初中数学《圆》的难点详解 园的概念 集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的軌迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条 直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的 条直线。 二、点与园的位置关系 1、点在圆内→d<→点C在圆内; 2、点在圆上→d=y→点B在圆上; 3、点在圆外→d>y→点A在圆外
初中数学《圆》的难点详解
直线与园的位置关系 1、直线与圆相离→d>r→无交点 2、直线与圆切→d=→有一个交点; 3、直线与圆椴交→d<y→有两个交点; 四 园与园的位置关系 外离(图1)→无交点→d>R+r; 外切(图2)→有一个交点→d=R+r; 交(图3)→有两个交点→R-<d<R+r; 内切(图4)→有一个交点→d=R-y; 内含(图5)→无交点→d<R-y 图2
理 五、垂径定 垂径定理ε垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其 中2个可推出其它3个结论,即:①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE④弧 BC=弧BD⑤弧￡C=弧狃D中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等 即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC=弧BD 8 六、國心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的 相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①∠AOB=∠DOE;②AB=DE ③OC=OF;④弧BA=弧BD
七、园周角定理 1圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一 即:∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∠AOB=2∠ACB 2、圆周角定理的推论 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆 周角所对的弧是等弧; 即:在⊙O中,∵∠C、∠D都是所对的圆周角 ∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧 是半圆,所对的是直径。 即:在⊙O中,∵AB是直径或∴∠C ∴AB是直径 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角开是 直角三角形。 即:在△ABC中,∵OC=O4=OB △ABC是直角三角形或∠C=90° 注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理
八、园内接四边形 奧的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙O中 四边形ABCD是内接四边形 ∵.∠C+∠BAD=180°∠B+∠D=180° DAE=∠C 九、切线的性质与判定定理 (1)切践线的定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵M⊥OA且MN过半径O4外端 ∴M是⊙O的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个