第九章环与域 ·9.1环：两个二元运算的代数结构 。1.环的概念 ·定义9.1：<R,+,·>是代数系统，+，·是二元运 算，若满足： (1):<R,+>是阿贝尔群；(2)：<R,·>是半群； (3):·对+可分配；则称<R,+,·>为环(Ring),+称 为加法，·称为乘法（未必是数加和数乘）；同时 加法么元记为0，加法逆元-x,n次幂为nx,若存 在的话，乘法么元记为1，逆元为x1n次幂为x” 173
1/73 第九章 环与域 • 9.1 环：两个二元运算的代数结构 • 1.环的概念 • 定义9.1：<R,+,·>是代数系统，+， ·是二元运 算，若满足： (1):<R，+>是阿贝尔群；(2):<R,·>是半群； (3):·对+可分配；则称<R,+,·>为环(Ring)，+称 为加法，·称为乘法(未必是数加和数乘)；同时 加法幺元记为0，加法逆元-x，n次幂为nx，若存 在的话，乘法幺元记为1，逆元为 x −1 n次幂为 n x
9.1环 例9-1：（(1)：<Z,+,·>, <Q,十，·>， <R,+,:>, <C,+,·>均为环： (2):实数分量的n×n方阵集 合Mn(R),构成环：<Mn(R),+,●>；(3)：<P(A),©，∩> (4)<Zk,十k,Xk>为环。 证：<Zk,十k>为加群，<Zk,×k>为半群； a,b∈Zk,有a+kb=(a+b)modk,a×kb=(a×b)modk .a×k(b+kc)=a×k(b+c)modk)=(a●(b+c)modk)modk =(a●(b+c)modk=(a●b+a●c)modk =(a●b)modk+k(a●c)modk=a×kb+ka×kc 同理：(b+kc)×ka=b×ka+kc×a.为环。 (5):<{0},+,·>(0为加法么元，乘法零元)为环， 称为零环；(6)：<{0,1}，+，·>(1为乘法么元)为环 2/73
2/73 9.1 环 • 例9-1：(1):<Z,+,·>， <Q,+,·>， <R,+,·>， <C,+,·>均为环；(2):实数分量的n×n方阵集 合 Mn (R) ，构成环： M (R),+, • ；(3): n P(A),, (4): Zk ,+k ,k 为环。 同理： 为环。 ，有 证： 为加群， 为半群； + = + = • + • = + = • + = • + • + = + = • + + = + = + b c a b a c a a b k a c k a b a c a b c k a b a c k a b c a b c k a b c k k a b Z a b a b k a b a b k Z Z k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ( ) ( )mod ( )mod ( ( ))mod ( )mod ( ) (( )mod ) ( ( )mod )mod , ( )mod , ( )mod , , (5):<{0},+, ·>(0为加法幺元，乘法零元)为环， 称为零环；(6):<{0,1},+, ·>(1为乘法幺元)为环
9.1环 2.环的性质 ·定理9.1：设<R,+,·>是环，则对任意的a,b,c有： (1):加法么元必为乘法零元；(2)：(-a)·b=a·( b)=-(a·b);(3):a·(b-c)=a·b-a·c,(b-c) ·a=b·a-c·a;（4):a,beR,∑a,•∑b,=∑a,b 证：(1a●0=a●(0+0)=a●0+a·0,<R,+>是阿贝尔群， .满足消去律，.a●0=0，同理0·a=0: (2)(-a)·b+a·b=(-a+a)·b=0·b=0,<R,+>是阿贝尔群， .逆元唯一，∴.(-a●b=-a●b (3)a●(b-c)=a●(b+(-c)=a●b+a●(-c)=a●b+(-a●c) =a●b-a●c,同理(b-c)●a=b●a-c●a (4)略（书上） 3/73
3/73 9.1 环 • 2.环的性质 •定理9.1：设<R,+,·>是环，则对任意的a,b,c有: (1):加法幺元必为乘法零元；(2):(-a)·b=a·(- b)=-(a·b)；(3):a·(b-c)=a·b-a·c, (b-c) ·a=b·a-c·a；(4): • = • ai bj R ai bj ai bj , , (4) ( ) ( ) (3) ( ) ( ( )) ( ) ( ) , ( ) ; (2)( ) ( ) 0 0, , , 0 0 0 0 (1) 0 (0 0) 0 0 , 略 书上 ，同理 逆元唯一 是阿贝尔群， 满足消去律 ，同理 ； 证： ， 是阿贝尔群， a b a c b c a b a c a a b c a b c a b a c a b a c a b a b a b a b a a b b R a a a a a a R = • − • − • = • − • • − = • + − = • + • − = • + − • − • = − • − • + • = − + • = • = + • = • = • = • + = • + • +
9.1环 ><R,+,·>中·不一定满足交换律，也不一定有幺 元，但一定有零元。 •3.子环与环同态 定义9.2：子环：环<R,+,·>,若S∈R,<S,+,·>构 成环，则为R的子环。 +:阿贝尔群 子环判定：。：半群 +:群 +:子群判定定理 :封闭 分配律 封闭 ·定义9.3：环同态： R→RpxW=o0y [p(x+y)=(x)+(y) 4/73
4/73 9.1 环 ➢<R,+,·>中·不一定满足交换律，也不一定有幺 元，但一定有零元。 • 3.子环与环同态 • 定义9.2：子环：环<R,+,·>，若 构 成环，则为R的子环。 子环判定： • 定义9.3：环同态： S R, S,+, • • • = • + + = + → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : 1 2 x y x y x y x y R R • + • + • + 封闭 子群判定定理 封闭 群 分配律 半群 阿贝尔群 : : : : : :
9.2整环和域 定义9.4：设<R,+,·>是环： ().若·满足交换律，则称R是交换环； (2).若·运算含有么元，则称R是含幺环； (3).若有非零元素a,b满足a·b=0,则称a,b为R 的零因子(a为左零因子，b为右零因子)，此时称R 为含零因子环，否则称R为无零因子环； (4).若R是交换环，含么环，也是无零因子环，则称 R是整环。 ·例9-2：（1)：Z,Q,R,C都是交换环，含么环，无零 因子环，整环； 5/73
5/73 9.2 整环和域 •定义9.4：设<R,+,·>是环： (1).若·满足交换律，则称R是交换环； (2).若·运算含有幺元，则称R是含幺环； (3).若有非零元素a, b满足a·b=0，则称a, b为R 的零因子(a为左零因子，b为右零因子)，此时称R 为含零因子环，否则称R为无零因子环； (4).若R是交换环，含幺环，也是无零因子环，则称 R是整环。 • 例9-2：(1):Z,Q,R,C都是交换环，含幺环，无零 因子环，整环；