这样的源可以用来表示环绕引人导电材料中的小电极的电流分衔，如图7.3.1d中所示，电极通过绝缘导线与电流源相连接。至少在稳定条件下，导线和它的绝缘可以做得足够好，使得在周围导体中的电流分布不受-扰。注意如果考虑导线和它的绝缘，电流密度保持是无散的。包围球形电极的面被导线刺穿。这部分面积分对J·da 的积分的资献与包围电极的面的剩余部分的贡献相等而异号。在此情况下，点源是为了忽略绝缘导线对电流分布的影响的一种技巧。在 1.3节中用来定义线电荷密度的截而积为4的管形体积(图 1. 3. 4) 在这里同样适用于定义线电流密度。(3)KIEsd通常，K，是沿线位置的函数，如图7.3.1b所示。如果情况是这样，物理实现需要一束绝缘导线，各终止在输送它的电流到周用媒质的电极段上，如图7.3.1e所示。最经常的是线源与二维流一起使用,并且描述在一端用电流源激励的均勾的线状电极。图7.3.1c和图7.3.1f的面电流源用图1.3.5所示的包围而源的间样的增量控制体积来定义。+2(4)J,=lil号注意J,是在给定位置处进入周围材料的净电流密度。与电流源奇异性相关的场在埋人均勾导体的点电流源附近，电流分布是球对称的。因此，当J-αE时，积分的电流连续性定律式(1),要求(5) 4rr'uE,=i,内此得出点源的电场强度和电位为(6)4nGTRE例7.3.1.绝缘的球形电极的电导副量液体的电导率的简单方法,是以采用半径为 α 的小的球形电极为基研，如图 7.3.2 所示。与绝缘导线相联的电极浸没在均匀电导率为α的液体中。该体放在一容器内，它是第二个电极，与球形电极相比，面积大得多，且位于距球许多倍α远处。因此，与从球形电极到大电极所通过的电流i有关的电位降主要是在球的附近按规定，球表面的电位为の，根据式(6)可以计算点源的电位，在=4处得>Q=÷-4ga(7)这个电导类似于由式(4.6.8)给出的绝缘的球形电极的电容。这里，连接到球体的良好绝缘的导线对电流分布没有什么影响。. 199
干小的球形电极，相对于在图7.3.3半球形电极提供与无限大半空间材料的触点,电导由式(8)给出。“无限远”处的大导作的电导由式（7)给出。和导电材料的触点有关的电导往往通过将触点描绘成半球形电极来近似，如图7.3.3所示。表面的上方区域是绝缘体。因此,那里没有电流密度,从而没有垂直于此表面的电场强度。注意这个条件通过与位于导体绝缘体界面处的点源相关的场满足。-个附加的要求是电极表面的电位应为0。因为电流只由半个球面携带，重新计算式(6a)可得出半球表面触点的电导是G=23?与均勾的线源和面源相关的场，类似于1.3节中所讨论的线电荷和面电荷的场。在4.3节中讨论泊松方程所用的叠加原理，在这里同样适用。因此，与高阶源的奇异性相关的场，通过把那些已经确定的基本的奇异源的场加以重叠的办法也能够求出。偶极子源是特别重要的，因为它能用来作为埋入导体中的电池的模型。例7.3.2球坐标系中的偶极子电流源量值为1的正的点电流源位于z一处，正好在位于原点的同样大小的负源（汇）的正上方。示于图7.3.4的源-汇对，产生类似于图 4.4.2 的场。在间距&趋近于零而源的强度和此间距的乘积则保持有限的极限情况下,这对源形成极于。从位于原点的源根据式(6)给出的电位出发，极限过程与得出式(4. 4. 8)的过程是一样的。电节偶极矩用电流极短d代替，并且e→l→ipd。这样，偶极子电流源的电位是0%00(9)极座标中偶极了电流源的电位，可在习题7.3.3中求得，图7.3.4三维偶极子电流源，它的电位由式(9)给出。图 7.3.5 点电流源和它的代表艳综边界的镜像。镜像法由于有描述稳定电流分布的新的边界条件，出现了如同4.7节中所讨论的额外的机会来利+200
用对称性。图7.3.5示出对相等大小的点电流源，它们位于-平面的右边和左边等距离处。与图4.7.1的点电裔相反，这两个源有相同的符号。因此,垂直于表面的电场为岑，而不是切向场为零。右半边的场和电流的分布与该区域好像用均勾导休充满并在它的左边用绝缘体界定的情况一样。7.4稳定传导解的叠加和唯一性本节中的物理定律和边界条件与5.1和5.2两节处理泊松方程时的不同，但方法是类似的。在具有电导率分布(r)和源分布s(r)的材料中，当源的密度一s在右边时，稳定的电位分布@必须满足式(7.2.4)。感兴趣的典型的图形与图7.2.1的一样，只是现在包括了在体积V中有可能存在的电流源密度分布。电极用来约束包固被这一材料所占据的体积的一些表面的电位材料接触电极的这部分表面被叫做S。这里我们假定在用S"表示的其余的包围表面上法向电流密度是确定的。图7.2.1中所画的是特殊情况，在那里边界8"是绝缘的，从而法向电流密度为零。这样，按照式(7.2.1)，(7.2.3)和(7.3.1)，所要求的E和J就可从(1)Vov0=-s的解@求得，式中中中在s-n.ov@-J在s"上除了部分边界是表面S"，在那里规定的是法向电流密度，面不是电位外，这里的情况类似于5.1节中。解答可以分为特解部分[它在体积中的每一点上满足式(1）的微分方程，但不满足边界条件和齐次部分。然后调整后者，使两者之和满足边界条件。为满足边界条件的叠加假设一系统由无源导体（s一0)组成，它与一个地电位的参考电极和n个电位分别为33-1,…n的电极接触。 这些电极的接触面构成面 S%。 如图 7. 2. 1中 所示,可能有包围材料的面的其他部分是绝缘的(J.-0)，并用S"表示。解答可以表示成当其他电极接地时，与每个有确定电位的电极相关的电位分布之和。0-20(2) 式中V.ov0,-0o在$上,j=i@,=l0，在$上，当8=0时，每个Φ，满足式(1),而当J,0时满足S！上的边界条件。这一解答的分解已在5.1节中熟悉。但是，在绝缘表面S"上的边界条件对于式（2)中的各项指的是什么需要有稍微扩展的观点。正如下面的例子所说明的，要满足绝缘的边界条件，现在有用的是在边界处导数为零值的形式，而不是大小为零值的形式。·201 *
例 7. 4. 1. 具有绝缘边界的模态解在图7.4.1的二维构型中，均匀导电材料沿着它的左边缘接地，沿它的右边缘用绝缘材料界定，在顶部和底部分别通过具有电位为和的电极激励。罚二(h)f图7.4.1（a）连接到导电材料的两个端钮对，材料的一个璧为零电位而另一个是绝缘的。场的解分成两部分，（b）是由电位引起的，而（c）是由电位引起的。（d）利用当所有的墅披电位约束这一等价问题的对称性，在绝缘壁处的边界条件得以满足正如式(2)所要求的,电位的分解等于图中(b)和(c)的两个问题的电位的登加。注意对这两个中的每一个,在右边界处电位的法向导数必须为零。图7.4.1(d）中所指绘的图形已在5.5节中熟悉。图5.5.2的图形的电位分布式（5.5.9)，同样可以适用于图 7. 4.1 的图形。这是因为对称性要求沿着 a±4/2 的面没有方间的电场。而 (c)的电位分布又可以从这个电位分布确定,只要进行 ,→2,以及 →b-9 的替代。这样,总的电位是0-24()inn元元n8inh/n元奇数sin[(b-)](3)花元sinh(srb)如果我们不参考5.5节来解这一问题，用来展开电极电位的形式是在=0处电位为琴，面在绝缘边界处(在 =a/2 处)电位的导数为零。电昇矩阵如果S定义为第i个电极与导电材料接触的表面，则从电极流出的电流为(4)i-f,ovo.da[da方向的规定见图7.2.1。7利用式(2)表示的电位分解，这个表达式变成1-2.00.da-2m(5)ra1式中的电导是I,ovo,da(6)Gu因为根据定义Φ，正比于,这些参数与激励无关。它们仅与结构的物理性质和几何形状有关。·202 ·
例 7. 4. 2、二端对电导矩阵对F图 7. 4. 1 的系统,式(5)变成FrGu G7ro(7)LGar Gaz lvz当电位由式(3)给定时,自导G:和 Ga与互导G1和 Ga 可通过式(5)的计算得到。在左边的角上,这个电位是奇异的，所以用这个方法确定的自导是用一个不孜敛的级数表示。但是，互导是用电流密度对电极积分来确定的，而电极与接地的贮有相同的电位，所以它们能很好地表示。例如，如果c定义为导电块在？方向的长度，则-. (8)nsinh(nxd)唯一性当Φ、J、(r)和s(r)给定时，稳定的电流分布可根据式(1)的微分方程和边界条件被唯一地确定。如同5.2节那样，可以证明第二个解答一定和第一个一样，关键在于定义一差分电位Φ。=。—Φ，并且证明在图7.2.1中，由于在8上Φ。=0,以及在s上n·0中a=0a—定为零。7.5分块均匀导体中的稳定电流导体的结构往往由均匀导电的材料组成。因此在由不同材料占据的于区域中，电导率是均勾的,但是在区域间的界面处承受阶跃的不连续性。 在均匀导电区域中,电位服从拉普拉斯方程即式(7.2. 5)，10=0(1)而在区域间的界面处，连续性条件要求法向电流密度和切向电场强度是连续的即式(7.2.9)和(7. 2. 10)。n·(,E*--0,Eb) =0(2)(3)0-0-0与线性电介质中场的比拟如果电导率用介电常数代替，这些定律就与作为6.6节中那些例子的基础的定律完全一样。D的作用现在被J 代替。 因此,下面例子的分析在 6. 6 节中已经进行过。例7.5.1.均匀横向场中的导电圆棒半径为B，电导率为0的圆棒置于电导率为0。的村料中，如图7.5.1所示。也许借助于远在右边和左边的平行平面电极，在远离圆柱体处施加均匀的电流密度。应用例6.6.2中同样的步骤，在作0.和EbU代替的情况下，可推导出电位分布。这样，从式(6.6.21)和(6.6,22)得出为0.--RE. 00()-()40) ](4)(5)0=o+0Eorcosd而电场强度线如图6.6.6所示，注意虽然E线和J线有相同的方向并且在每个区城内有相同的图形，但在电导率不连续处它们有非常不阅的特性。事实上，在界面处电流密度的法向分量是连续的，并且」线间的间距在跨· 203