第九章向量与空间解析几何 第一节空间直角坐标系与向量的概念 思考题 求点M(x,y,=)与x轴,xOy平面及原点的对称点坐标 解:M(x,y,)关于x轴的对称点为M1(x-y-2),关于xO平面的对称点为 M2(x,y--),关于原点的对称点为M(-x,-y-2) 2.下列向量哪个是单位向量? (1)r=计+j+k,(2)a=80-1),(3)b= 1333 解:(1)∵=√P+12+12=3 r不是单位向量 l=()2+02+(片)2=1,∴a是单位向量 (3) 例=y(2+()+(=￥32 b不是单位向量 3.自由向量具有什么样的特征? 答:自由向量的特征是大小相等,方向相同,但起点不定 4.试举几个现实生活中能用向量描述的量? 答:如力,速度,位移,力矩等 5.与向量a平行的单位向量有几个?如何去求?试举例说明 答:与向量a平行的单位向量有两个,一个与a同向,一个与a反向例如:若a={1, ,1},则与a平行的单位向量为±=±1 习作题: 1.求平行于a={1,1,1}的单位向量 解:与a平行的单位向量为±=±1 2.求起点为A(1,2,1),终点为B(-19,-18,1)的向量AB的坐标表达式及AB 解:AB=(-19-1)i+(-18-2)j+(1-1)k=-20i-20j={-20,-20,0}, AB=√-20)2+(-20)2+02=202
第九章 向量与空间解析几何 第一节 空间直角坐标系与向量的概念 思考题： 1. 求点 M (x, y,z) 与 x 轴， xOy 平面及原点的对称点坐标. 解： M (x, y,z) 关于 x 轴的对称点为 ( , , ) 1 M x −y −z ，关于 xOy 平面的对称点为 ( , , ) 2 M x y −z ，关于原点的对称点为 ( , , ) 3 M −x −y −z . 2. 下列向量哪个是单位向量？ （1） r = i + j + k ，（2） 1,0, 1 2 1 a = − ，（3） = 3 1 , 3 1 , 3 1 b . 解：（1） 1 1 1 3 1 2 2 2 r = + + = , r 不是单位向量. （2） ) 1 2 1 ) 0 ( 2 1 ( 2 2 2 = − a = + + , a 是单位向量. （3） 3 3 ) 3 1 ) ( 3 1 ) ( 3 1 ( 2 2 2 b = + + = , b 不是单位向量. 3. 自由向量具有什么样的特征？ 答：自由向量的特征是大小相等，方向相同，但起点不定. 4. 试举几个现实生活中能用向量描述的量？ 答：如力，速度，位移，力矩等. 5. 与向量 a 平行的单位向量有几个? 如何去求？试举例说明. 答：与向量 a 平行的单位向量有两个，一个与 a 同向，一个与 a 反向.例如：若 a ={1， 1，1}，则与 a 平行的单位向量为 1,1,1 3 1 = a a . 习作题： 1. 求平行于 a ={1，1，1}的单位向量. 解：与 a 平行的单位向量为 1,1,1 3 1 = a a . 2. 求起点为 A(1, 2, 1) ，终点为 B(−19, −18, 1) 的向量 AB 的坐标表达式及 | AB| . 解： AB = (−19 −1)i + (−18 − 2) j + (1−1)k = −20i − 20 j ={ 20, 20,0} − − , | | ( 20) ( 20) 0 20 2 2 2 2 AB = − + − + =
3.求点M1(5,10,15)到点M2(25,35,45)之间的距离 解:距离d=M1M1=(25-5)+(35-102+(45-152=5 4.求A使向量a={λ,1,5}与向量b={2,10.50}平行 解:由a∥b得=1=5得= 5.求与y轴反向,模为10的向量a的坐标表达式 解:a=10·(-j=-10j={0,-10,0} 6.求与向量a={1,5,6}平行,模为10的向量b的坐标表达式 解: √6,456, b=±10n==.56} 第二节向量的点积与叉积 思考题 1.若a与b为单位向量,则axb是单位向量吗? 答:不一定是因为axb=bsn(ab)=sm(ab),若a与b不垂直,则axb不是 单位向量 2.向量a2=aa,问a2与有关系吗? 答:∵l=a·a,故a2=aP 3.如何求同时垂直于向量a与b的向量c? 答:因为a×b既垂直于a又垂直于b,故c=A(a×b)(2为常数) 习作题 1.求点M(L,√2,1)的向径OM与坐标轴之间的夹角 解:设OM与x,y,二轴之间的夹角分别为a,B,y,则
3. 求点 (5,10,15) M1 到点 (25,35,45) M2 之间的距离. 解：距离 (25 5) (35 10) (45 15) 5 77 2 2 2 d = M1M2 = − + − + − = . 4. 求 使向量 a = {,1,5} 与向量 b = {2,10,50} 平行. 解：由 a // b 得 50 5 10 1 2 = = 得 5 1 = . 5. 求与 y 轴反向，模为 10 的向量 a 的坐标表达式. 解： a =10 (− j) = −10 j ={0, 10,0} − . 6. 求与向量 a ={1，5，6}平行，模为 10 的向量 b 的坐标表达式. 解： {1,5,6} 62 0 1 = = a a a , 故 1,5,6 62 10 10 0 b = a = . 第二节 向量的点积与叉积 思考题: 1. 若 a 与 b 为单位向量，则 a b 是单位向量吗？ 答：不一定是.因为 ^ ^ a b = a b sin (a,b) = sin (a,b),若 a 与 b 不垂直，则 a b 不是 单位向量. 2. 向量 a = a a 2 , 问 a 与a 2 有关系吗？ 答： a = a a 2 , 故 2 2 a =| a | . 3. 如何求同时垂直于向量 a与b 的向量 c ？ 答：因为 a b 既垂直于 a 又垂直于 b ，故 c = (a b) ( 为常数). 习作题: 1. 求点 M (1, 2,1) 的向径 OM 与坐标轴之间的夹角. 解：设 OM 与 x , y , z 轴之间的夹角分别为 , , ，则
COSa=<OM OM +(√2) cosB=OM_√2 k·OM cos y OM kloM 2 B 2.求同时垂直于向量a={368}和y轴的单位向量 解:记b=axj=368=(80-3} 故同时垂直于向量a与y轴的单位向量为±=±80-3} 3.求与a=i++k平行且满足a·x=1的向量x 解:因a∥x,故可设x=mn=2,,,再由ax=1得2+2+2=1,即=1 从而x=11 333 4.a={00},b={010},c=(0,1),求ab,a·c,b·c,及axa,axb,axC, b×c 解:依题意,a=i,b=j,c=k,故 a·b=i·j=0,a·c=ik=0,b·c=jk=0 a×a=ixi=0,axb=ixj=k,axc=i×k=-j,bxc=j×k=i 5.a={12}b={22,1},求a·b及axb 解:a·b=1×2+1×2+2×1=6 a×b=112|=330 6.证明向量a={101}与向量b=(-11}垂直 证明:∵a·b=1×(-1)+0×1+1×1=0
2 1 1 ( 2) 1 1 cos 2 2 = + + = = OM OM i i , 2 2 cos = = OM OM j j , 2 1 cos = = OM OM k k . 3 π = , 4 π = , 3 π = . 2. 求同时垂直于向量 a = − 3,6,8 和 y 轴的单位向量. 解：记 8,0, 3 0 1 0 = = − 3 6 8 = − − i j k b a j , 故同时垂直于向量 a 与 y 轴的单位向量为 8,0, 3 73 1 = − − b b . 3. 求与 a = i + j + k 平行且满足 a x =1 的向量 x . 解：因 a// x , 故可设 x = a = ,, ，再由 a x =1 得 + + =1 ，即 3 1 = ， 从而 = 3 1 , 3 1 , 3 1 x . 4. a = 1,0,0，b = 0,1,0，c = (0,0,1) ，求 a b ，a c ，b c ，及 aa，a b，ac ， b c . 解：依题意， a = i ， b = j ， c = k ，故 a b = i j = 0 ， a c = i k = 0， b c = j k = 0 . aa = i i = 0， a b = i j = k ，a c = i k = − j ，b c = j k = i . 5. a = 1,1,2,b = 2,2,1 ，求 a b 及 a b . 解： a b =12 +12 + 21= 6, 3,3,0 2 2 1 = 1 1 2 = − i j k a b . 6. 证明向量 a = 1,0,1 与向量 b = −1,1,1 垂直. 证明： a b = 1 (−1) + 0 1+11 = 0
(a, b 即a与b垂直 第三节平面与直线 思考题: 1.写出下列平面方程: (1)xOy平面, (2)过z轴的平面 (3)平行与zOx的平面 (4)与x,y,z轴正向截距相等的平面 解:(1)z=0 (2)ax+by=0(a,b为常数) (3)y=c(c为常数 (4)x+y+z=a(a>0) 2.用一般∫4x+By+C1+D1=0 表示空间直线的表达式是否惟一,直线 A2x+B2y+C2=+D2=0 x+y=0,-x-y=0 有何关系? 2x-y=32x+3y=0 答:用一般式方程表示空间直线的表达式不唯一,因为过两平面相交直线的任意两个不 同的平面的联立方程组均可表示这条直线 直线 与 平行 y=32x+3y=0 3.在什么条件下,可以确定一个平面的方程? 答:只要给出的条件能确定平面内的一点和垂直于平面的一个非零向量,即可确定一个 平面的方程 4.在什么条件下,可以确定一条直线的方程? 答:只要给出的条件能确定直线上的一点和平行于直线的一个非零向量,即可确定一条 直线的方程 5.由直线的一般式方程化为直线的点向式方程的关键点及主要步骤是什么? 答:关键点是确定直线的方向向量主要步骤是:①定点,由一般式方程任取直线 点;②定向,由两平面的法向量的叉积求得直线的方向向量,最后写出点向式方程 6.若平面方程为Ax+By+C=+D=0,则满足下列条件的平面有何特点,且作图形 (1)D=0,(2)A=D=0,(3)A=B=0,(4)A=B=D=0 答:(1)平面Ax+B+Cz=0过原点 (2)平面B+Cz=0过x轴, (3)平面C+D=0平行于xOy坐标面
2 π ( , ) ^ a b = ， 即 a 与 b 垂直. 第三节 平面与直线 思考题: 1. 写出下列平面方程： （1） xOy 平面， （2）过 z 轴的平面, （3）平行与 zox 的平面, （4）与 x ， y ， z 轴正向截距相等的平面. 解：（1） z = 0, （2） ax + by = 0 （ a,b 为常数）, （3） y = c ( c 为常数), （4） x + y + z = a (a 0) . 2. 用一般式 + + + = + + + = 0 0, 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 表示空间直线的表达式是否惟一，直线 − = + = 2 3 0, x y x y 与 + = − = 2 3 0 0, x y x y 有何关系？ 答：用一般式方程表示空间直线的表达式不唯一，因为过两平面相交直线的任意两个不 同的平面的联立方程组均可表示这条直线. 直线 − = + = 2 3 0 x y x y 与 + = − = 2 3 0 0 x y x y 平行. 3. 在什么条件下，可以确定一个平面的方程？ 答：只要给出的条件能确定平面内的一点和垂直于平面的一个非零向量，即可确定一个 平面的方程. 4. 在什么条件下，可以确定一条直线的方程？ 答：只要给出的条件能确定直线上的一点和平行于直线的一个非零向量，即可确定一条 直线的方程. 5. 由直线的一般式方程化为直线的点向式方程的关键点及主要步骤是什么？ 答：关键点是确定直线的方向向量.主要步骤是：①定点，由一般式方程任取直线上一 点；②定向，由两平面的法向量的叉积求得直线的方向向量，最后写出点向式方程. 6. 若平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0 ，则满足下列条件的平面有何特点，且作图形： （1） D = 0 , (2) A = D = 0 , (3) A = B = 0 , (4) A = B = D = 0. 答：（1）平面 Ax + By + Cz = 0 过原点, （2）平面 By + Cz = 0 过 x 轴, （3）平面 Cz + D = 0 平行于 xOy 坐标面
(4)平面二=0即为xOy坐标面 以上各题图形如下: (2) 7.在直线方程 x-x0y-y02-20中有的分母为零时应如何理解? P 答:分母为零时,应理解为分子也为零 习作题 写出过点M02,3)且以n=22为法向量的平面方程 解:平面的点法式方程为2(x-1)+2(-2)+(z-3)=0 2.求过三点4(100)B(010)C(001)的平面方程 解:设所求平面方程为ax+by+c+d=0, 将A,B,C的坐标代入方程,可得a=b=c=-d,故所求平面方程为x+y+z 3.求过点0.0,1)且与平面3x+4y+2z=1平行的平面方程
（4）平面 z = 0 即为 xOy 坐标面. 以上各题图形如下： 7. 在直线方程 p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 中有的分母为零时应如何理解？ 答：分母为零时，应理解为分子也为零. 习作题 ： 1. 写出过点 (1,2,3) M0 且以 n = 2,2,1 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为 2(x −1)+ 2(y − 2)+ (z − 3) = 0. 2. 求过三点 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,01) 的平面方程. 解：设所求平面方程为 ax + by + cz + d = 0 , 将 A, B, C 的坐标代入方程，可得 a = b = c = −d ，故所求平面方程为 x + y + z = 1. 3. 求过点 (0,0,1) 且与平面 3x + 4y + 2z = 1 平行的平面方程. x y z O (1) x y z O (2) x y z O (3) x y z O (4)