《数学分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程 课程 5101011 数学分析 编号 名称 学分/学时 18学分/288学时 开课时间 第1、2、3学期 课程性质 专业基础课 先修课程 本课程不需要先修课程，以高中数学为基础 课程基 考核方式 考试（平时30%、期末考试70%） 本情况 课程负责人 教材：《数学分析》（第四版），华东师范大学数学系主编，高等 教育出版社，2010年。 参考书目： 教材及 ①《数学分析讲义》（第六版），刘玉琏，傅沛仁，刘伟，林玎 参考书 编，高等教育出版社，2019： ②《数学分析中的典型问题与方法》（第二版），裴礼文著，高等教 育出版社，2006年： 《数学分析》是数学与应用数学及相近专业的一门重要的专业基础课，是连接初等 数学与高等数学的桥梁，是数学类硕士研究生考试的必考基础课之一。它既为本专 业后续的分析课程及有关选修课提供所需的数学基础，同时还为培养学生的独立分 课程 析与独立工作能力提供必要的训练。学好《数学分析》，对以后的学习、研究和工 简介 作都具有关键作用。本课程内容包括极限论、一元函数微积分学、级数理论以及多 元函数微积分学等方面的系统知识，用极限的思想与方法研究函数的连续性、可微 性与可积性等分析特性。 学习目标1：了解数学分析的发展概况以及在社会发展中的重要作用：理解和掌握极 限的思想与方法，掌握常量与变量、直与曲、有限与无限、特殊与一般、具体与抽 课程学习 象等辩证关系，树立辩证唯物主义观点。 目标 学习目标2：正确理解数学分析基本概念、基本理论，基本掌握数学分析的论证方 法：具备严格的逻辑思维能力与推理论证能力，掌握熟练的运算能力与技巧。 学习目标3：会利用微积分工具进行数学建模、解决某些实际问题。 学习目标4：为进一步学习《复变函数》、《常微分方程》、《概率论与数理统 计》、《实变函数》、《泛函分析》、《拓扑学》等后续课程打下坚实基础。 10
《数学分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程 编号 5101011 课程 名称 数学分析 课 程 基 本 情 况 学分/学时 18 学分/288 学时 开课时间 第 1、2、3 学期 课程性质 专业基础课 先修课程 本课程不需要先修课程，以高中数学为基础 考核方式 考 试（平时 30%、期末考试 70%） 课程负责人 教材及 参考书 教材：《数学分析》（第四版），华东师范大学数学系主编，高等 教育出版社，2010 年。 参考书目： 1 《数学分析讲义》（第六版），刘玉琏，傅沛仁，刘伟，林玎 编，高等教育出版社，2019； 2 《数学分析中的典型问题与方法》(第二版)，裴礼文著，高等教 育出版社，2006 年； 课 程 简 介 《数学分析》是数学与应用数学及相近专业的一门重要的专业基础课，是连接初等 数学与高等数学的桥梁，是数学类硕士研究生考试的必考基础课之一。它既为本专 业后续的分析课程及有关选修课提供所需的数学基础，同时还为培养学生的独立分 析与独立工作能力提供必要的训练。学好《数学分析》，对以后的学习、研究和工 作都具有关键作用。本课程内容包括极限论、一元函数微积分学、级数理论以及多 元函数微积分学等方面的系统知识，用极限的思想与方法研究函数的连续性、可微 性与可积性等分析特性。 课程学习 目标 学习目标 1：了解数学分析的发展概况以及在社会发展中的重要作用；理解和掌握极 限的思想与方法，掌握常量与变量、直与曲、有限与无限、特殊与一般、具体与抽 象等辩证关系，树立辩证唯物主义观点。 学习目标 2：正确理解数学分析基本概念、基本理论，基本掌握数学分析的论证方 法；具备严格的逻辑思维能力与推理论证能力，掌握熟练的运算能力与技巧。 学习目标 3：会利用微积分工具进行数学建模、解决某些实际问题。 学习目标 4：为进一步学习《复变函数》、《常微分方程》、《概率论与数理统 计》、《实变函数》、《泛函分析》、《拓扑学》等后续课程打下坚实基础。 10
二、课程学习目标与毕业要求指标点的对应关系 专业毕业要求 专业毕业要求指标点 对应的课程学习目标 了解近代数学的发展概况及其在社会发展中的重要作用，了 解数学教学领域的一些最新研究成果和教学方法；掌握教育 学、心理学和数学教育的基本理论，熟悉中小学数学以及教 课程学习目标1、2、 2.3知识整合 育法规：学习人类文明进步与文化发展的通识知识。具有整 3 合数学、教育学、心理学等数理知识和教育技术并进行知识 与技能重构的能力。 具备良好的数学学科素养，深入理解并掌握数学中的分析、 代数、几何等方面的基本理论和方法，并能获得较强的逻辑 推理能力和抽象思维能力。初步掌握数学学科的基本思想方 课程学习目标1、2、 2.4教学能力 法，具有数学建模、数学计算、解决实际问题等基本能力： 3、4 具有较强的独立学习能力和创新思维方式，懂得教育教学基 本规律，掌握现代教育教学、心理学的基本理论。 三、课程各要素与课程学习目标的对应关系及达成度分析 (一)课程教学内容、教学目标、学时分配与课程学习目标的对应关系 第一章：实数集与函数（可支撑课程学习目标1、2、4） 1.教学目的和要求 (1)了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式： (2)理解区间与邻域的概念，深刻理解确界概念与确界原理，会利用定义证明一些简单数集 的确界： (3)深刻理解函数意义，掌握函数的四则运算和几种特性： (4)掌握基本初等函数的性质及其图像，会求初等函数的定义域，会分析初等函数的复合关 系。 2.教学内容 第1.1节：实数 第1.2节：数集·确界原理 第1.3节：函数概念 第1.4节：具有某些特性的函数 11
二、课程学习目标与毕业要求指标点的对应关系 专业毕业要求 专业毕业要求指标点 对应的课程学习目标 2.3 知识整合 了解近代数学的发展概况及其在社会发展中的重要作用，了 解数学教学领域的一些最新研究成果和教学方法；掌握教育 学、心理学和数学教育的基本理论，熟悉中小学数学以及教 育法规； 学习人类文明进步与文化发展的通识知识。具有整 合数学、教育学、心理学等数理知识和教育技术并进行知识 与技能重构的能力。 课程学习目标 1、2、 3 2.4 教学能力 具备良好的数学学科素养，深入理解并掌握数学中的分析、 代数、几何等方面的基本理论和方法，并能获得较强的逻辑 推理能力和抽象思维能力。初步掌握数学学科的基本思想方 法，具有数学建模、数学计算、解决实际问题等基本能力； 具有较强的独立学习能力和创新思维方式，懂得教育教学基 本规律，掌握现代教育教学、心理学的基本理论。 课程学习目标 1、2、 3、4 三、课程各要素与课程学习目标的对应关系及达成度分析 （一）课程教学内容、教学目标、学时分配与课程学习目标的对应关系 第一章：实数集与函数（可支撑课程学习目标 1、2、4） 1 . 教学目的和要求 (1) 了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式； (2) 理解区间与邻域的概念，深刻理解确界概念与确界原理，会利用定义证明一些简单数集 的确界； (3) 深刻理解函数意义，掌握函数的四则运算和几种特性； (4) 掌握基本初等函数的性质及其图像，会求初等函数的定义域，会分析初等函数的复合关 系。 2 . 教学内容 第 1.1 节：实数 第 1.2 节：数集·确界原理 第 1.3 节：函数概念 第 1.4 节：具有某些特性的函数 11
3.重点：实数集、函数、确界的概念及有关性质 4.难点：确界的定义及其应用 5.学时：8学时 第二章数列极限（可支撑课程学习目标1、2、4) 1.教学目的和要求 (1)深刻理解和熟练掌握数列极限的“εN”定义，会运用它验证给定的数列极限： (2)理解并掌握数列极限的性质（唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运 算法则)，会运用性质证明或计算给定的数列极限： (3)掌握数列极限存在的单调有界准则和柯西收敛准则，并会运用这些准则证明或判断数列 极限的存在性： (4)掌握重要极限，并能运用它们计算某些数列极限。 2.教学内容 第2.1节：数列极限概念 第2.2节：收敛数列的性质 第23节：数列极限存在的条件 3.教学重点：数列极限的“εN”定义、性质及存在条件。 4.教学难点：数列极限的“εN”定义，数列极限存在条件的运用。 5.学时：14学时 第三章函数极限（可支撑课程学习目标1、2、4） 1.教学目的和要求 (1)深刻理解各类函数极限的定义，能够用定义严格证明给定的函数极限： (2)掌握函数极限的性质（唯一性、局部保号性、局部保不等式性、迫敛性、四则运算定 理)，能用它们证明或计算给定的函数极限： (3)掌握函数极限的归结原则，并能用它来判断函数极限的存在性和计算某些数列极限： (4)掌握函数极限的柯西准则，了解单侧极限的单调有界定理： (⑤)熟练掌握两个重要极限，并运用它们计算相关函数极限： (6)掌握各类无穷小量与无穷大量的定义与性质，理解无穷小量阶的概念： (7)会求曲线的渐近线。 2.教学内容 第3.1节：函数极限的概念
3 . 重点： 实数集、函数、确界的概念及有关性质 4 . 难点：确界的定义及其应用 5 . 学时：8 学时 第二章 数列极限（可支撑课程学习目标 1、2、4） 1 . 教学目的和要求 (1) 深刻理解和熟练掌握数列极限的“ε-N”定义，会运用它验证给定的数列极限； (2) 理解并掌握数列极限的性质(唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四则运 算法则)，会运用性质证明或计算给定的数列极限； (3) 掌握数列极限存在的单调有界准则和柯西收敛准则，并会运用这些准则证明或判断数列 极限的存在性； (4) 掌握重要极限，并能运用它们计算某些数列极限。 2 . 教学内容 第 2.1 节：数列极限概念 第 2.2 节：收敛数列的性质 第 2.3 节：数列极限存在的条件 3 . 教学重点：数列极限的“ε-N”定义、性质及存在条件。 4 . 教学难点：数列极限的“ε-N”定义，数列极限存在条件的运用。 5 . 学时：14 学时 第三章 函数极限（可支撑课程学习目标 1、2、4） 1 . 教学目的和要求 (1) 深刻理解各类函数极限的定义， 能够用定义严格证明给定的函数极限； (2) 掌握函数极限的性质(唯一性、局部保号性、局部保不等式性、迫敛性、四则运算定 理)，能用它们证明或计算给定的函数极限； (3) 掌握函数极限的归结原则，并能用它来判断函数极限的存在性和计算某些数列极限； (4) 掌握函数极限的柯西准则，了解单侧极限的单调有界定理； (5) 熟练掌握两个重要极限，并运用它们计算相关函数极限； (6) 掌握各类无穷小量与无穷大量的定义与性质，理解无穷小量阶的概念； (7) 会求曲线的渐近线。 2 . 教学内容 第 3.1 节：函数极限的概念 12
第3.2节：函数极限的性质 第3.3节：函数极限存在的条件 第3.4节：两个重要的极限 第3.5节：无穷小量与无穷大量 3.教学重点：函数极限概念、性质及其计算。 4.教学难点：归结原则与柯西准则的运用。 5.学时：14学时 第四章函数的连续性（可支撑课程学习目标1、2、4） 1.教学目的和要求 (1)深刻理解函数连续性概念，掌握间断点的概念及分类： (2)掌握连续函数的局部性质，以及复合函数、反函数和初等函数的连续性： (3)掌握闭区间上连续函数性质的证明与运用： (4)理解函数在区间上一致连续概念，能用定义验证给定函数在某区间上一致连续或非一致 连续。 2.教学内容 第4.1节：连续性概念 第4.2节：连续函数的性质 第4.3节：初等函数的连续性 3.重点：函数连续性概念和闭区间上连续函数的性质。 4.难点：一致连续性概念与闭区间上连续函数性质的应用。 5.学时：14学时 第五章导数与徽分（可支撑课程学习目标1、2、4） 1.教学目的和要求 (1)深刻理解导数概念和几何意义，并能用定义求某些函数在一点的导数，清楚可导与连续 的关系： (2)掌握求导法则与技巧（导数的四则运算，反函数求导，复合函数求导的基本求导法则与 求导公式)，能熟练计算初等函数的导数： (3)理解函数可微的概念，掌握微分基本公式及微分法则，会求函数的微分，并能用于近似 计算： (4)理解高阶导数的概念，掌握莱布尼兹公式，会计算常见函数的高阶导数： (5)掌握参数方程所确定函数的求导方法
第 3.2 节：函数极限的性质 第 3.3 节：函数极限存在的条件 第 3.4 节：两个重要的极限 第 3.5 节：无穷小量与无穷大量 3 . 教学重点：函数极限概念、性质及其计算。 4 . 教学难点：归结原则与柯西准则的运用。 5 . 学时：14 学时 第四章 函数的连续性（可支撑课程学习目标 1、2、4） 1 .教学目的和要求 (1) 深刻理解函数连续性概念，掌握间断点的概念及分类； (2) 掌握连续函数的局部性质，以及复合函数、反函数和初等函数的连续性； (3) 掌握闭区间上连续函数性质的证明与运用； (4) 理解函数在区间上一致连续概念，能用定义验证给定函数在某区间上一致连续或非一致 连续。 2 .教学内容 第 4.1 节：连续性概念 第 4.2 节：连续函数的性质 第 4.3 节：初等函数的连续性 3 .重点：函数连续性概念和闭区间上连续函数的性质。 4 .难点：一致连续性概念与闭区间上连续函数性质的应用。 5 . 学时：14 学时 第五章 导数与微分（可支撑课程学习目标 1、2、4） 1 . 教学目的和要求 (1) 深刻理解导数概念和几何意义，并能用定义求某些函数在一点的导数，清楚可导与连续 的关系； (2) 掌握求导法则与技巧(导数的四则运算，反函数求导，复合函数求导的基本求导法则与 求导公式)，能熟练计算初等函数的导数； (3) 理解函数可微的概念，掌握微分基本公式及微分法则，会求函数的微分，并能用于近似 计算； (4) 理解高阶导数的概念，掌握莱布尼兹公式，会计算常见函数的高阶导数； (5) 掌握参数方程所确定函数的求导方法。 13
2.教学内容 第5.1节：导数的概念 第5.2节：求导法则 第53节：参变量函数的导数 第5.4节：高阶导数 第5.5节：微分 3.教学重点：导数与微分的概念与计算。 4.教学难点：复合函数的求导。 5.学时：12学时 第六章微分中值定理及其应用（可支撑课程学习目标1、2、4） 1.教学目的和要求 (1)深刻理解费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论， 特别是拉格朗日中值定理的分析意义与几何意义： (2)会用三个中值定理证明有关问题，学会构造辅助函数证明问题的方法，初步具有应用中 值定理论证问题的能力： (3)能熟练利用洛必达法则求各种不定式极限： (4)理解泰勒定理的内容和定义，了解皮亚诺型余项、拉格朗日型余项，并能够利用泰勒公 式解决相关问题： (5)能熟练利用导数讨论函数的单调性、极值、凸性及作函数图像： 2.教学内容 第6.1节：拉格朗日定理和函数的单调性 第6.2节：柯西中值定理和不定式极限 第6.3节：泰勒公式 第6.4节：函数的极值和最大（小）值 第6.5节：函数的凸性与拐点 第6.6节：函数图像的讨论 3.教学重点：中值定理的运用，不定式极限的计算，以及函数单调性、极值与凸性的判定。 4.难点：中值定理的应用。 5.学时：18学时 第七章实数的完备性（可支撑课程学习目标1、2、4） 1.教学目的和要求 14
2 .教学内容 第 5.1 节：导数的概念 第 5.2 节：求导法则 第 5.3 节：参变量函数的导数 第 5.4 节：高阶导数 第 5.5 节：微分 3 . 教学重点：导数与微分的概念与计算。 4 . 教学难点：复合函数的求导。 5 . 学时：12 学时 第六章 微分中值定理及其应用（可支撑课程学习目标 1、2、4） 1 . 教学目的和要求 (1) 深刻理解费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论， 特别是拉格朗日中值定理的分析意义与几何意义； (2) 会用三个中值定理证明有关问题，学会构造辅助函数证明问题的方法，初步具有应用中 值定理论证问题的能力； (3) 能熟练利用洛必达法则求各种不定式极限； (4) 理解泰勒定理的内容和定义，了解皮亚诺型余项、拉格朗日型余项，并能够利用泰勒公 式解决相关问题； (5) 能熟练利用导数讨论函数的单调性、极值、凸性及作函数图像； 2 . 教学内容 第 6.1 节：拉格朗日定理和函数的单调性 第 6.2 节：柯西中值定理和不定式极限 第 6.3 节：泰勒公式 第 6.4 节：函数的极值和最大(小)值 第 6.5 节：函数的凸性与拐点 第 6.6 节：函数图像的讨论 3 . 教学重点：中值定理的运用，不定式极限的计算，以及函数单调性、极值与凸性的判定。 4 . 难点：中值定理的应用。 5 . 学时：18 学时 第七章 实数的完备性（可支撑课程学习目标 1、2、4） 1. 教学目的和要求 14