求 口的概率分布」 6.同时掷两枚均匀骰子直到至少出现一个6点为止，求所掷次数的概率分布 7.某旅馆服务部统计旅客住宿的天数X及其概率分布如下： X 1 23 4 0.34 0.250.250.16 试计算X的分布函数，P(X≤3)，P(X>1),P(1<X≤4)和P(X=2), 7
第二章 随机变量及其分布 1. 一个罐子装有 m 个白球和 n 个黑球, 无放回地抽取 r 个球 (r ≤ m + n), 记抽到的白 球的个数为 X , 试求 X 的概率分布. 2. 一台设备由三大部件构成, 假设各部件的状态相互独立, 在设备运转过程中各部件需 要调整的概率分别为 0.10, 0.20, 0.30. 令 X 表示同时需要调整的部件数. 试求 X 的 分布律和至少有一个部件需要调整的概率. 3. 袋子中有 a 个白球, b 个黑球. 现不放回地每次从袋子中取出一球, 直到取出黑球为 止, 设此时已经取出了 ξ 个白球, 求 ξ 的概率分布. 4. 将一颗骰子连掷两次, 以 ξ 表示掷出的最小数, 求 ξ 的概率分布. 5. 一射手的命中率为 p, 现其不断地向一目标射击, 假设各次射击相互独立. (1) 以 ξ 表示第一次命中目标所需的次数, 求 ξ 的概率分布. (2) 以 ξr 表示第 r 次命中目标所需的次数, 求 ξr 的概率分布. (3) 设共射击了 n 次, 且第 n 次射击是命中的, 以 η 表示这 n 次射击中命中的次数, 求 η 的概率分布. 6. 同时掷两枚均匀骰子直到至少出现一个 6 点为止, 求所掷次数 ξ 的概率分布. 7. 某旅馆服务部统计旅客住宿的天数 X 及其概率分布如下: X 1 2 3 4 P 0.34 0.25 0.25 0.16 试计算 X 的分布函数, P(X ≤ 3), P(X > 1), P(1 < X ≤ 4) 和 P(X = 2). 7
8.试确定下列p(x)能否成为概率分布 ()p)= x=0,1,2,3 阅阳=。 x=0.5.10.15 (3③))=xx+' E=1,2,··. (④p)= f(u)du, 2=0,1.，其中f@=1 9.设()与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数.为使F(x)=aF(工)+ (x)+c是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中可取 (a=号b=-后c= B)a=1,b=1,c=-1 (a=-b=，c=0, D)a=子6=c= 10.假定X服从参数为n和p的二项分布，即X~B(n,p).在下述情形证明当k取值从 0到n时，P(X=)先是单调递增，然后单调递减，且最大值点k满足： (1)在(m+1)p是整数的情形，k等于(n+1)p-1或者(n+1)p. (2)在(m+1)p是非整数的情形，k满足(m+1)p-1<k<(m+1)p, 1.设X~B2,y~BB,，若PX≥1)=试求PY≥1 12.设昆虫产卵个数服从参数为入的泊松分布，而每个卵孵化成幼虫的概率为，试求 个昆虫产生m个后代的概率. 13.假定X服从参数入的泊松分布，证明当i增加时，P(X=)先是单调递增，然后单调 递减，当取不超过入的最大整数时得到其最大值. 14.有一繁忙的车站，每天有大量的汽车通过，设在一天的某段时间内汽车事故发生率为 0.001.若某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问发生事故的次数不少于2的概率 是多少？ 15.航空公司知道预定航班的人有5%的人最终不来搭乘航班，因此他们的政策是对于一 个能容纳50个顾客的航班预售52张票，问每个出现的旅客都有位置的概率是多少？ 16.·设为取非负整数值的随机变量，试证明它服从几何分布的充分必要条件是，对任 意非负整数m和n有 P(E=m+ne>n)=P(E=m)
8. 试确定下列 p(x) 能否成为概率分布 (1) p(x) = 1 3 , x = 0, 1, 2, 3. (2) p(x) = x − 5 10 , x = 0, 5, 10, 15. (3) p(x) = 1 x(x + 1), x = 1, 2, · · · . (4) p(x) = Z x+1 x f(u)du, x = 0, 1, · · · , 其中Z ∞ 0 f(u)du = 1. 9. 设 F1(x) 与 F2(x) 分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数. 为使 F(x) = aF1(x) + bF2(x) + c 是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中可取 (A) a = 3 5 , b = − 2 5 , c = 4 5 . (B) a = 1, b = 1, c = −1. (C) a = − 1 2 , b = 3 2 , c = 0. (D) a = 2 3 , b = 2 3 , c = 1 3 . 10. 假定 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布, 即 X ∼ B(n, p). 在下述情形证明当 k 取值从 0 到 n 时, P(X = k) 先是单调递增, 然后单调递减, 且最大值点 k 满足: (1) 在 (n + 1)p 是整数的情形, k 等于 (n + 1)p − 1 或者 (n + 1)p. (2) 在 (n + 1)p 是非整数的情形, k 满足 (n + 1)p − 1 < k < (n + 1)p. 11. 设 X ∼ B(2, p), Y ∼ B(3, p), 若 P(X ≥ 1) = 5 9 . 试求 P(Y ≥ 1). 12. 设昆虫产卵个数服从参数为 λ 的泊松分布, 而每个卵孵化成幼虫的概率为 p, 试求一 个昆虫产生 m 个后代的概率. 13. 假定 X 服从参数 λ 的泊松分布, 证明当 i 增加时, P(X = i) 先是单调递增, 然后单调 递减, 当 i 取不超过 λ 的最大整数时得到其最大值. 14. 有一繁忙的车站, 每天有大量的汽车通过, 设在一天的某段时间内汽车事故发生率为 0.001. 若某天的该段时间内有 1000 辆汽车通过, 问发生事故的次数不少于 2 的概率 是多少? 15. 航空公司知道预定航班的人有 5% 的人最终不来搭乘航班, 因此他们的政策是对于一 个能容纳 50 个顾客的航班预售 52 张票, 问每个出现的旅客都有位置的概率是多少? 16. ∗ 设 ξ 为取非负整数值的随机变量, 试证明它服从几何分布的充分必要条件是, 对任 意非负整数 m 和 n 有 P(ξ = m + n|ξ ≥ n) = P(ξ = m). 8