第四节 第十一章 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结明
第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十一章
一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例：设曲面形构件具有连续面密度4(x,y,),求质 量M 类似求平面薄板质量的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 的方法，可得 材=lim (57,5AS 月0 其中，入表示n小块曲面的直径的 最大值（曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者） HIGH EDUCATION PRESS 机动
o x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 (x, y,z), 类似求平面薄板质量的思想, 采用 i i i i ( , , )S 可得 n 0 i 1 lim M ( , , ) i i i 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义：设∑为光滑曲面，f(x,y)是定义在∑上的一 个有界函数，若对Σ做任意分割和局部区域任意取点， 乘积和式极限” lm∑f(5,n,5)AS 记作 (x.y,3)d S 0 都存在，则称此极限为函数f(x,y)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.其中f(x,yz)叫做被积 函数，∑叫做积分曲面 据此定义，曲面形构件的质量为M=4(x,y)dS 曲面面积为 HIGH EDUCATION PRESS 返回
M (x, y,z)d S 定义: 设 为光滑曲面, “乘积和式极限” i i i i f ( , , )S n 0 i 1 lim 都存在, 的曲面积分 f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 S d S f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 函数, 叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. ·积分的存在性.若xy,) 在光滑曲面∑上连续 则对面积的曲面积分存在 ·对积分域的可加性.若Σ是分片光滑的，例如分成两 片光滑曲面Σ，∑2， 则有 fx,ds=八xds+八5 )ds ·线性性质.设k,k为常数，则 【fx,头)士gs f,)ds士k g(.,a)d5 HIGH EDUCATION PRESS 机动
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. , , 1 2 则有 f (x, y,z)d S 1 f (x, y,z)d S 2 f (x, y,z)dS k f (x, y,z) k g(x, y,z) d S 1 2 • 线性性质. 设k1 , k2为常数,则 k f (x, y,z)dS k g(x, y,z)dS 1 2 若 f (x, y,z)在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对面积的曲面积分的计算法 定理：设有光滑曲面 2=(x,)(X)eD f(x,yz)在∑上连续，则曲面积分 八x)ds存在，且有 AG) =jn (x.y)1(x.y)(x.y)dxdy 证明：由定义知 f5.)△5 0 HIGH EDUCATION PRESS 返回结
o x y z 定理: 设有光滑曲面 Dxy : z z(x, y), (x, y) f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 且有 f (x, y,z)dS Dx y f (x, y, ) f (x, y,z)dS z(x, y) z x y z x y x y x y 1 ( , ) ( , )d d 2 2 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 f (x, y,z)dS i i i Si f ( , , ) n 0 i 1 lim Dxy ( , , ) i i i i x y ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束