第四章随机变量的数字特征 §5矩 §5矩 、定义 若Ek存在,称之为ⅹ的k阶原点矩 若E(X-EX)存在,称之为X的k阶中心矩 若E(X-EX)(Y-EY)存在,称之为Ⅹ和Y的k+1 阶混合中心矩。 所以EX是一阶原点矩,DX是二阶中心矩, 协方差 CoVEY)是二阶混合中心矩 []返回主目录
§5 矩 1、定义 若 k EX 存在，称之为 X的 k 阶原点矩。 所以 EX 是一阶原点矩，DX 是二阶中心矩， 协方差 Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。 若 k E(X − EX) 存在，称之为 X的 k 阶中心矩。 若 k l E(X − EX) (Y − EY) 存在，称之为 X和 Y 的 k+l 阶混合中心矩。 §5 矩 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 例 §5矩 设随机变量X~N(0,a),试求E(x") 解 xBx=x则y~M(o DX 所以, n+∞ ElAn=onEly )=a"y(=,-Jye2 (1).当n为奇数时,由于被积函数是奇函数,所以 EXn=0 []返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 例1 设随机变量X ~ N(0， 2 )，试求 E(X n )． 解： DX X EX Y − 令： = X = 则 Y ~ N(0，1)． 所以， ( ) ( ) n n n E X = E Y ( ) + − = y f y dy Y n n + − − = y e dy y n n 2 2 2 ( ) ． ⑴．当 为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以 = 0 n E X n 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 (2).当n为偶数时,由于被积函数是偶函数,所以 Ern 2on too y" e 2 dy 2兀0 y 2 dy=t 2 dt=2 2t 2dt EX 202 t2 dt √2丌 0 s22 on to0 n+1 2 n+1 2[偷返回主目录 0
第四章 随机变量的数字特征 (2)．当n为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以 + − = 0 2 2 2 2 EX y e dy y n n n dy t dt t dt t y t y 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , 2 , 2 − − − = = 令： = 则 = ) 2 1 2 2 ( 2 2 2 2 0 1 2 1 2 0 2 1 1 2 + = = = + − − + + − − − n t e d t EX t e d t n n t n n n t n n n n 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 §5矩 22n(n+1 其中r(1)=xle-dk 利用r-函数的性质:I(+1)=rr(r),得 23nn-1n-1)23onn-1n-3,/n-3 ELX m x22 22n 31,/1 丌=o"(n-1)! 2 []返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 利用−函数的性质：(r +1)= r(r)，得 + = 2 2 1 2 n n n ( ) − − = 2 1 2 2 1 2 n n E X n n n − − − = 2 3 2 3 2 2 1 2 n n n n n − − = 2 1 2 1 2 3 2 2 1 2 n n n n ( ) 2 2 2 2 1 !! n n n n − = = (n −1)!! n ( ) . 0 1 t x e dx t −x − 其中 = 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 因而, §5矩 EIX ∫a"(n-1)!n为偶数 0n为奇数 其中, 1·35…nn为奇数 1246…mm偶数 特别,若X~N(0,1),则 E(x)=(=-)n为偶数 0 n为奇数n=4,E4=3 []返回主目录
第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 因而， ( ) ( ) − = 为奇数 为偶数 n n n E X n n 0 1 !! 其中， = 为偶数 为奇数 n n n n n 2 4 6 1 3 5 !! 特别，若 X ~ N(0，1), 则 ( ) ( ) , 4 3. 0 1 !! 4 = = − = n EX n n n E X n 时， 为奇数 为偶数 返回主目录