《高等数学》课程电子教案：第十一章 多元函数积分学习题与答案

第十一章多元函数积分学 第一节二重积分的概念与计算 思考题: 1.把一元定积分的数学模型推广到二维空间,可以得到一个式子 f(xya=,m∑/(5,n)1o AoF>0 你对这个式子要说些什么?回顾一元定积分的定义,可以对推广来的这个式子描述出一个完 整的数学模型,被称为二重积分的定义,你将获得一次创造思维的锻炼,对微元法模型的理 解会更深刻,不妨一试 答:在式m∑/(5,m)10中,40,表示将平面区域D任意分割成n份后所得 第i个小区域的面积,(51,n1)是取自于第i个小区域内的任何一点的坐标,f(51,n)是二 元函数z=f(x,y)在点(5,n)处的函数值,|o表示所有n个小区域的直径中的最大值 上式即表示,当函数z=f(x,y)在平面区域D内有定义时,可将平面区域D任意分割 成n个小区域,记4σ1为第i个小区域的面积,然后在第i个小区域中任取一点(51,n,),作 乘积/51,n)4的和∑/(,n),若此和式的极限,m∑/(5,n)0存在 则称二元函数二=f(x,y)在区域D上可积,并称上述极限值为二元函数z=f(x,y)在区 域D上的二重积分 2.试述二重积分的几何意义 答:当f(xy在区域D上满足f(xy)≥0时,f(xyG代表以xO面内的区域D 为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积若f(x,y)<0,则表示体积的负值 3.直角坐标系下,计算二重积分的主要步骤有哪些,其关键点是什么? 答:主要步骤包括:①画出积分区域D的图形,②选择积分次序并确定积分限,③计算 累次积分求得结果。其关键点是恰当选择积分次序,正确确定积分限. 4.在极坐标系下,计算二重积分的主要步骤有哪些,其关键点是什么? 答:主要步骤包括:①画出积分区域D的图形,并用极坐标描述D,②确定积分限,③ 计算累次积分求得结果其关键点是用极坐标正确描述积分区域D 5.就二重积分的积分域而言,当积分域具有什么样的特征时,选择在直角坐标系(或 极坐标系)下计算该二重积分

第十一章 多元函数积分学 第一节 二重积分的概念与计算 思考题： 1. 把 一 元 定 积 分 的 数 学 模 型 推 广 到 二 维 空 间 ， 可 以 得 到 一 个 式 子 ( ) ( ) i n i i D f x y  f      = → = 1 i 0 , d lim , ， 你对这个式子要说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一个完 整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理 解会更深刻，不妨一试. 答：在式 ( ) i n i i f     = → 1 i 0 lim , 中，  i 表示将平面区域 D 任意分割成 n 份后所得 第 i 个小区域的面积, ( , )  i i 是取自于第 i 个小区域内的任何一点的坐标, ( , ) i i f   是二 元函数 z = f (x, y) 在点 ( , )  i i 处的函数值,  表示所有 n 个小区域的直径中的最大值. 上式即表示, 当函数 z = f (x, y) 在平面区域 D 内有定义时, 可将平面区域 D 任意分割 成 n 个小区域, 记  i 为第 i 个小区域的面积, 然后在第 i 个小区域中任取一点 ( , )  i i , 作 乘积 ( , ) i i f    i 的和 ( ) i n i i  f    =1 i , , 若此和式的极限 ( ) i n i i f     = → 1 i 0 lim , 存在, 则称二元函数 z = f (x, y) 在区域 D 上可积, 并称上述极限值为二元函数 z = f (x, y) 在区 域 D 上的二重积分. 2. 试述二重积分的几何意义. 答：当 f (x, y) 在区域 D 上满足 f (x, y)  0 时， ( , )d  D f x y 代表以 xOy 面内的区域 D 为底，以曲面 z = f (x, y) 为顶的曲顶柱体的体积. 若 f (x, y)  0 , 则表示体积的负值. 3. 直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？ 答：主要步骤包括：①画出积分区域 D 的图形, ②选择积分次序并确定积分限，③计算 累次积分求得结果. 其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限. 4. 在极坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？ 答：主要步骤包括：①画出积分区域 D 的图形，并用极坐标描述 D, ②确定积分限, ③ 计算累次积分求得结果.其关键点是用极坐标正确描述积分区域 D . 5. 就二重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系（或 极坐标系）下计算该二重积分

答:当积分域为圆形域,扇形域或形域时,选择极坐标系下计算该二重积分,其它型的 积分域,一般均选择直角坐标系下计算该二重积分 6.当被积函数具有何种特征时,选择在直角坐标系(或极坐标系)下计算该二重积分 方便 答:当被积函数中含有x2+y2的项时,选择极坐标系下计算二重积分方便,其他情形, 般选择直角坐标系下计算二重积分 习作题 1.计算(x+y),其中D={x)sxs1-1y≤l 解:如图,先对x后对y积分,则 d00 [(y y+2× +1)=0+201=201 2.计算le+da,其中D由xO面上的直线y=1,y=2及x=-1,x=2所围成 解:如图,D 15x52.先对x后对y积分,得 l≤y≤2 l02 (e-e-e-"+e-) 3.计算』m(0x2+y),其中D=yx2+y2s1 解:令x= rcos e,y=rsnO,则D可表为: 10≤≤2x

答：当积分域为圆形域，扇形域或形域时，选择极坐标系下计算该二重积分，其它型的 积分域，一般均选择直角坐标系下计算该二重积分. 6. 当被积函数具有何种特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分 方便. 答：当被积函数中含有 2 2 x + y 的项时，选择极坐标系下计算二重积分方便，其他情形， 一般选择直角坐标系下计算二重积分. 习作题 ： 1. 计算 (100 )d  + + D x y , 其中 D = (x, y)0  x 1,−1 y 1. 解：如图，先对 x 后对 y 积分， 则 ( x y) y ( x y) x D 100 d d 100 d 1 0 1 1 + + = + +  −   = ( ) 1 0 2 1 1 2 d 100       + + − x y y x = − + 1 1 )d 2 201 ( y y = (1 1) 0 201 201 2 201 d 1 1 +  + = + = − y y . 2. 计算  + D x y e d 6 ，其中 D 由 xOy 面上的直线 y = 1, y = 2 及 x = −1, x = 2 所围成. 解：如图, D ：   −     1 2, 1 2, x y 先对 x 后对 y 积分，得  + D x y e d 6 =   − 2 1 2 1 6 e dy e dx y x = ) 6 e (e )( 2 1 6 2 1 − x y = (e e e e ) 6 1 14 13 −4 −5 − − + . 3． 计算 ln(100 )d 2 2  + + D x y ，其中 ( , ) 1 2 2 D = x y x + y  . 解：令 x = r cos , y = rsin  ，则 D 可表为：        0 1, 0 2π , r  - O x y 2 2 1 1 O y 1 -1 1 x

从而jm(04x2+y2)-∫ del In( 100+r+)rd (100+r2)h(100+r2)- =(10lh101-100h100-1 4.计算∫yda,其中D是由圆周x2+y2=1与x2+y2=42所围成的平面区域 解:令x=rcos日,y=rsnO,则D可表为 ∫1≤r≤2r 10≤≤2, 从而 do do rasin 20.rdr de(sin 0) Ir 2x 1-cos 20 4π d 4π 5画出二次积分∫/(知的积分区域D并交换 积分次序 0≤y≤2 解:D: y≤x≤2+ 0≤x≤4 的图形如右图,由图可知,D也可表为 0≤y≤√4x-x2 所以交换积分次序后,得∫a(y炒 6.利用二重积分求下列几何体的体积 (1)平面x=0,y=0,==0,x+y+2=1所围成的几何体 解:如图,该几何体可看成是以xOy面的区域D

从而 ln(100 )d 2 2  + + D x y =   +  1 0 2 2π 0 d ln(100 r ) rdr =2 1 0 2 2 2 [(100 )ln(100 ) ] 2 1 π  + r + r − r = (101ln 101−100ln 100 −1)π . 4. 计算 d 2  D y ，其中 D 是由圆周 1 2 2 x + y = 与 2 2 2 x + y = 4π 所围成的平面区域. 解：令 x = r cos , y = rsin  ，则 D 可表为：        1 2π , 0 2π , r  从而 y r r r D d d sin d 2π 1 2 2 2π 0 2 =        = 2π 1 2 4 2π 0 sin ) 4 d (  r   =  −       − 2π 0 4 d 2 1 cos 2 4 1 4π   = 2π 0 4 4 sin 2 2 1 4 1 4π        −      −   =4 4 π π 5 − . 5. 画出二次积分 y f (x y) x y y d , d 2 2 2 4 2 4 2  0  + − − − 的积分区域 D 并交换 积分次序. 解： D ：     − −   + −   2 2 4 2 2 4 0 2, y x y y 的图形如右图，由图可知， D 也可表为       −   0 4 , 0 4, 2 y x x x 所以交换积分次序后，得 x f (x y) y x x d , d 2 4 0 4  0  − . 6. 利用二重积分求下列几何体的体积： （1）平面 x = 0, y = 0,z = 0, x + y + z = 1 所围成的几何体. 解 ： 如 图， 该 几何 体可 看 成是 以 xOy 面 的区 域 D ： O x y 2 4 O x y z

0≤x≤1, 为底,以平面二=1-x-y为顶的柱体,故体积 = 「。(1-x-y)d drl(1-x)y-y-ll-r 2 6 (2)平面z=0及抛物面x2+y2=6-z所围成的几何体 解:如图,几何体可看成是以xOy面内的区域D:x2+y2≤6为底,以曲面 z=6-x2-y2为项的曲顶柱体 故体积V=(6-x2-y2)do 令x= rose,y= rsin 6 则D:0sr≤V6 0≤6≤2 从面P广6-)2x-做 第三节三重积分的概念与计算 思考题: 1.试述计算三重积分的步骤 答:(1)画出积分区域Ω的图形,(2)将Ω向某个坐标面投影确定积分次序和积分 限,(3)计算累次积分求得结果 2.总结出在不同的坐标系下,区域的表达式和相应的积分表达式 答:(1)直角坐标下,常将方形域表为

     −   y x x 0 1 0 1, 为底，以平面 z = 1− x − y 为顶的柱体，故体积 V =    − − − = − − D x x y x x y y 1 0 1 0 (1 )d d (1 )d = y x x x y − − −  1 0 2 1 0 ] 2 d [(1 )  − = 1 0 2 d 2 (1 ) x x 6 1 6 ( 1) 1 0 3 = − = x . （2）平面 z = 0 及抛物面 x + y = 6 − z 2 2 所围成的几何体. 解：如图，几何体可看成是以 xOy 面内的区域 D ： 6 2 2 x + y  为底，以曲面 2 2 z = 6 − x − y 为顶的曲顶柱体. 故体积 V=  − − D (6 x y )d 2 2 令 x = r cos , y = rsin  , 则 D ：        0 2π, 0 6,  r 从而 V = d (6 r )rdr 6 0 2 2π  0   − = 6 0 4 2 ) 4 2π (3 r r − =18π . 第三节 三重积分的概念与计算 思考题： 1. 试述计算三重积分的步骤. 答：（1）画出积分区域  的图形, （2）将  向某个坐标面投影确定积分次序和积分 限,（3）计算累次积分求得结果. 2. 总结出在不同的坐标系下，区域  的表达式和相应的积分表达式. 答：（1）直角坐标下，常将方形域  表为 x O y z

x≤b, Q y1(x)≤y≤y2(x) 1(x,y)≤=≤=2(x,y), 相应的积分表达式为: y2(x) 2(x,y) f(x,y, =)dv= dx.dy (r,y)y(x,y, z)d (2)柱面坐标系下:常将柱形域表为 a≤z≤b a≤b≤B, r1(6)≤r≤F2(6) 相应的积分表达式为 ∫/(xy,=J( rose,rsin-)rd ra∫d∫m n(e)y(rcos 0, rsin 0, x)rdr (3)球面坐标系下:常将球形域表为 Q B1≤6≤B2 1(0,9)≤p≤P2(O,q 相应的积分表达式为: QU(x, J=)dv=[I/(psin p cose, psin prsin 0, pcos p)psin o dp de do do[ deo f(psin o cos e, psin (p sin 0, pcos o)p' sin pdp (6;)

 ：            ( , ) ( , ), ( ) ( ), , 1 2 1 2 z x y z z x y y x y y x a x b 相应的积分表达式为：     =  b a z x y z x y y x y x f x y z V x y f x y z z ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 ( , , )d d d ( , , )d （2）柱面坐标系下：常将柱形域表为  ：            ( ) ( ). , , 1  2     r r r a z b 相应的积分表达式为   =   f (x, y,z)dV f (r cos,rsin ,z)rdrddz =    ( ) ( ) 2 1 d d ( cos , sin , ) d        r r b a z f r r z r r . （3）球面坐标系下：常将球形域表为  ：            ( , ) ( , ). , , 1 2 1 2 1 2              相应的积分表达式为：   =   ( , , )d ( sin  cos,  sin  sin ,  cos) sin  d d d 2 f x y z V f r              =              ( , ) ( , ) 2 2 1 2 1 2 1 d d f ( sin cos , sin sin , cos ) sin d . x D y z a O b 1 2 D x y a b   O z D x y z O 1 2 2 1