第四章随机变量的数字特征 §4协方差及相关系数 §4协方差 1、定义 RCOV(X, Y)=E(X-EXCY-EY)=EXY-EXEY 为随机变量X,Y的协方差.而COV(X,X)=DX COv(X,Y pxy DY、√DY为随机变量X,Y的相关系数。 p是一个无量纲的量;若pxy=0, 称XY不相关,此时COV(X,Y)=0 定理:若Ⅹ,Y独立,则,Y不相关 证明:由数学期望的性质有 E(X-EXOY-EY=E(X-EXECY-EY 又EXEX)=0,E(YEY=0 所以E(XEⅩYEY=0 []返回主目录 即COV(X,Y=0
§4.协方差及相关系数 §4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 1、定义 XY 是一个无量纲的量；若 XY =0， 称 X,Y 不相关,此时 COV(X,Y)=0。 定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。 证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY) 又 E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0 所以 E(X-EX)(Y-EY)=0。 即 COV(X,Y)=0 称COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY 为随机变量X,Y的协方差. 而 COV(X,X)=DX. DX DY 为随机变量X,Y的相关系数。 COV X Y XY . ( , ) = 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 §4协方差 注意:若E(XEX(YEY)≠0,即 EXY-EXEY≠0,贝 Ⅹ,Y一定相关,且X,Y一定不独立。 2、协方差的性质 D)COVXY-COVY,X) 2)COV(ax, bY=abCOVX,Y 3)COV(X+Y,2COV(X,Z+COVY, z 4)若XY不相关,则:EXY=EXEY,DaX+bY)a2Dx+b2Dy 由方差的性质3)知: D(aX+by)=a'DX +b DY+2abCOv(X,Y) []返回主目录
2、协方差的性质 1) COV(X,Y)=COV(Y,X); 2) COV(aX，bY)=abCOV(X,Y); 3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z); 4) 若 X,Y 不相关，则：EXY=EXEY, D(aX+bY)=a DX b DY 2 2 + 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 由方差的性质３）知： 注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY-EXEY 0， 则 X，Y一定相关，且X，Y一定不独立。 D(aX+bY)= 2 ( , ) 2 2 a DX + b DY + abCOV X Y 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 §4协方差 3、相关系数的性质 2)|1|=1分存在常数ab使P{Y=a+bx}=1 证明: 令:e=E[Y-(a+bX2 EY+beX+a-2aey-2beXr+2abeX 求ab使e达到最小 0(0e=2a+2bEX-2EY=0 令 aa = 26EX-2EXY+2aEX=0 ab 将a=EY-bEX,代入第二个方程得 EXY- EXEY bEX-EXY+(EY -)EX =0, t b 2 Ex2-( EX)
3、相关系数的性质 1) 1. XY 2) XY = 1存在常数 a,b 使 P{Y=a+bX}=1. 证明： EY b EX a aEY bEXY abEX e E Y a bX 2 2 2 [ ( )] 2 2 2 2 2 = + + − − + 令： = − + 求 a,b 使 e达到最小 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 令 = − + = = + − = 2 2 2 0 2 2 2 0 2 bEX EXY aEX b e a bEX EY a e 将 a = EY − bEX , 代入第二个方程得 2 2 2 ( ) ( ) 0, EX EX EXY EXEY bEX EXY EY bEX EX b − − − + − = 故 =
第四章随机变量的数字特征 §4协方差 COV(X,Y) 解得 DX a= Ey-bEX= EY-eX COV(X,Y) DX min ElY(a+bX]=elr -(ao+box) b =E(Y-Er+E COV(X,Y) CO(X,Y)、2 DX DX E((Y-EY(-EX Ov(,Y DX DY+ DX COv(X,Y 2COV(X,Y) COV(X,Y (DX) DX DY+ COv(X,Y COv(X,Y) DX DX[返回主目录
解得 DX COV X Y a EY b EX EY EX DX COV X Y b ( , ) ; ( , ) 0 0 0 = − = − = − + = 2 , min E[Y (a bX)] a b 2 0 0 E[Y − (a + b X )] 2 ) ( , ) ( , ) ( DX COV X Y X DX COV X Y = E Y − EY + EX − 2 ) ( , ) (( ) ( ) DX COV X Y = E Y − EY − X − EX 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 DX COV X Y DX COV X Y DY ( , ) 2 ( , ) 2 2 = + − DX COV X Y COV X Y DX COV X Y DY DX ( , ) 2 ( , ) ( ) ( , ) 2 2 = + − 返回主目录
第四章随机变量的数字特征 Dr COv2(X, Y )=Dr- Pxy. DX DY=(1-PrDr DX DX Bp: min EIY-(a+bX]2=(1-P2Y)DY a. b 由上式得 1-py≥0,|x|≤1。 2)若=1则EY-(a0+b2)=0。 从而DY-(a0+bX)+(E{Y-(a+bX))2=EY-(an+b)2=0 所以D[y-(a0+bX)=0,B[Y-(a0+bX)=0 故P{Y-(a+bX)=0}=1 P{Y=a0+b2X}=1 []返回主目录
即： − + = 2 , min E[Y (a bX)] a b (1 XY )DY 2 − DX DX DY DY XY = − 2 = (1 X Y )DY 2 − 由上式得: 1) １－ 0, 1 2 XY XY 。 2) 若 = 1, X Y 则 [ ( )] 0 2 E Y − a0 + b0 X = 。 第四章 随机变量的数字特征 从而D[Y − (a0 + b0 X )] + − + = 2 0 0 (E[Y (a b X)] ) [ ( )] 0 2 E Y − a0 + b0 X = 所以 [ ( )] 0, D Y − a0 + b0 X = E[Y − (a0 + b0 X )] = 0 故 P{Y－（a0 + b0 X ) = 0 }=1. 即 P{Y＝a0 + b0 X }=1。 DX COV X Y DY ( , ) 2 = − 返回主目录