模型4传染病有免疫性—病人治愈 SIR模型 后即移出感染系统,称移出者 假设1)总人数N不变,病人、健康人和移 出者的比例分别为i(t),S(t),r(t) 2)病人的日接触率,日治愈率 接触数σ=/ 建模S(t)+i(t)+r(t)=1 需建立i(t),S(t),r(t)的两个方程
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者 模型4 SIR模型 假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t ) 2）病人的日接触率λ , 日治愈率µ, 接触数 σ = λ / µ 建模 s(t) + i(t) + r(t) = 1 需建立 i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
模型4 SIR模型 N[(t△)-()]=Ns(t)()△t-Ni(1)△t N[Ss(t+△)-s()=-Ns(t)i(t)△t di at ds 无法求出(),s(t) =- 的解析解 (0)=io,S(0)= 在相平面s~i上 i+s≈1(通常(0)=很小研究解的性质
模型 4 SIR模型 N [ i ( t + ∆ t ) − i ( t)] = λNs ( t ) i ( t ) ∆ t − µNi ( t ) ∆ t i 0 + s 0 ≈ 1 (通常 r ( 0 ) = r0很小） 无法求出 的解析解 i ( t), s ( t ) 在相平面 上 研究解的性质 s ~ i N [ s ( t + ∆ t ) − s ( t)] = − λNs ( t ) i ( t ) ∆ t ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = − = − 0 0 i ( 0 ) i , s ( 0 ) s si dt ds si i dt di λ λ µ
模型4 SIR模型 消去dt di G UNIN di =hsi-ui =1/ ds O S NSl S=S 0 (0)=io,S(0)=S 相轨线L s+I 0 S 相轨线i(s)的定义域 0 D={(s)s≥0,i≥0,s+isl} 在D内作相轨线i(S) D 的图形,进行分析
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = 0 0 1 1 i i ds s di s s σ 0 0 0 ln 1 ( ) ( ) s s i s s i s σ = + − + 模型 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = − = − 0 0 i ( 0 ) i , s ( 0 ) s si dt ds si i dt di λ λ µ σ = λ/ µ 消去dt SIR模型 D = {( s, i ) s ≥ 0, i ≥ 0, s + i ≤ 1 } 相轨线 i ( s ) 的定义域 相轨线 1 1 s i 0 D 在 D内作相轨线 的图形，进行分析 i ( s )
模型4相轨线(S)及其分析 SIR模型 =nsi-uu OS (s)=(S0+)-s+ D S s()单调减→相轨线的方向 S=1/a,i=int→>∞,i→0 S满足S+。-S+-1n=005s1/050 I S 0 P:s>1/→i(先升后降至0口传染病蔓延 P2:s<1/→i(单调降至0传染病不蔓延阙值
s i 1 0 1 D 模型 4 相轨线 i ( s ) 及其分析 SIR模型 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = − = − 0 0 i ( 0 ) i , s ( 0 ) s si dt ds si i dt di λ λ µ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = 0 0 1 1 i i ds s di s s σ 0 0 0 ln 1 ( ) ( ) s s i s s i s σ = + − + ln 0 1 0 0 + 0 − + = ∞ ∞ ∞ s s s s i s σ 满足 m s = 1 / σ , i = i 传染病蔓延 传染病不蔓延 s ( t)单调减 →相轨线的方向 t → ∞, i → 0 P1 ∗ s 1 / σ 0 im ∞ s P 1: s 0>1/ → i ( t)先升后降至 0 P2: s 0<1/ → i ( t)单调降至 0 1/ ~ 阈值 P3 P4 P2 S0
模型4预防传来病菱琏的手段、R模型 传染病不蔓延的条件 <1 ·提高阙值a降低A λ(日接触率八→卫生水平个 (日治愈率)个→医疗水平个 降低S0 提高7口群体免疫 S +i t a的估计 +;-+mnS=0忽略i。σ= Ins.-Ins 0
模型4 预防传染病蔓延的手段 SIR模型 传染病不蔓延的条件——s0<1/σ • 提高阈值 1/σ 降低 σ(=λ/µ) λ ↓, µ ↑ λ (日接触率)↓ ⇒ 卫生水平↑ µ(日治愈率)↑ ⇒ 医疗水平↑ 群体免疫 σ 的估计 ln 0 1 0 0 + 0 − + = ∞ ∞ s s s i s σ 0 忽略 i • 降低 s0 提高 r0 1 s0 +i0 +r0 = ∞ ∞ − − = s s s s 0 0 ln ln σ