高等代数是数学与应用数学专业的一门专业基础课。是学习数学和其他学科的 重要基础，并且在科学研究各个领域和各行各业中有广泛的应用。通过本课程的学 习，使学生初步掌握数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩 课程 阵理论、二次型、线性空间、线性变换、入-矩阵、欧氏空间等方面的系统知识。为 简介 后续课程（如近世代数、计算方法、泛函分析等）提供所需的基础理论知识。《高 等代数》是中学代数的继续与提高。通过本课程的学习，应培养学生逻辑推理能 力、抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力。从而进一步提升学生的数学素 养。 学习目标1：了解本课程的地位与作用。系统掌握本课程的基本概念、基本理论、基 本方法和简单应用。 课程学习 学习目标2：获得较熟练的演算技巧、严密的逻辑推理方法，提高学生分析问题、解 目标 决问题的能力。 学习目标3：为进一步学习《近世代数》、《泛函分析》等后续课程，打下坚实的基 础。 二、课程学习目标与毕业要求指标点的对应关系 专业毕业要求 专业毕业要求指标点 对应的课程学习目标 了解人类文明进步与文化发展的通识知识：系统了解近现 2.3知识整合 代数学的各个分支、发展概况及其在社会发展中的重要作 课程学习目标1、2 用：系统掌握数学、教育学的基本理论和基本方法并具有 定的综合应用及实践能力。 掌握分析、代数、几何、概率统计、数值计算、 2.4教学能力 数学教育等数学与应用数学的核心理论与素养，并获 课程学习目标1、2、3 得较强的逻辑推理能力、抽象思维能力和课程与教材 的研究能力： 具有熟练运用现代数学教育技术进行教研的能力。 三、课程各要素与课程学习目标的对应关系及达成度分析 (一)课程教学内容、教学目标、学时分配与课程学习目标的对应关系 第一章：多项式（可支撑课程学习目标1、2、3) 1.教学目的和要求 理解数域、多项式、整除、最大公因式、不可约多项式，本原多项式等基本概念。掌握带 余除法、因式分解定理、复系数与实系数的因式分解定理及有理系数多项式的有关结论。 30
30 课 程 简 介 高等代数是数学与应用数学专业的一门专业基础课。是学习数学和其他学科的 重要基础, 并且在科学研究各个领域和各行各业中有广泛的应用。通过本课程的学 习，使学生初步掌握数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩 阵理论、二次型、线性空间、线性变换、 -矩阵、欧氏空间等方面的系统知识。为 后续课程（如近世代数、计算方法、泛函分析等）提供所需的基础理论知识。 《高 等代数》是中学代数的继续与提高。通过本课程的学习，应培养学生逻辑推理能 力、抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力。从而进一步提升学生的数学素 养。 课程学习 目标 学习目标 1：了解本课程的地位与作用。系统掌握本课程的基本概念、基本理论、基 本方法和简单应用。 学习目标 2：获得较熟练的演算技巧、严密的逻辑推理方法，提高学生分析问题、解 决问题的能力。 学习目标 3：为进一步学习《近世代数》、《泛函分析》等后续课程，打下坚实的基 础。 二、课程学习目标与毕业要求指标点的对应关系 专业毕业要求 专业毕业要求指标点 对应的课程学习目标 2.3 知识整合 了解人类文明进步与文化发展的通识知识；系统了解近现 代数学的各个分支、发展概况及其在社会发展中的重要作 用；系统掌握数学、教育学的基本理论和基本方法并具有 一定的综合应用及实践能力。 课程学习目标 1、2 2.4 教学能力 掌握分析、 代数、 几何、 概率统计、 数值计算、 数学教育等数学与应用数学的核心理论与素养， 并获 得较强的逻辑推理能力、 抽象思维能力和课程与教材 的研究能力； 具有熟练运用现代数学教育技术进行教研的能力。 课程学习目标 1、2、3 三、课程各要素与课程学习目标的对应关系及达成度分析 （一）课程教学内容、教学目标、学时分配与课程学习目标的对应关系 第一章：多项式（可支撑课程学习目标 1、2、3） 1 . 教学目的和要求 理解数域、多项式、整除、最大公因式、不可约多项式，本原多项式等基本概念。掌握带 余除法、因式分解定理、复系数与实系数的因式分解定理及有理系数多项式的有关结论
2.教学内容 第1.1节：数域 第1.2节：一元多项式 第1.3节：整除的概念 第1.4节：最大公因式 第1.5节：因式分解定理 第1.6节：重因式 第1.7节：多项式函数 第1.8节：复系数与实系数多项式的因式分解 第1.9节：有理系数多项式 3.重点：整除理论；因式分解理论；根的理论。 4.难点：最大公因式的求法：整除、互素和不可约多项式等定义之间的联系与区别。 5.课后习题：习题第1题第28题；补充题第4题。 6.学时：24学时 第二章行列式（可支撑课程学习目标1、2、3) 1.教学目的和要求 了解n阶行列式的概念：熟练掌握n阶行列式的性质及计算方法：并会运用Cramer法则求 线性方程组的解。 2.教学内容 第2.1节：引言 第2.2节：排列 第2.3节：n级行列式 第2.4节：n级行列式的性质 第2.5节：行列式的计算 第2.6节：行列式按一行（列）展开 第2.7节：Cramer法则 *第2.8节：Laplace定理·行列式的乘法规则 3.教学重点：利用行列式性质和按行（列）展开定理计算行列式；Cramer法则。 4.教学难点：掌握行列式的计算方法和技巧。 5.课后习题：习题第1题-第21题；补充题第4题。 6.学时：14学时 31
2 . 教学内容 第 1.1 节：数域 第 1.2 节：一元多项式 第 1.3 节：整除的概念 第 1.4 节：最大公因式 第 1.5 节：因式分解定理 第 1.6 节：重因式 第 1.7 节：多项式函数 第 1.8 节：复系数与实系数多项式的因式分解 第 1.9 节：有理系数多项式 3 . 重点：整除理论；因式分解理论；根的理论。 4 . 难点：最大公因式的求法；整除、互素和不可约多项式等定义之间的联系与区别。 5 . 课后习题：习题 第 1 题----第 28 题; 补充题 第 4 题。 6 . 学时：24 学时 第二章 行列式（可支撑课程学习目标 1、2、3） 1 . 教学目的和要求 了解 n 阶行列式的概念；熟练掌握 n 阶行列式的性质及计算方法；并会运用 Cramer 法则求 线性方程组的解。 2 . 教学内容 第 2.1 节：引言 第 2.2 节：排列 第 2.3 节：n 级行列式 第 2.4 节：n 级行列式的性质 第 2.5 节：行列式的计算 第 2.6 节：行列式按一行（列）展开 第 2.7 节: Cramer 法则 *第 2.8 节: Laplace 定理·行列式的乘法规则 3 . 教学重点：利用行列式性质和按行（列）展开定理计算行列式; Cramer 法则。 4 . 教学难点：掌握行列式的计算方法和技巧。 5 . 课后习题：习题 第 1 题----第 21 题; 补充题 第 4 题。 6 . 学时：14 学时 31
第三章线性方程组（可支撑课程学习目标1、2、3） 1.教学目的和要求 掌握向量组的线性相关理论、矩阵秩的概念和性质：掌握线性方程组的判定定理，基础解 系及解的表达。 2.教学内容 第3.1节：消元法 第3.2节：n维向量空间 第3.3节：线性相关性 第3.4节：矩阵的秩 第3.5节：线性方程组有解判别定理 第3.6节：线性方程组解的结构 3.教学重点：向量组的线性相关性：线性方程组的基础解系及解的表达。 4.教学难点：向量组的线性相关性：线性方程组解的结构。 5.课后习题：习题第1题-第26题。 6.学时：22学时 第四章矩阵（可支排课程学习目标1、2、3） 1.教学目的和要求 了解矩阵概念产生的背景：熟练掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用：掌握矩阵秩的等 式和不等式的证明。 2.教学内容 第4.1节：矩阵概念的一些背景 第4.2节：矩阵的运算 第4.3节：矩阵乘积的行列式与秩 第4.4节：矩阵的逆 第4.5节：矩阵的分块 第4.6节：初等矩阵 第4.7节：分块矩阵的初等变换及应用举例 3.教学重点：矩阵的运算及它们的运算规律：矩阵的秩及逆矩阵的求法：分块矩阵：矩阵的初 等变换。 4.教学难点：可逆矩阵：初等矩阵的应用：矩阵秩的等式和不等式的证明。 5.课后习题：习题第1题第30题：补充题第1题-第5题 32
第三章 线性方程组（可支撑课程学习目标 1、2、3） 1 . 教学目的和要求 掌握向量组的线性相关理论、矩阵秩的概念和性质；掌握线性方程组的判定定理，基础解 系及解的表达。 2 . 教学内容 第 3.1 节：消元法 第 3.2 节：n 维向量空间 第 3.3 节：线性相关性 第 3.4 节：矩阵的秩 第 3.5 节：线性方程组有解判别定理 第 3.6 节：线性方程组解的结构 3 . 教学重点：向量组的线性相关性；线性方程组的基础解系及解的表达。 4 . 教学难点：向量组的线性相关性；线性方程组解的结构。 5 . 课后习题：习题 第 1 题----第 26 题。 6 . 学时：22 学时 第四章 矩阵（可支撑课程学习目标 1、2、3） 1 . 教学目的和要求 了解矩阵概念产生的背景；熟练掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用；掌握矩阵秩的等 式和不等式的证明。 2 .教学内容 第 4.1 节：矩阵概念的一些背景 第 4.2 节：矩阵的运算 第 4.3 节：矩阵乘积的行列式与秩 第 4.4 节：矩阵的逆 第 4.5 节：矩阵的分块 第 4.6 节：初等矩阵 第 4.7 节：分块矩阵的初等变换及应用举例 3 . 教学重点：矩阵的运算及它们的运算规律；矩阵的秩及逆矩阵的求法；分块矩阵；矩阵的初 等变换。 4 . 教学难点：可逆矩阵；初等矩阵的应用；矩阵秩的等式和不等式的证明。 5 . 课后习题：习题 第 1 题----第 30 题； 补充题 第 1 题----第 5 题。 32
6.学时：20学时 第五章二次型（可支撑课程学习目标1、2、3） 1.教学目的和要求 掌握二次型的矩阵表示：掌握化二次型为标准形的方法：掌握正定二次型和正定矩阵的判 别方法。 2.教学内容 第5.1节：二次型及其矩阵表示 第5.2节：标准形 第5.3节：唯一性 第5.4节：正定二次型 3.教学重点：化二次型为标准形：正定二次型和正定矩阵的判别。 4.难点：化二次型为标准形：正定矩阵的判别。 5.课后习题：习题第1题-第17题。 6.学时：14学时 第六章线性空间（可支撑课程学习目标1、2、3） 1.教学目的和要求 以向量空间为几何模型帮助学生理解有关概念，搞清线性空间的定义以及判别条件：会进 行一些基本计算，比如：线性空间、线性子空间的维数与基：基变换与坐标变换等；会判定子空 间的直和、线性空间的同构等。 2.教学内容 第6.1节：集合·映射 第62节：线性空间的定义与简单性质 第63节：维数·基与坐标 第6.4节：基变换与坐标变换 第6.5节：线性子空间 第6.6节：子空间的交与和 第6.7节：子空间的直和 第6.8节：线性空间的同构 3.教学重点：线性空间的基与维数：子空间的交与和：子空间的直和：线性空间的同构：。 4.难点：子空间的和与直和的判定：线性空间的同构。 5.课后习题：习题第1题--第23题：补充题第2题，第4题，第5题。 33
6 . 学时：20 学时 第五章 二次型（可支撑课程学习目标 1、2、3） 1 . 教学目的和要求 掌握二次型的矩阵表示；掌握化二次型为标准形的方法；掌握正定二次型和正定矩阵的判 别方法。 2 .教学内容 第 5.1 节：二次型及其矩阵表示 第 5.2 节：标准形 第 5.3 节：唯一性 第 5.4 节：正定二次型 3 . 教学重点：化二次型为标准形；正定二次型和正定矩阵的判别。 4 . 难点：化二次型为标准形；正定矩阵的判别。 5 .课后习题：习题 第 1 题—第 17 题。 6 .学时：14 学时 第六章 线性空间（可支撑课程学习目标 1、2、3） 1 . 教学目的和要求 以向量空间为几何模型帮助学生理解有关概念， 搞清线性空间的定义以及判别条件；会进 行一些基本计算，比如：线性空间、线性子空间的维数与基；基变换与坐标变换等; 会判定子空 间的直和、线性空间的同构等。 2 .教学内容 第 6.1 节：集合·映射 第 6.2 节：线性空间的定义与简单性质 第 6.3 节：维数·基与坐标 第 6.4 节：基变换与坐标变换 第 6.5 节：线性子空间 第 6.6 节：子空间的交与和 第 6.7 节：子空间的直和 第 6.8 节：线性空间的同构 3 . 教学重点：线性空间的基与维数；子空间的交与和；子空间的直和；线性空间的同构；。 4 . 难点：子空间的和与直和的判定；线性空间的同构。 5 .课后习题：习题 第 1 题----第 23 题； 补充题 第 2 题，第 4 题，第 5 题。 33
6.学时：26学时 第七章线性变换（可支撑课程学习目标1、2、3） 1.教学目的和要求 理解线性变换的定义及运算：掌握线性变换在某组基下的矩阵的求解方法、特征值和特征 向量的计算方法：掌握相似矩阵的概念及判别方法：掌握求解值域和核的方法：了解若尔当标 准形以及最小多项式的求解。 2.教学内容 第71节：线性变换的定义 第7.2节：线性变换的运算 第7.3节：线性变换的矩阵 第7.4节：特征值与特征向量 第7.5节：对角矩阵 第7.6节：线性变换的值域与核 第7.7节：不变子空间 第7.8节：Jordan标准形介绍 *第7.9节：最小多项式 3.教学重点：线性变换的特征值和特征向量求法：线性变换值域与核的计算：不变子空间的判 定与证明。 4.教学难点：不变子空间的判定与证明：线性变换值域与核的计算。 5.课后习题：习题第1题一第27题：补充题第4题。 6.学时：26学时 *第八章入-矩阵（可支撑课程学习目标1、2、3) 1.教学目的和要求 了解入矩阵的相关概念：掌握不变因子、行列式因子、初等因子的计算方法并会利用其 计算Jordan标准形：了解矩阵的有理标准形。 2.教学内容 第81节：入-矩阵 第8.2节：入-矩阵在初等变换下的标准形 第8.3节：不变因子 第8.4节：矩阵相似的条件 第8.5节：初等因子 34
6 .学时：26 学时 第七章 线性变换（可支撑课程学习目标 1、2、3） 1 . 教学目的和要求 理解线性变换的定义及运算；掌握线性变换在某组基下的矩阵的求解方法、特征值和特征 向量的计算方法；掌握相似矩阵的概念及判别方法；掌握求解值域和核的方法；了解若尔当标 准形以及最小多项式的求解。 2 .教学内容 第 7.1 节：线性变换的定义 第 7.2 节：线性变换的运算 第 7.3 节：线性变换的矩阵 第 7.4 节：特征值与特征向量 第 7.5 节：对角矩阵 第 7.6 节：线性变换的值域与核 第 7.7 节：不变子空间 第 7.8 节：Jordan 标准形介绍 *第 7.9 节：最小多项式 3 . 教学重点：线性变换的特征值和特征向量求法；线性变换值域与核的计算；不变子空间的判 定与证明。 4 . 教学难点：不变子空间的判定与证明；线性变换值域与核的计算。 5 . 课后习题： 习题 第 1 题----第 27 题；补充题 第 4 题。 6 . 学时：26 学时 *第八章 -矩阵（可支撑课程学习目标 1、2、3） 1 . 教学目的和要求 了解 -矩阵的相关概念； 掌握不变因子、行列式因子、初等因子的计算方法并会利用其 计算 Jordan 标准形；了解矩阵的有理标准形。 2 .教学内容 第 8.1 节： -矩阵 第 8.2 节： -矩阵在初等变换下的标准形 第 8.3 节：不变因子 第 8.4 节：矩阵相似的条件 第 8.5 节：初等因子 34