第四章一元函数微分学的应用 第一节柯西( Cauchy)中值定理与洛必达( L'Hospital)法则 思考题 1.用洛必达法则求极限时应注意什么? 答:应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足 2.把柯西中值定理中的“f(x)与F(x)在闭间区[ab上连续”换成“f(x)与F(x)在 开区间(b)内连续”后,柯西中值定理的结论是否还成立?试举例(只需画出函数图象) 说明 答:不成立 图像如下 习作题: 1.用洛必达法则求下列极限 (2) (3)lim sin(r-2 (4) x-3x+2x-sin 解:(1)lin=,=lm(x+1)=2 sin x 2)lim lim cos x=1 (3)lim Sin(x rt )=lim cos(x-T) x-3x+2x-sin x 4x3-6x+2-cosx2-1 4x3 2.用洛必达法则求下列极限: (1)lim x (2)lm(+x)
第四章 一元函数微分学的应用 第一节 柯西( Cauchy )中值定理与洛必达( LHospital )法则 思考题 ： 1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？ 答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足. 2. 把柯西中值定理中的“ f (x) 与 F(x) 在闭间区 a,b 上连续”换成“ f (x) 与 F(x) 在 开区间 (a,b) 内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象） 说明. 答：不成立. 图像如下： 习作题： 1. 用洛必达法则求下列极限： （1） 1 1 lim 2 1 − − → x x x ， （2） x x x sin lim →1 ， （3） ( ) − − → x x x sin lim ， （4） x x x x x x x − − + − → 4 4 2 0 3 2 sin lim . 解：(1) 1 1 lim 2 1 − − → x x x = lim ( 1) 1 + → x x =2, (2) x x x sin lim →0 = x x lim cos →0 =1, (3) ( ) π sin π lim π − − → x x x = ( ) 1 cos π lim π − → x x =1, (4) x x x x x x x − − + − → 4 4 2 0 3 2 sin lim = 4 1 4 6 2 cos lim 3 3 0 − − + − → x x x x x = 0 1 2 1 − − = −1. 2. 用洛必达法则求下列极限： （1） x x x → + 0 lim , （2） ( )x x x 1 0 lim 1+ → . y A B O x
解:(1)lnxx= lim en=e lim=x x→0 )lm(+x)=me-=2-=m x→0 3.设∫(x)=x2-x,直接用柯西中值定理求极限m<(x) f(0)=0,sinO=0 lim /() =lim f(x)-f() x→0snx-sn0 加mn/6) sin(5)(在0与x之间) 第二节拉格朗日( Lagrange)中值定理及函数的单调性 思考题: 1将拉格朗日中值定理中条件f(x)“在闭区间[ab]上连续”换为“在开区间(ab)内 连续”后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明 不成立 如下图 2.罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理,仔细阅读下面给出的罗尔中值 定理的条件与结论,并回答下列问题 罗尔中值定理:若f(x)满足如下3条 (1)在闭区间[b上连续
解 ：(1) x x x → + 0 lim = x x x ln 0 lim e → + = x x x 1 0 ln lim e → + = x x − → + 0 lim e =1, (2) ( )x x x 1 0 lim 1+ → = x x x 1 ln(1 ) 0 lim e + → = x x x ln(1 ) lim 0 e + → = 1 1 lim 0 e x→ x+ = e . 3. 设 f (x) = x − x 2 ，直接用柯西中值定理求极限 ( ) x f x x sin lim →0 . 解： f (0) = 0, sin 0 = 0, ( ) x f x x sin lim →0 = ( ) ( ) sin sin 0 0 lim 0 − − → x f x f x = ( ) ( ) sin lim 0 → f x ( 在 0 与 x 之间) = cos 2 1 lim 0 − → = −1. 第二节 拉格朗日 (Lagrange ) 中值定理及函数的单调性 思考题： 1.将拉格朗日中值定理中条件 f (x) “在闭区间 a,b 上连续”换为“在开区间 (a,b) 内 连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明. 答：不成立. 如下图： 2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值 定理的条件与结论，并回答下列问题. 罗尔中值定理：若 f (x) 满足如下 3 条： （1）在闭区间 a,b 上连续； y A B O x
(2)在开区间(a,b)上可 (3)在区间[a,b]端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),则在开区间(a,b)内至少存 在一点5,使得f()=0 需回答的问题 (1)罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别? 答:罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之,拉格朗日中值定理是罗 尔中值定理的推广 (2)罗尔中值定理中条件(1)换为“在开区间(a,b)内连续”,定理的结论还成立吗? 画图说明 答:不成立 如下图: (3)不求∫(x)=(x-1)(x-2)x-3)(x-4)的导数,说明方程f(x)=0有几个实根 并指出它们所在的区间 答:方程f(x)=0有3个实根,分别在区间(1,2)、(2,3)、(3,4)内 原因:∵∫(1)=∫(2)=∫(3)=f(4)=0,据罗尔定理即可得出结果 3.举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的(可采用画 图方式说明) 答:如下图所示 B B a op b f(x)在[a,b]内不连续 f(x)在x=0处不可导
（2）在开区间 (a,b) 上可导； （3）在区间 a,b 端点处的函数值相等，即 f (a) = f (b) ，则在开区间 (a,b) 内至少存 在一点 ，使得 f ( ) = 0 . 需回答的问题： （1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？ 答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗 尔中值定理的推广. （2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间 (a,b) 内连续”，定理的结论还成立吗？ 画图说明. 答：不成立. 如下图： （3）不求 f (x) = (x −1)(x − 2)(x −3)(x − 4) 的导数，说明方程 f (x) = 0 有几个实根, 并指出它们所在的区间. 答：方程 f (x) = 0 有 3 个实根, 分别在区间（1, 2）、（2, 3）、（3, 4）内. 原因： f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = 0 , 据罗尔定理即可得出结果. 3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画 图方式说明）. 答：如下图所示. A B y O x y A B a O b x f (x) 在 [a,b] 内不连续 f (x) 在 x = 0 处不可导 B a O 0 b A x y
习作题: 讨论函数y=e-的单调性 解:函数y=e的定义域为(-∞,+∞) 令y=0,得x=0, 用x=0把(-∞,+∞)分成两部分(-∞,0),(0+∞) 当x∈(-∞,0)时f(x)>0,当x∈(0,+∞)时f(x)<0 因此y=e-在(-∞,0)上单调递增,在(O,+∞)上单调递减 第三节函数的极值与最值 思考题 1.画图说明闭区间上连续函数f(x)的极大值与最值之间的关系 答:图像如下 由图可知,函数∫(x)的极值与最值的关系为:f(x)的极值为可能为最值,最值在极值 点及边界点上的函数值中取得 2.可能极值点有哪几种?如何判定可能极值点是否为极值点? 答:对连续函数来说,可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点(尖点)两种.利 用极值的第一充分条件或第二充分条件判定 习作题: 求f(x)=x3+3x2在闭区间[55]上的极大值与极小值,最大值与最小值 解:f(x)=3x2+6x,令∫(x)=0,得x1=0,x2=-2 f"(x)=6x+6,∫"(0)=6>0,f"(-2)=-6<0 ∴f(x)的极大值为∫(-2)=4,极小值为∫(0)=0
习作题： 讨论函数 2 e x y − = 的单调性. 解：函数 2 e x y − = 的定义域为 (−,+) , 2 2 e x y x − = − , 令 y = 0 , 得 x = 0, 用 x = 0 把 (−,+) 分成两部分 (−,0),(0 + ) , 当 x (−,0) 时 f (x) 0 , 当 x (0,+) 时 f (x) 0 , 因此 2 e x y − = 在 (−,0) 上单调递增, 在 (0,+) 上单调递减. 第三节 函数的极值与最值 思考题： 1. 画图说明闭区间上连续函数 f (x) 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下 由图可知, 函数 f (x) 的极值与最值的关系为： f (x) 的极值为可能为最值，最值在极值 点及边界点上的函数值中取得. 2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？ 答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利 用极值的第一充分条件或第二充分条件判定. 习作题： 1. 求 3 f (x) = x + 2 3x 在闭区间 − 5,5 上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解： f (x) 3x 6x 2 = + , 令 f (x) = 0 , 得 x1 = 0, x2 = −2, f (x) = 6x + 6, f (0) = 6 0 , f (−2) = −6 0 , ∴ f (x) 的极大值为 f (−2) = 4，极小值为 f (0) = 0 . x a 1 x O 2 x 3 x b x y
f∫(-5)=-50 f(5)=200 比较∫(-5),f(-2),f(0),f(5)的大小可知 f(x)最大值为200,最小值为-50 求函数y=x+√-x在[-5,1]上的最大值 1 解 令y=0 y(-5)=√6-5,y()=1,比较可知 y=x+1-x在5,1]上最大值为y=4 第四节曲率 思考题: 1.对圆来说,其半径与其曲率半径相等吗?为什么? 答:相等 因为:曲率半径R= /lim 4a Ax0△s||-0r·△a 2.是否存在负曲率,为什么? 答:不存在 因为曲率定义为:k=mN9,故可知曲率为非负的值 习作题: 1.求立方抛物线y=ax3(a>0)上各点处的曲率,并求x=a处的曲率半径 解 于是曲率k +9a2x4 当x=a时曲率k=6a2
∵ f (−5) = −50 , f (5) = 200 . ∴ 比较 f (−5), f (−2), f (0), f (5) 的大小可知： f (x) 最大值为 200， 最小值为 −50 . 2. 求函数 y = x + 1− x 在 [−5 ,1 ] 上的最大值. 解： x y − = − 2 1 1 1 , 令 y = 0 , 得 4 3 x = . ∵ 4 5 ) 4 3 y( = , y(− 5) = 6 − 5, y(1) =1, 比较可知 y = x + 1− x 在 [−5 ,1 ] 上最大值为 4 5 y = . 第四节 曲率 思考题： 1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等. 因为：曲率半径 r s r R s s = = = → → 0 0 lim 1 lim 1 . 2. 是否存在负曲率，为什么？ 答：不存在. 因为曲率定义为： s k s = → 0 lim ，故可知曲率为非负的值. 习作题： 1. 求立方抛物线 ( 0) 3 y = ax a 上各点处的曲率, 并求 x = a 处的曲率半径. 解： 2 y = 3ax , y = 6ax , 于是曲率 ( ) 2 3 2 1 y y k + = = ( ) 2 3 2 4 1 9 6 a x ax + , 当 x = a 时曲率 ( ) 2 3 6 2 1 9 6 a a k + =