第八章常微分方程 第一节常微分方程的基本概念与分离变量法 思考题: 1.微分方程通解中的任意常数C最终可表为e,snC2(C1,C2为任意实数) hC3(C3为实数C3>0)等形式吗? 答:不能表示为esnC2,能表示为hC3,因为e只能取到(0.+∞)内的所有实数, snC2只能取到[-1,1内的实数,均不能取到所有实数,而hC3∈(-∞+∞) 2.微分方程的特解的图形是一条曲线(积分曲线),通解的图形是一族积分曲线,问通 解中的积分曲线是否相互平行(注:两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的点处切线斜率相 同)? 答:不一定.若通解的一阶导数中含有任意常数,则积分曲线不相互平行 习作题 1.验证yc=C1xe-x+C2e为微分方程y"+2y+y=0的解,并说明是该方程的通解 证明 +c yc"=(C2-2C1)e+C1xe-, 于是yc"+2yc+yc=0,故yc是y+2y+y=0的解 xe与e-线性无关,y"+2y+y=0中的C1与C2相互独立,即yc中含有与 方程y+2y+y=0阶数相同(个数均为2)的独立任意常数,故yc是该方程的通解 2.用分离变量法求解下列微分方程: dy x2y2,(2) (3)=(1+x+x2)y,且y(0) 解:(1)分离变量得2=xdx
第八章 常微分方程 第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法 思考题： 1. 微分方程通解中的任意常数 C 最终可表为 2 e ,sin 1 C C （ 1 2 C ,C 为任意实数）， ln ( , 0) C3 C3为实数 C3 等形式吗？ 答：不能表示为 2 e ,sin 1 C C ，能表示为 3 ln C ，因为 1 e C 只能取到 (0,+) 内的所有实数， 2 sin C 只能取到 [−1,1] 内的实数，均不能取到所有实数，而 ln ( , ) C3 − + . 2. 微分方程的特解的图形是一条曲线（积分曲线），通解的图形是一族积分曲线，问通 解中的积分曲线是否相互平行(注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的点处切线斜率相 同)？ 答：不一定. 若通解的一阶导数中含有任意常数, 则积分曲线不相互平行. 习作题: 1. 验证 x x yC C x C − − = e + e 1 2 为微分方程 y''+2y'+y = 0 的解，并说明是该方程的通解. 证明： x x yC C x C − − = e + e 1 2 , x x C y C C C x − − ' = ( − )e − e 1 2 1 , x x C y C C C x − − '' = ( − 2 )e + e 2 1 1 , 于是 yC ''+2yC '+yC = 0 ，故 C y 是 y''+2y'+y = 0 的解. x x − e 与 − x e 线性无关， y''+2y'+y = 0 中的 C1 与 C2 相互独立，即 C y 中含有与 方程 y''+2y'+y = 0 阶数相同（个数均为 2）的独立任意常数，故 C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程: （1） 2 2 d d x y x y = , （2） 2 d 1 d x y x y − = , （3） x x y x y (1 ) d d 2 = + + ，且 y(0) = e . 解：（1）分离变量得 x x y y d d 2 2 =
两边积分得∫d=∫xdr 求积分得 从而通解为y C3 及y=0 (2)分离变量得 dy 两边积分得-dy= 求积分得h|y= arcsin x+C1 y=±e (C=±e1) 从而通解为y=Cex (3)分离变量得①=(1+x+x2)dx 两边积分得∫y=(+x+x2)dx 求积分得h|yhx+ C1 即y=±ee 从而通解为y=Ce 由(0)=e,得C=e,故特解为y=e" 第二节一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 思考题 1.是否可以通过给一阶线性微分方程的通解中的任意常数指定一个适当的值而得到该 方程的任一解? 答:可以
两边积分得 y = x x y d d 1 2 2 , 求积分得 3 3 1 3 x C y − = + , 从而通解为 x C y + = − 3 3 及 y= 0 . （2）分离变量得 2 1 d d x x y y − = , 两边积分得 − = x x y y d 1 1 d 1 2 , 求积分得 1 ln | y |= arcsin x +C , 即 e e e ( e ) 1 1 C arcsin x arcsin x C y = = C C = , 从而通解为 x y C arcsin = e . （3）分离变量得 x x x y y (1 )d d 2 = + + , 两边积分得 y = + x + x x y d (1 )d 1 2 求积分得 1 2 3 2 3 ln | | C x x y = x + + + , 即 e e e ( e ) 1 3 3 2 2 3 2 1 2 3 C x x x C y C C x x x = = = + + + + , 从而通解为 2 3 2 3 e x x x y C + + = . 由 y(0) = e ，得 C = e， 故特解为 2 3 1 2 3 e x x x y + + + = . 第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程 思考题: 1. 是否可以通过给一阶线性微分方程的通解中的任意常数指定一个适当的值而得到该 方程的任一解？ 答：可以
2.可降阶的高阶微分方程有哪几种类型?各自的求解方法怎样? 答:有三种类型: (1)y{=f(x)型的微分方程,直接积分n次即可得通解 (2)y"=f(x,y)型的微分方程,先令y=p(x)将方程变为一阶微分方程 p(x)=f(x,p(x),求得通解后再解y=p(x),即得原方程的通解 (3)y'=f(y,y)型的微分方程,先令y'=p(y)将方程变为一阶微分方程 f(y,p),求得通解后再解y=p(y),即得原方程的通解 习作题: 1.求解下列一阶线性微分方程 (1)y+ay=bsnx(其中a,b为常数) 解:(1)因P(x)=a,Q(x)=bsnx,故通解为 y=e[C+bsin x edx (C+」 bsin x:e"dx) e(asin x-cos x)I a2+1 (2)程变形为-x=y2 这是x关于y的一阶线性微分方程,其中P(y)=-1,Q(y)=y 通解为 [C+y e[C+ye-d Ce-(y2+2y+2) 2.求方程yy"-(y)2=0的通解 解:方程不显含自变量x令y=p(y)原方程可变为yp0
2. 可降阶的高阶微分方程有哪几种类型？各自的求解方法怎样？ 答：有三种类型： (1) ( ) ( ) y f x n = 型的微分方程，直接积分 n 次即可得通解. (2) y'' = f (x, y') 型 的 微 分 方 程 ， 先 令 y' = p(x) 将 方 程 变 为 一 阶 微 分 方 程 p'(x) = f (x, p(x)) ，求得通解后再解 y' = p(x) ，即得原方程的通解. (3) y' ' = f ( y, y') 型的微分方程，先 令 y' = p( y) 将方程变为一阶微分方程 ( , ) d d f y p y p p = ，求得通解后再解 y' = p( y) ，即得原方程的通解. 习作题： 1. 求解下列一阶线性微分方程 （1） y'+ay = bsin x （其中 a,b 为常数）, (2) 2 1 d d x x y y + = . 解：(1)因 P(x) = a ， Q(x) = bsin x ， 故通解为 + = − e [ sin e d ] d d y C b x x a x a x = + − e (C bsin x e dx) ax ax e ( sin cos )] 1 e [ 2 a x x a b C ax ax − + = + − . (2)方程变形为 2 d d x y y x − = , 这是 x 关于 y 的一阶线性微分方程，其中 2 P(y) = −1, Q(y) = y , 通解为： + = − − − e [ e d ] ( 1)d 2 ( 1)d x C y y y y − = e [ + e d ] 2 C y y y y e ( 2 2) 2 = C − y + y + y . 2. 求方程 '' ( ') 0 2 yy − y = 的通解. 解：方程不显含自变量 x , 令 y' = p( y) 原方程可变为 0 d d 2 − p = y p y p
dp P=0或y4=p, 由y=p=0得y=C 由y业=p分离变量,得g=少 两边积分得∫业=[业 求积分得hp=hy+hC1,即p=C1y, 解y=Cy得y=C2e 因y=C包含于y=C2e中,故原方程通解为y=C2e 第三节二阶常系数线性微分方程 思考题 1.齐次线性常微分方程有何共性 答:共性在于任一齐次线性常微分方程的任意多个解的叠加函数仍是这个方程的解 2.写出以r3+6r3-2r2+r+5=0为特征方程的常微分方程 解:对应的微分方程为y3+6y3)-2y"+y+5y=0 3.写出以y=C1e3+C2xe3为通解的微分方程 解:此微分方程的特征方程应具有二重根F1=F2 故特征方程为r2-2r+=0,从而微分方程为y-y+y=0 习作题: 1.写出下列微分方程的通解: (1)y-2y+y=0, (2)y2+8y=0 解:(1)特征方程r2-2r+1=0,特征根r=F2=1 通解为y=(C1+C2xex (2)特征方程r+8=0,特征根r=-8
即 p = 0 或 p y p y = d d , 由 y' = p = 0 得 y = C . 由 p y p y = d d 分离变量，得 y y p dp d = , 两边积分得 = y y p dp d , 求积分得 1 ln p = ln y + ln C , 即 p C y = 1 , 解 y C y1 ' = 得 C x y C 1 e = 2 , 因 y = C 包含于 C x y C 1 e = 2 中, 故原方程通解为 C x y C 1 e = 2 . 第三节 二阶常系数线性微分方程 思考题: 1. 齐次线性常微分方程有何共性？ 答：共性在于任一齐次线性常微分方程的任意多个解的叠加函数仍是这个方程的解. 2. 写出以 6 2 5 0 5 3 2 r + r − r + r + = 为特征方程的常微分方程. 解：对应的微分方程为 6 2 ' ' ' 5 0 (5) (3) y + y − y +y + y = . 3. 写出以 3 2 3 1 e e x x y = C + C x 为通解的微分方程. 解：此微分方程的特征方程应具有二重根 3 1 r1 = r2 = , 故特征方程为 0 9 1 3 2 2 r − r + = ,从而微分方程为 0 9 1 ' 3 2 y''− y + y = . 习作题: 1. 写出下列微分方程的通解： （1） y''−2y'+y = 0 , （2） y'+8y = 0 . 解：（1）特征方程 2 1 0 2 r − r + = , 特征根 r1 = r2 =1, 通解为 x y (C C x)e = 1 + 2 . （2）特征方程 r +8 = 0 , 特征根 r = −8
通解为y=Ce3 2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)y"+2y-6y=e,y(0)=1,y(0)=1 (2)y"+y=sinx,y(0)=1,y(0)=1 解:(1)先解y"+2y-6y=0 其特征方程为r2+2r-6=0,特征根为r=-1+7,n2=-1-√7 故通解y=Ce-+x+C,e-k 因ex中=-3不是特征方程的根,且P(x)=1,故设原方程特解y=Aex,代 入原方程化简,得A=-,从而原方程通解为y=Ce-x+Ce-hx-fe2x 由y(0)=0,得C1+C2-=0,由y(0)=0,得(-1+√7C1-(1+√7)C2+1=1 解得C=7+√7 42 故所求特解yp= (-1+7)x 42e(---2e→ (2)先解y+2y=0, 其特征方程为r2+2=0,特征根为r=√2n2=-√2i 故通解yc= ICos√2x+C2sn√2x 设原方程特解y*= a cos x+bsnx,代入原方程,化简得a=0,b=1,故原方程通解 y=C1cos√2x+C2sn√2x+snx, 由y(0)=0得C1=0,由y(0)=1,得C2=0,故所求特解为y=snx
通解为 x y C 8 1 e − = . 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: （1） x y y y 3 '' 2 ' 6 e − + − = , y(0) = 1, y'(0) = 1, （2） y' '+2y = sin x ， y(0) = 1, y'(0) = 1. 解：（1）先解 y''+2y'−6y = 0 , 其特征方程为 2 6 0 2 r + r − = , 特征根为 r1 = −1+ 7 , r2 = −1− 7 , 故通解 x x y C C ( 1 7) 2 ( 1 7) 1 e e − + − − = + . 因 3x e − 中 = −3 不是特征方程的根，且 Pm (x) = 1, 故设原方程特解 x y p A 3 e − = ，代 入原方程化简，得 3 1 A = − ，从而原方程通解为 x x y C C ( 1 7) 2 ( 1 7) 1 e e − + − − = + 3x e 3 1 − − . 由 y(0) = 0 ，得 0 3 1 C1 + C2 − = , 由 y'(0) = 0 ，得 (−1+ 7)C1 − (1+ 7)C2 +1 = 1, 解得 42 7 7 1 + C = , 42 7 7 2 − C = , 故所求特解 x x x p y ( 1 7 ) ( 1 7 ) 3 e 3 1 e 42 7 7 e 42 7 7 − + − − − − − + + = . （2）先解 y + 2y = 0 ， 其特征方程为 2 0 2 r + = ，特征根为 2i, 2i r1 = r2 = − ， 故通解 y C x C x C = 1 cos 2 + 2 sin 2 . 设原方程特解 y* = a cos x + bsin x ，代入原方程，化简得 a = 0,b = 1 ，故原方程通解 y C cos 2x C sin 2x sin x = 1 + 2 + , 由 y(0) = 0 得C1 = 0 ，由 y(0) = 1 ，得 C2 = 0 ，故所求特解为 y = sin x