第十章多元函数微分学 第一节多元函数的极限及连续性 思考题 1.将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比较,说明二者之间的区别 答:二元函数与一元函数的极限都是表示某动点P以任意方式无限靠近定点Q时,与 之相关的一变量无限接近于一个确定的常数,不同的是后者对应P,O点是数轴上的点 前者对应的P,Q是平面上的点 一元函数y=f(x)在x处连续是表示x无限靠近x时,f(x)无限靠近f(x),二元 函数z=f(x,y)在(x,y处连续是表示(x,y)以任意方式无限靠近(x,y)时,f(x,y) 无限靠近∫(x0,y) 2.若二元函数z=f(x,y)在区域D内分别对x,y都连续,试问z=f(x,y)在区域D 上是否必定连续? 答:不一定,因为mf(x,y)=f(xn,y)中(x,y)→(xn,y0)是表示(x,y)以 任意方式趋于(x,y0)而mf(x,y)=f(x0,y)和,lmn、f(xy)=f(xa,y) (x,y)(x0,y) 中(x,y)→(xa,y),(xny)→(x02y),只代表(x,y)→(xny)的方式中的一部分 而不是全部部分成立,全部不一定成立 3.比照二元函数的定义,写出三元函数的定义 答:设有四个变量x1,x2,x3和y,若当x1,x2,x3在其变化范围D内任意取定一组值时, 变量ν按照一定的对应规律有惟一确定的值与它们对应,则称y是变量x1,x2,x3的三元函 数,记为y=f(x1,x2,x3) 4.比照一元基本初等函数的定义,试述二元基本初等函数的定义 答:一元基本初等函数包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数六类.二元基本初等函数也包括以上六类,但其具体形式比一元基本初等函数更广泛, 如f(x,y)=x“和f(x,y)=y“均是二元基本初等函数中的幂函数
第十章 多元函数微分学 第一节 多元函数的极限及连续性 思考题: 1. 将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比较，说明二者之间的区别. 答：二元函数与一元函数的极限都是表示某动点 P 以任意方式无限靠近定点 Q 时，与 之相关的一变量无限接近于一个确定的常数，不同的是后者对应 P ，Q 点是数轴上的点， 前者对应的 P ，Q 是平面上的点. 一元函数 y = f (x) 在 0 x 处连续是表示 x 无限靠近 0 x 时， f (x) 无限靠近 ( ) 0 f x ，二元 函数 z = f (x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处连续是表示（ x ，y ）以任意方式无限靠近 ( ) 0 0 x , y 时， f (x, y) 无限靠近 ( ) 0 0 f x , y . 2. 若二元函数 z = f (x, y) 在区域 D 内分别对 x ，y 都连续，试问 z = f (x, y) 在区域 D 上是否必定连续？ 答：不一定，因为 ( ) 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) , 0 0 f x y f x y x y x y = → 中 ( ) ( ) 0 0 x, y → x , y 是表示 (x, y) 以 任意方式趋于 ( , ) 0 0 x y 而 ( ) 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) , 0 0 0 f x y f x y x y x y = → 和 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , lim , , 0 0 0 f x y f x y x y x y = → 中 ( ) ( ) 0 0 0 x, y → x , y ， ( ) ( ) 0 0 0 x , y → x , y ，只代表 ( ) ( ) 0 0 x, y → x , y 的方式中的一部分， 而不是全部.部分成立，全部不一定成立. 3. 比照二元函数的定义，写出三元函数的定义. 答：设有四个变量 1 2 3 x , x , x 和 y ,若当 1 2 3 x , x , x 在其变化范围 D 内任意取定一组值时， 变量 y 按照一定的对应规律有惟一确定的值与它们对应，则称 y 是变量 1 2 3 x , x , x 的三元函 数，记为 ( ) 1 2 3 y = f x , x , x . 4． 比照一元基本初等函数的定义，试述二元基本初等函数的定义. 答：一元基本初等函数包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数六类. 二元基本初等函数也包括以上六类, 但其具体形式比一元基本初等函数更广泛, 如 a f (x, y) = x 和 a f (x, y) = y 均是二元基本初等函数中的幂函数
5.表达式lmf(x,y)= limlim f(x,y)成立吗? y→y 答:不一定.例如 不存在,而 lim lim 习作题: 1.设∫(x,y)=x2+xy+y2,求f(12) 解:f(12)=12+1×2+22=7 2.已知f(x,y)=3x+2y,求xy,f(x,y) 解:xy,f(x,y)=3xy)+2f(x,y)=3(xy)+2(3x+2y)=3xy+6x+4y 3.求lm 解:Imx=lm当.y=lms 4.求函数=√4-x2-y2h(x2+y2-1)的定义域,并画出定义域的图形 解:由 y≥0 得1<x2+y2≤4,故定义域为D={xy)1<x2+y2≤4 如下图:
5. 表达式 ( ) ( ) = → → → → f x y f x y x x y y y y x x lim , lim lim , 0 0 0 0 成立吗？ 答：不一定. 例如： 2 2 0 0 lim x y xy y x + → → 不存在，而 lim lim 0 2 2 0 0 = → → x + y xy x y . 习作题： 1. 设 ( ) 2 2 f x, y = x + xy + y ，求 f (1,2). 解： f (1,2) =1 1 2 2 7 2 2 + + = . 2. 已知 f (x, y) = 3x + 2y ，求 f [xy, f (x, y)]. 解： f [xy, f (x, y)]= 3(xy) + 2 f (x, y)= 3(xy) + 2(3x + 2y) = 3xy + 6x + 4y . 3. 求 x xy y x sin lim 2 0 → → . 解： x xy y x sin lim 2 0 → → = y xy xy y x → → sin lim 2 0 = lim 2 sin lim 0 2 = → → y u u u y . 4. 求函数 4 ln( 1) 2 2 2 2 z = − x − y x + y − 的定义域, 并画出定义域的图形. 解：由 + − − − 1 0, 4 0, 2 2 2 2 x y x y 得 1 4 2 2 x + y ，故定义域为 ( , ) |1 4 2 2 D = x y x + y . 如下图： x y O 1 2
第二节偏导数 思考题 1.与一元函数比较,说明二元函数连续、偏导之间的关系 答:一元函数在可导点处必连续,但二元函数在偏导数存在处不一定连续.因为 fx(x0,y0)只反应∫(x,yo)在(x0,yV)处连续,f,(x0,y)只反应∫(x,y)在 (x0,y0)处连续,即曲面z=f(x,y)关于平面x=x0和y=yo的截线在(x0,y0)处连续不 能代表曲面z=f(x,y)在(x0,y0)处连续反之,二元函数在连续点处也不一定存在偏导数 2.若z=x2+y2,试求 且说明其几何意义 解:因为=2x,故 上式在几何上表示曲线{=x+y在(1,1,1)处沿x轴方向的切线斜率为2 3.举例说明一元函数的复合函数求导法则在求二元函数的偏导数时仍然有效 解:例如二=ex可看成是由z=e,u= arctan v,v=复合而成,按一元函数复合 函数求导法则有: =(e")(arctan v)-() 2(-2)=e y 把y看作常数,直接求导数得 az ax e I(arctan -) 二者是一样的
第二节 偏导数 思考题: 1. 与一元函数比较，说明二元函数连续、偏导之间的关系. 答：一元函数在可导点处必连续, 但二元函数在偏导数存在处不一定连续. 因为 ' ( , ) 0 0 f x y x 只反应 ( , ) x y0 f 在 ( , ) 0 0 x y 处连续， ' ( , ) 0 0 f x y y 只反应 ( , ) 0 f x y 在 ( , ) 0 0 x y 处连续，即曲面 z = f (x, y) 关于平面 0 x = x 和 0 y = y 的截线在 ( , ) 0 0 x y 处连续不 能代表曲面 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处连续.反之，二元函数在连续点处也不一定存在偏导数. 2. 若 2 2 z = x + y ，试求 1 1 = = y x x z 且说明其几何意义. 解：因为 x x z = 2 , 故 1 1 = = y x x z =2. 上式在几何上表示曲线 = = + 1 , 2 2 y z x y 在（1，1，1）处沿 x 轴方向的切线斜率为 2. 3. 举例说明一元函数的复合函数求导法则在求二元函数的偏导数时仍然有效. 解：例如 x y z arctan = e 可看成是由 x y z u v v u = e , = arctan , = 复合而成，按一元函数复合 函数求导法则有： 2 2 arctan 2 2 ( ) e 1 1 (e )' (arctan )' ( )' e x y y x y x v y v x z x y u x u + − − = + = = 把 y 看作常数，直接求导数得： x x y x y x z e (arctan )' arctan = ( )' 1 ( ) 1 e 2 arctan x y x y x y + = e ( ) 2 2 2 2 arctan x y x y x x y − + = 2 2 arctan e x y y x y + − = 二者是一样的
习作题: 3y,求f2(10) 解:fx(x,y)=2,故f2(10) 2.f(x,y)=x3y3,求f(0),f,(11 解:f(x,y)=3xy f(x, y)=8x'y 故f(10)=3×12×03=0,f,(1)=8×12×1=8 求 解:因= e sin xy+e2 cos x)·y=e( sin xy+ cos x)) ay (sn0+cos0)=1, =e(cos0×1) oy az 解: 解 az a-- az
习作题: 1. f (x, y) = 2x + 3y, 求 (1,0) x f . 解： f x (x, y) = 2 , 故 (1,0) x f =2. 2. 3 8 f (x, y) = x y ，求 (1,0) x f ， (1,1) y f . 解： 2 8 f (x, y) 3x y x = , 3 7 f (x, y) 8x y y = , 故 (1,0) 3 1 0 0 2 8 f x = = , (1,1) 8 1 1 8 2 7 f y = = . 3. u xy x = e sin , 求 (1,0) (0,1) , y u x u . 解：因 e sin x y e cos x y y e (sin x y y cos x y) x u x x x = + = + , xy x y u x = e cos , e (sin 0 cos0) 1 0 (0,1) = + = x u , e(cos 0 1) e (1,0) = = y u . 4. y z = x ，求 x z ， y z . 解： x z = y−1 yx , y z = x x y ln . 5. z = ln xy ，求 x z ， y z . 解： x z = x y xy xy xy x 1 1 ( )' 1 = = , y z = y x xy xy xy y 1 1 ( )' 1 = = . 6. y z x e 8 = ，求 x z ， 2 2 x z ， y z
解 e)=56x'e 7 : sin( 2x+3y),R=,,:v,5,:u,2 解:=x=C0S(2x+3y)(2x+3y)2=2cos(2x+3y) 2y=CoS(2x+3y)(2x+3y),=3c0(2x+3y) 2cs(2x+3y)]=-4sm(2x+3y) ,=3cos2x+3y],=-9sm(2x+3y [2cos2x+3y)],=-6sm(2x+3y) 2=(1+x 解:取对数得hz=xyhn(1+x), 两边对x求导,得1. yIn(1+x)+xy (1 +x az x(1+x)h(1+x) 若∫(x,y)=x+(y-1)h 求∫2(x) 解:fx(x,1)=[f(x) 解: c=(e"),cos xy +e"(cos xy),=xe"(cos xy-sin xy)
解： x z =8 y x e 7 , 2 2 x z = y x y (8x e )' 56x e 7 6 = , y z = y x e 8 . 7. z = sin( 2x + 3y) ，求 x z ， y z ， xx z ， yy z ， xy z . 解： x z = cos(2x 3y) (2x 3y)' 2cos(2x 3y) + + x = + , y z = cos(2x 3y) (2x 3y)' 3cos(2x 3y) + + y = + , xx z = 2cos(2x 3y) x = −4sin( 2x + 3y) + , yy z = 3cos(2x 3y) 9sin( 2x 3y) y = − + + , xy z = 2cos(2x 3y) y = −6sin( 2x + 3y) + . 8. 若 xy z = (1+ x) ，求 x z ， y z . 解：取对数得 ln z = xyln(1+ x), 两边对 x 求导，得 x y x xy x z z + = + + 1 1 ln(1 ) 1 , + = + + + x x y x y x x z xy 1 (1 ) ln(1 ) , (1 x) (x y)' ln(1 x) x(1 x) ln(1 x) y z xy y xy = + + = + + . 9. 若 y x f (x, y) = x + ( y −1)ln sin ，求 f (x,1) x . 解： f (x,1) x = x [ f (x,1)] = x (x) =1. 10. z e xy xy = cos ，求 y z x z , . 解: ( ) x y ( x y) y ( x y x y) x z xy x xy x xy e cos e cos = e cos − sin + = , ( ) x y ( x y) x ( x y x y) y z xy y xy y xy e cos e cos = e cos − sin + =