第二章极限与连续 第一节极限的定义 思考题: 1.在mf(x)的定义中,为何只要求f(x)在x0的空心邻域N(x0,8)内有定义? 答:因为x→>x表示x无限接近x。而不等于x,故mf(x)与f(x)在x0点有无定 义无关 him snr 是否存在,为什么? 答:存在且为0. 因为ln1=0,且卜mx1,由无穷小的性质知l5x=0 习作题: 1.设f()≈x2+1,x<0, 画出f(x)的图形,求imf(x)及lmf(x)并问 imf(x)是否存在 解:f(x)的图像如下: lim f(x)=lim(x+1)=1, x→0 Im f(x)=lim x=0 imf(x)≠limf(x) limf(x)不存在 2.函数f(x) x+1 在什么条件下是无穷大量,什么条件下是无穷小量?为什么? 答:f(x)当x→1时是无穷大量,当x→>-1时是无穷小量 ∴lm 3举例说明imf(x)=A,imf(x)=A,lmf(x)=A的几何意义 解:例如:对y=-,lm-=0表示当x沿x轴的正向远离原点时,曲线y=一无限 xx→+x 靠近直线y=0,im-=0表示当x沿x轴的负方向远离原点时,曲线y=一无限靠近直线
第二章 极限与连续 第一节 极限的定义 思考题： 1. 在 lim ( ) 0 f x x→x 的定义中，为何只要求 f (x) 在 0 x 的空心邻域 (ˆ , ) N x0 内有定义？ 答：因为 0 x → x 表示 x 无限接近 0 x 而不等于 0 x ，故 lim ( ) 0 f x x→x 与 f (x) 在 0 x 点有无定 义无关. 2. x x x sin lim →+ 是否存在，为什么？ 答：存在且为 0. 因为 0 1 lim = x→+ x ，且 sin x 1 ，由无穷小的性质知 0 sin lim = →+ x x x . 习作题： 1. 设 + = , 0 , 1, 0 , ( ) 2 x x x x f x 画出 f (x) 的图形，求 lim ( ) 0 f x x→ − 及 lim ( ) 0 f x x→ + 并问 lim ( ) 0 f x x→ 是否存在. 解： f (x) 的图像如下： lim ( ) 0 f x x→ − = lim ( 1) 2 0 + → − x x =1, lim ( ) 0 f x x→ + = x x→ + 0 lim =0, lim ( ) 0 f x x→ − lim ( ) 0 f x x→ + . lim ( ) 0 f x x→ 不存在. 2. 函数 1 1 ( ) − + = x x f x 在什么条件下是无穷大量，什么条件下是无穷小量？为什么？ 答： f (x) 当 x →1 时是无穷大量, 当 x → −1 时是无穷小量. 0 1 1 lim 1 = − + →− x x x , = − + → 1 1 lim 1 x x x . 3.举例说明 f x A f x A f x A x x x = = = →+ →− → lim ( ) , lim ( ) ,lim ( ) 的几何意义. 解：例如：对 x y 1 = , 0 1 lim = x→+ x 表示当 x 沿 x 轴的正向远离原点时, 曲线 x y 1 = 无限 靠近直线 y =0; 0 1 lim = x→− x 表示当 x 沿 x 轴的负方向远离原点时, 曲线 x y 1 = 无限靠近直线 O x y 1
0 0表示当x沿x轴远离原点时,曲线y=-无限靠近直线 4.举例说明mf(x)=+∞,lmf(x)=-∞,lmnf(x)=+o,lm,f(x)=-∞的 几何意义 解:例如:对y im2=+∞表示当x沿x轴无限接近0时,曲线 向上 无限远离原点,对yx2x0x2 lim ∞表示当x沿x轴无限接近0时,曲线y=2向 下无限远离原点,对y=--,lim(--)=+∞表示当x沿x轴负向无限接近0时,曲线 y=1向上无限远离原点:m(-1)=-m表示当x沿x轴正方向无限接近0时,曲线 x 向下无限远离原点 第二节极限的运算 思考题: 1.下列运算错在何处? (1) lim sin x cos-= lim sin x lim cos -=0. im cos-=0 x→0 答: lim sin x cos-≠ lim sin x. lim cos-( lim cos-不存在) lim x2 (2)lm 答:lim im(2-x)=0) 2.两个无穷大的和仍为无穷大吗?试举例说明 答:不一定 如:-是x→0+时的无穷大量,1--也是x→0+时的无穷大量,但其和为1,不是 x→0+时的无穷大量 习作题: 1.求下列极限 x2-3x+ (1) lim (2)lm4x-3x x+2x4+5x2-6
y = 0 ; 0 1 lim = x→ x 表示当 x 沿 x 轴远离原点时, 曲线 x y 1 = 无限靠近直线 y = 0 . 4. 举例说明 = + → lim ( ) 0 f x x x ， = − → lim ( ) 0 f x x x ， = + → − lim ( ) 0 f x x x , = − → + lim ( ) 0 f x x x 的 几何意义. 解：例如：对 2 1 x y = , = + → 2 0 1 lim x x 表示当 x 沿 x 轴无限接近 0 时，曲线 2 1 x y = 向上 无限远离原点; 对 2 1 x y = − , = − − → 2 0 1 lim x x 表示当 x 沿 x 轴无限接近 0 时，曲线 2 1 x y − = 向 下无限远离原点，对 x y 1 = − , − = + → − ) 1 lim ( x 0 x 表示当 x 沿 x 轴负向无限接近 0 时，曲线 x y 1 = − 向上无限远离原点; − = − → + ) 1 lim ( x 0 x 表示当 x 沿 x 轴正方向无限接近 0 时，曲线 x y 1 = − 向下无限远离原点. 第二节 极限的运算 思考题： 1.下列运算错在何处? （1） 0 1 0 lim cos 1 lim sin lim cos 1 lim sin cos 0 0 0 0 = = = → → → x → x x x x x x x x . 答： x x x x x x x 1 lim sin lim cos 1 lim sin cos →0 →0 →0 ( x x 1 lim cos →0 不存在). （2） = − = − → → → lim (2 ) lim 2 lim 2 2 2 2 2 x x x x x x x . 答： lim (2 ) lim 2 lim 2 2 2 2 2 x x x x x x x − − → → → ( lim (2 x) 0 x 2 − = → ). 2. 两个无穷大的和仍为无穷大吗？试举例说明. 答：不一定. 如： x 1 是 → + x 0 时的无穷大量, x 1 1− 也是 → + x 0 时的无穷大量, 但其和为 1，不是 → + x 0 时的无穷大量. 习作题： 1. 求下列极限： （1） 1 3 2 lim 2 1 − − + → x x x x , （2） 2 5 6 4 3 1 lim 4 2 4 3 + − − + → x x x x x
解:原式=m(x=2Xx=1) 解:原式=lim x→1 +2 (3)in (4)lim 解:原式=mn2-x+22+yx+2 解: x→0时tanx3~x x2(2-x)(2+√x+2) =lim 原式=lm lm1=1 (5)im(1+x2)2 (6)lm(≌x+100 解:令=x 解:原式=lmSx+lm100 则当x→0时u→>0, =0+100 原式=lm(1+a)“=e 解:∵当x→0时tan2x~2x 原式=imx=lm11 →02 2试证x→>0时,sinx2是比tanx高阶的无穷小 证明:∵当x→0时Sn tan x x SIn x lim x=0 x→>0时,snx2是比tanx高阶的无穷小 3.试证x→0时,ex-1与x是等价无穷小 证明:令 l1+
解：原式= 1 ( 2)( 1) lim 1 − − − → x x x x 解: 原式= 2 4 4 5 6 2 3 1 4 lim x x x x x + − − + → = lim ( 2) 1 − → x x =2. = − 1. （3） x x x − − + → 2 2 2 lim 2 , （4） 3 3 0 sin tan lim x x x→ , 解：原式= (2 )(2 2) (2 2)(2 2) lim 2 − + + − + + + → x x x x x 解： x → 0 时 3 3 tan x ~ x , = 2 2 1 lim x→2 + x + 3 3 sin x ~ x , = 4 1 . 原式= 3 3 0 lim x x x→ =lim 1 x→0 =1 . （5） 2 lim (1 ) 2 0 − + → x x x , （6） 100) sin lim ( + → x x x , 解：令 u = 2 x , 解：原式= lim 100 sin lim → → + x x x x 则当 x →0 时 u →0, =0 + 100 原式= u u u 1 0 lim (1+ ) → = e . = 100. (7) x x x tan 2 lim →0 . 解： 当 x →0 时 tan 2x ~ 2x , 原式= x x x 2 lim →0 = 2 1 lim x→0 = 2 1 . 2.试证 x →0 时， 2 sin x 是比 tan x 高阶的无穷小. 证明： 当 x →0 时 2 sin x ~ 2 x ， tan x ~ x , x x x tan sin lim 2 →0 = x x x 2 0 lim → = x x 0 lim → =0, x →0 时, 2 sin x 是比 tan x 高阶的无穷小. 3. 试证 x →0 时， e −1 x 与 x 是等价无穷小. 证明：令 e −1 x = u , 则 x = ln( u +1)
于是有:lme2-1 = lim lim o In(u+1) n(u+ 故x→>0时,ex-1与x是等价无穷小 第三节函数的连续性 思考题: 1如果f(x)在x0处连续,问f(x)在x处是否连续? 答:若∫(x)在x处连续,则∫(x)在x0处连续 2区间(a,b上的连续函数一定存在最大值与最小值吗?举例说明? 答:区间(a,b]上的连续函数不一定存在最大值与最小值 如:y=hx在(O上连续,但不存在最小值:y=x在(0上连续,但不存在最大值 习作题: 1.求下列极限 (1) lim sin 3x (2) lim cos 3x x→5其 解:lmsn3 解: lim cos3 =sin3(3)=0 =cos3(3兀)=-1 (4)ln(e2x+2x+1) 解:ln(3x +x-1) x→2 17 (6) lim arctan x x→ex In x 解:lim 解: lim arctan x In e
于是有： x x x e 1 lim 0 − → = ln( 1) lim →0 u + u u = 1 0 1 lim ln( 1) u u u → + = ln e 1 =1 , 故 x →0 时, e −1 x 与 x 是等价无穷小. 第三节 函数的连续性 思考题： 1.如果 f (x) 在 0 x 处连续，问| f (x) |在 0 x 处是否连续？ 答：若 f (x) 在 0 x 处连续，则| f (x) |在 0 x 处连续. 2.区间 (a,b] 上的连续函数一定存在最大值与最小值吗？举例说明？ 答：区间 (a,b] 上的连续函数不一定存在最大值与最小值. 如： y = ln x 在 (0,1] 上连续，但不存在最小值； x y 1 = 在 (0,1] 上连续，但不存在最大值. 习作题： 1. 求下列极限: （1） x x lim sin 3 →3π , （2） x x lim cos3 →3π , 解： x x lim sin 3 →3π 解： x x lim cos3 →3π = sin 3(3π ) = 0. = cos3(3π ) = − 1. （3） lim(3 2 1) 3 2 2 − + − → x x x x , （4） lim(e 2 1) 2 0 + + → x x x , 解 ： lim(3 2 1) 3 2 2 − + − → x x x x 解：lim(e 2 1) 2 0 + + → x x x = 3 2 2 2 2 1 3 2 − + − = e 2 1 0 0 + + =17. = 3. （5） x x x ln lim →e , （6） x x lim arctan →1 . 解： x x x ln lim →e 解： x x lim arctan →1 = e ln e = arctan 1
2.求函数f(x)= 的间断点,并判断其类型 解:由初等函数在其定义区间上连续知f(x)的间断点为x=0,x=1 x+1 lim f(x)=lim 2而f(x)在x=1处无定义,故x=1为其可去间断点 又∵f(x)=lnx+1 = x=0为f(x)的无穷间断点 综上得x=1为f(x)的可去间断点,x=0为f(x)的无穷间断点
= e 1 . = 4 π . 2. 求函数 x x x f x ( 1) 1 ( ) 2 − − = 的间断点，并判断其类型： 解：由初等函数在其定义区间上连续知 f (x) 的间断点为 x = 0, x = 1. 2 1 lim ( ) lim 1 1 = + = → → x x f x x x 而 f (x) 在 x =1 处无定义，故 x =1 为其可去间断点. 又 = + = → x x f x x 1 ( ) lim 0 x = 0 为 f (x) 的无穷间断点. 综上得 x =1 为 f (x) 的可去间断点, x = 0 为 f (x) 的无穷间断点