第六章定积分 第一节定积分的概念 思考题: 1.如何表述定积分的几何意义?根据定积分的几何意义推出下列积分的值: (2) 解:若x∈号时,(x)≥0则∫。/(x)dx在几何上表示由曲线y=f(x),直线 x=ax=b及x轴所围成平面图形的面积若x∈]时,fx)≤0,则∫f(x)dx在几何 上表示由曲线y=∫(x),直线x=a,x=b及x轴所围平面图形面积的负值 (1)由下图(1)所示,几xdx=(-A1)+A1=0 o 1 R R (3) (2)由上图(2)所示,「8√R2-x2dx=A2 (3)由上图(3)所示, Jix cos xdx=A3+(-A4)+A=A3+A5+(-A3-A3)=0
第六章 定积分 第一节 定积分的概念 思考题： 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1） − xdx 1 1 , （2） − − R x x R R d 2 2 , （3） cos xdx 0 2 , （4） − x dx 1 1 . 解：若 x a b f x f x x a b , 时, ( ) 0,则 ( )d 在几何上表示 由曲线 y = f (x) ，直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成平面图形的面积. 若 xa,b 时， f x f x x a b ( ) 0,则 ( )d 在几何 上表示由曲线 y = f (x) ，直线 x = a, x = b 及 x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示， d ( 1 ) 1 0 1 −1 x x = −A + A = . （2）由上图（2）所示， 2 π d 2 2 2 2 R R x x A R −R − = = . （3）由上图（3）所示， cos d 3 ( 4 ) 5 3 5 ( 3 5 ) 0 2π 0 x x = A + −A + A = A + A + −A − A = . R − R O R x y 2 A (2) -1 -1 1 1 1 A 1 A O x y (1) O x y 1 -1 3 A 4 A 5 A 2π π (3) −1 −1 1 O 1 x y A6 A6 (4)
(4)由上图(4)所示,|xdx=2A=211=1 2.若当a≤x≤b,有f(x)≤g(x),下面两个式子是否均成立,为什么? l)J6f(x)dx≤jg(x (2)∫f(x)dxs∫g(x)dx 答:由定积分的比较性质知(1)式成立,而不定积分的结果表示一族函数,∫f(x)dx 与g(x)dx不能比较大小,故(2)式不成立 3.n个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系? 答:二者均反映了多个数的平均值大小,后者是前者的推广,但n个数的算术平均值是 有限个数的平均值,而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值,前者计算 公式是∑a,后者计算公式是 f(x)dx b 习作题: 1.用定积分的定义计算定积分∫cdx,其中c为一定常数 解:任取分点a=x<x1<x2<…<x=b,把[a,b分成n个小区间 [x-1,x](=1,2…m),小区间长度记为△x=x1-x1(i=1,2…n),在每个小区间 x1,x上任取一点5作乘积f(5)Ax的和式 f().Ax )=c(b-a) 记=max{Ax},则cdx=lm∑∫(51)Ax1=lmc(b-a)=c(b-a) →0 2.利用定积分的估值公式,估计定积分[(4x-2x3+5)dx的值 解:先求f(x)=4x2-2x3+5在[1上的最值,由 0,得x=0或x 比较f(-1)=11(0)=5G)=-27 8--104,f(1)=7的大小,知 11, 1024
（4）由上图（4）所示， 1 1 1 2 1 d 2 6 2 1 −1 x x = A = = . 2. 若当 a x b ，有 f (x) g(x) ，下面两个式子是否均成立，为什么？ （1） f x x g x x b a b a ( )d ( )d , （2） f (x)dx g(x)dx . 答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数， f (x)dx 与 g(x)dx 不能比较大小，故（2）式不成立. 3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？ 答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但 n 个数的算术平均值是 有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算 公式是 = n i ai n 1 1 ,后者计算公式是 − b a f x x b a ( )d 1 . 习作题： 1. 用定积分的定义计算定积分 b a cdx ,其中 c 为一定常数. 解 ： 任 取 分 点 a = x0 x1 x2 xn = b , 把 [a ,b] 分 成 n 个小区间 [ , ] i 1 i x x − (i = 1 ,2n) ，小区间长度记为 x i = i x - i−1 x (i = 1 ,2n) ,在每个小区间 i i x , x −1 上任取一点 i 作乘积 i i f ( )x 的和式： = = = − − = − n i n i f i xi c xi xi c b a 1 1 1 ( ) ( ) ( ) , 记 max{ } 1 i i n = x , 则 d lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 c x f x c b a c b a n i i i b a = = − = − = → → . 2. 利用定积分的估值公式，估计定积分 − − + 1 1 4 3 (4x 2x 5) dx 的值. 解：先求 ( ) 4 2 5 4 3 f x = x − x + 在 −1,1 上的最值，由 ( ) 16 6 0 3 2 f x = x − x = , 得 x = 0 或 8 3 x = . 比较 , (1) 7 1024 27 ) 8 3 f (−1) = 11, f (0) = 5, f ( = − f = 的大小，知 , 11 1024 27 f min = − f max =
由定积分的估值公式,得/m1-(-1s∫(4x2-2x3+5kxs/m-(-1 ≤.(4x2-2x3+5x≤22 512 3.求函数f(x)=Ⅵ1-x2在闭区间[1,1上的平均值 解:平均值 1-(-1) 4.利用定积分的定义证明dx=b-a 证明:令()2=1,则∫dx=J。/(x)dx,任取分点a=x<x…<x=b,把分 成n个小区间[x1,x,并记小区间长度为Ax=x-x1(i=12…;n),在每个小区间 x-,x上任取一点5,作乘积f(5)Ax的和式∑f(51)Ax=∑A,=b-a,记 =mx{△x},则∫dx=mn∑f(5)Ax,=lm(b-a)=b-a 第二节微积分基本公式 思考题: sin tdn) 答:因为smdt是以x为自变量的函数,故∫smd 2.(,f(x)dx)=? 答:因为∫f(x)dx是常数,故(Jf(x)dxy=0 dr]o/(r)dr d 答:因为f(x)dx的结果中不含x,故「f(x)dx=0 d r j, cost dx=? 答:由变上限定积分求导公式,知 cost dx= cos x
由定积分的估值公式，得 [1 ( 1)] (4 2 5)d 1 ( 1) max 1 1 4 3 min − − − + − − − f x x x f , 即 (4 2 5)d 22 512 27 1 1 4 3 − − + − x x x . 3. 求函数 2 f (x) = 1− x 在闭区间[-1，1]上的平均值. 解：平均值 − = − = − − = 1 1 2 2 4 π 2 π 1 2 1 1 d 1 ( 1) 1 x x . 4. 利用定积分的定义证明 = − b a dx b a . 证明：令 f (x) = 1,则 = b a b a dx f (x)dx ，任取分点 0 1 a = x x … xn = b ,把 a,b 分 成 n 个小区间 i i x , x −1 ，并记小区间长度为 ( 1,2 , ) xi = xi − xi−1 i = n ，在每个小区间 i i x , x −1 上任取一点 i ，作乘积 ( ) i f i x 的和式 f x x b a n i n i i i = i = − =1 =1 ( ) ,记 max{ } 1 i i n = x , 则 x f x b a b a x n i i i b a = = − = − → = d lim → ( ) lim ( ) 0 1 0 . 第二节 微积分基本公式 思考题： 1. = ( sin d ) d d 1 x t t t ? 答：因为 x t t 1 sin d 是以 x 为自变量的函数，故 x t t t 1 sin d d d =0. 2. ( ( )d ) ? 2 1 = f x x 答：因为 2 1 f (x)dx 是常数，故 ( ( )d ) 0 2 1 = f x x . 3. = b a f x x x ( )d d d ？ 答：因为 b a f (x)dx 的结果中不含 x ，故 = b a f x x x ( )d d d 0. 4. = x a t x x cos d d d 2 ？ 答：由变上限定积分求导公式，知 = x a t x x cos d d d 2 2 cos x
d d 答 d 6.若f()=snrd,则f(x)=2 E: f(x)=(xsin(x)--sin x=2xsn x-sinx 7.当/(x)为积分区间b上的分段函数时,问如何计算定积分∫。(x)dx?试举例 说明 答:分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质,将∫”(x)dx分解为部 分区间上的定积分来计算例如:若以)=x2,0≤x≤1 则 1<x<0. /o如::: 8.对于定积分,凑微分法还能用吗?为什么? 答:能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算,而凑微分法所得原函数不须作 变量置换 习作题: 1.计算下列定积分 (1)[i1-x|dx,(2) xax 解:(1)[11-x|dx=[(1-x) (1-x)2(x-1) 2 (2) dx x 3)Isin x dx= sin xdx+(-sin x)d =(-cosx)6+cosx|2=2+2=4
5. = 1 e d d d 2 x t t x ？ 答： = 1 e d d d 2 x t t x 2 2 ( e d ) e d d 1 x x t t x − = − . 6. 若 = 2 ( ) sin d 2 x x f x t t ，则 f (x) =？ 答： f (x) = 2 2 2 2 4 2 (x )sin( x ) − sin x = 2xsin x − sin x . 7. 当 f (x) 为积分区间 [a,b] 上的分段函数时，问如何计算定积分 b a f (x)dx ？试举例 说明. 答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将 b a f (x)dx 分解为部 分区间上的定积分来计算.例如：若 − = , 1 0, , 0 1, ( ) 2 x x x x f x 则 f (x)dx 1 −1 = xdx 0 −1 + f (x)dx 1 −1 = 1 0 3 0 1 2 2 3 x x + − = 6 1 − . 8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？ 答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作 变量置换. 习作题： 1. 计算下列定积分 （1） − 2 0 |1 x | dx , （2） − 1 2 2 x | x | dx , （3） 2π 0 | sin x | dx . 解：（1） − 2 0 |1 x | dx = − 1 0 (1 x)dx + − 2 1 (x 1)dx = 2 1 2 1 0 2 2 ( 1) 2 (1 ) − + − − x x = 2 1 2 1 + =1. （2） − 1 2 2 x | x | dx = − − 0 2 3 ( x )dx + 1 0 3 x dx = 1 0 4 0 2 4 4 4 x x − + − =4+ 4 17 4 1 = . （3） 2π 0 | sin x | dx = π 0 sin xdx + − 2π π ( sin x)dx = 2π π π 0 (−cos x) + cos x =2+2=4
snπtdt 2.求极限lim 11+cosπx 解:此极限是“一”型未定型,由洛必达法则,得 ∫sd5mxty cosT x (1+cosπx) πSmπxxl-丌 3.计算下列各题: (1)「x10d (2) (4)100dx (5)2 sin xdx (6)xe dx (7)sin(2x+π)d (8)cox2+4)dx,(9)Jydx,(10) 0100+x tan x (11) (12) shxdx, (13).chxdx 解:(1)xdx= 10110l (2) ∫bedx=elb=e-1 (4)J100dx= 100x hn100ln100 (5)J3 sin xdx=-cos. 2=l (6) xe dx=er d(x) (7)J3 sin( 2x+T )dx=[2sin(2x+T d(2x+T)=--cos(2x+r=-1 dx=4 0 cos(+ 4444 In
2. 求极限 x t t x x 1 cosπ sin π d lim 1 1 + → . 解：此极限是“ 0 0 ”型未定型，由洛必达法则，得 x t t x x 1 cosπ sin π d lim 1 1 + → = (1 cosπ ) ( sin π d ) lim 1 1 + → x t t x x = π 1 ) π 1 lim ( π sin π sin π lim 1 1 = − − = x→ − x x→ x 3. 计算下列各题： （1） 1 0 100 x dx ， （2） 4 1 xdx ， （3） 1 0 e dx x , （4） x x 100 d 1 0 , （5） sin xdx 2 π 0 , （6） x x x e d 2 1 0 , （7） sin( 2x π )dx 2 π 0 + , （8） x x )d 4 π 4 cos( π 0 + , （9） x x x d 2 e ln 1 , （10） + 1 0 2 100 d x x , （11） 4 π 0 2 d cos tan x x x , （12） 1 0 shxdx , （13） 1 0 chxdx . 解：（1） 1 0 100 x dx = 101 1 101 1 0 101 = x . （2） 4 1 xdx = 3 14 3 2 4 1 2 3 x = . （3） e d e e 1 1 0 1 0 = = − x x x . （4） x x 100 d 1 0 = ln 100 99 ln 100 100 1 0 = x . （5） sin d cos 2 1 π 0 2 π 0 x x = − x = . （6） 2 e 1 2 e e d( ) 2 1 e d 1 0 1 2 0 1 0 2 2 2 − = = = x x x x x x . （7） sin( 2x π )dx 2 π 0 + = sin( 2 π )d(2 π ) 2 1 2 π 0 + + x x = 2 π 0 cos(2 π ) 2 1 − x + = −1. （8） x x )d 4 π 4 cos( π 0 + = ) 4 π 4 )d( 4 π 4 4 cos( π 0 + + x x = π 0 ) 4 π 4 4sin( + x = 4 − 2 2 . (9) x x x d 2 e ln 1 = ln d(ln ) 2 1 e 1 x x = 4 1 ln 4 1 e 1 2 x =