符号体系和数系一．符号体系我们不想多谈数学运算符号的历史。，十、一号是15世纪德国人引入的。奥特雷德(Oughtred)（1574-1626）用×表示“乘”。=是1557年剑桥的雷科德（Recorde)(1510-1558）引入的。韦达曾用～表示相等，笛卡尔（Descartes）（1596-1650）则用“α”。><是哈里奥特（Harriot)(1560-1621）首创的（他是第一个承认无理数的代数学家）。圆括号出现于1544年。方括号和花括号是韦达从1593年开始使用的。平凡根号V厂由笛卡尔引入。笛卡尔还发明了乘方的记法，例如3，但是用a表示平方（后被高斯改为2）。牛顿运用了正、负、以及分数作指数。应当指出的是：韦达用了当时的符号将古希腊的几何学中隐藏的代数恒等式发掘出来，对于后来的数学发展是很有益的。现在我们所熟悉的运算符号的最终确立完成于莱布尼兹（Leibniz)(1646-1716）。当时大量的符号被创造出来。莱布尼兹了对于各种记法进行了长期的研究，征求同代人的意见，然后选取他认为是最好的符号。他认为好的符号有可能大大节省思维劳动。1675年决定用作为积分的符号（代替以前的omn.)。二数系1.整数．长期困扰人们的是负数。尽管公元600年之后印度的数学家开始引入0和负数，并且有了运算法则，并且通过阿拉伯人的著作传到欧洲，但是一直到十九世纪仍有一些（当然不是全部）数学家不承认负数的合理性。日耳曼数学家施蒂费尔（Stifel)（1486-1567）（最早有对数函数想法的人）认为负数是荒谬的数。韦达（Vieta）(1540-1603）干脆拒绝负数。卡尔丹（Cardan)(1501-1576）认为负数可以作为方程的根出现，但只是一种符号，不是有意义的解。笛卡尔（Descartes）(1596-1650）比卡尔丹好一些，他通过方程的变换（将f(a）=0变为 f(c一m）=0(m为大的正整数))使得负根变为正根，所以它愿意接受负数，但是他称负根为“假根”，因为负数代表了比“无"还小的数。帕斯卡（Pascal)（1588-1651）说0减去4纯粹是胡说。他的一个朋友神学家兼数学家阿尔诺（Arnauld)（1612-1694）提出反对负数的一个理由：等式一1：1一1没有道理（一个小的数比上大的数怎摩能等于大数比上小数呢？）。莱布尼兹同意这个反对理由，但认为可以进行这样的比例运算。数学家马塞尔（Maseres)（1731-1824）是英国剑桥大学的克莱尔学院的研究员和皇家学会会员，他在《专论在代数中使用负号》一书中写道“它们（指方程的负根）只会把方程的整个理论搞糊涂，而且把一些究其本质说来是是出奇地明显简单的东西搞得嗨涩难懂、玄妙莫测。····把他们从代数单驱逐出去定会使代数（或普遍的算术）：···在简洁明了和证明方面成为不亚于几何的一门科学。。”欧拉（Euler）（1707-1783）一直到18世纪后半叶仍然深信负数大于oo。著名数理逻辑学家（伦敦大学教授）狄摩根（DeMorgan)1806-1871)1831年说：“虚数式V-a和负数式一种相似之处，即只要它们中的任一个有作为问题的解出现，就说明一定有某种矛盾和谬误。只要一涉及到实际的含义，两者都是同样的虚构、因为0一α和1同样是不可思。”他举例说：父亲56岁，儿子29岁V问何时父亲的年龄是儿子的2倍。设答案为年后，通过解方程得到=一2。这是荒唐的。其原因是当初的设得不对。如果设答案为年前，就没有问题了。1
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数学的发展会出现一些奇怪的现象。负数（以及有理数）的地位的确立是在无理数（实数）理论建立之后（而复数的合法性文建立在实数理论之前）。在人们在创立实数理论时假定了有理数已经存在，实数的定义求助于（有理数基础上的）公理化方法。公理化方法在数学中全面运用主要的动力来源于非欧几何。这类几何在19世纪上半叶已经形成。为有理数寻求可靠的理论依据的第一个人是欧姆（M.Ohm)(1792-1872）（欧姆定律的那个欧姆的弟弟）。1882年他在《数学的-个完备相容系的研究》一书中作了这方面的势力。1859年之后外尔斯特拉斯（Weiersrstrass)）（1815-1897）在一些演讲中确信：只要有86了有理数，实数的建立就没有任何困难10年他从自然数出发导出有理数和负数（用两种自然数的数对）。但是他并没有意识到他的理论的前提是弄清普通的整数。之后德德肯(Dedekind)(1831-1916)在187~，年间用集合论的思想给出了一个整数理论（发表于1888年）。由于该理论过于复杂，而没有被后人采用。1889年皮诺(Peano)(1858-1932)在《算术原理新方法》一书中给出了现在流行的“皮诺公理”。他利用了德德肯的结果。皮诺引进了一些很有用的简单的记号例如“E”“D”。他用N。表示自然数，用十表示自然数α的后继（即α十1，但是在定义自然数之前当然不能定义自然数的加法所以皮诺不能写α十1）。（由于这些符号是新的，他在都灵大学的学生不接受。他试图用让每个学生都及格的办法来满足学生，但最终还是被迫辞职。）皮诺公理.(1) 1E No ;(2）1不是任意自然数的后继；(3)4每个自然数都有一个后继(4）如果α与b的后继相等，则a与b相等；(5)若一个由自然数组成的集合S满足条件：1ES，并且aES蕴含a+ES，则S=N。（数学归纳法公理）。加法与乘法的定义为（归纳地）a+ l=a+,a + (b+) = (a + b)+;1 a=a,a (b+) = (a ·b) + a由上述的公理条件和定义就可以证明自然数的加、乘法满足交换、结合、分配律。由自然数出发就可以定义整数为自然数的有序对（a,b)（的等价类（（a,b)等价于（α,b）定义为α+=α+b))，其直观含义就是α一b（即α<b时为负整数，a>b时为正整数，即α=b时为0）。再适当地定义整数的加乘法（减法用加法定义），就有了完整的整数集。有理数用整数的有序对（的等价类）定义：设A、B是整数，B0，则（A,B）是有理数，其直观含义就是A/B。适当地定义有理数的加乘法，就有了有理数集。2.实数．困难在于无理数。象我们以前说过的，尽管毕达格拉斯学派以及后来的一些支持者坚持认为无理数只能是比例而不是数，但是古埃及、古巴比伦人，亚历山大时期的希腊学者以及后来的印度人和阿拉伯人都很随意地对待、计算无理数，并用其近似值代替之。例如阿基米德曾经计算出>V3>23。印度人还对于二次无理数进行运算。在16世2
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纪，人们引入了越来越多的无理数，而且用各种方法计算一些无理数。例如施蒂费尔考虑过形如"α+6的无理数，韦达通过对于圆内接正2"边形的途径给出了第一个关于π的公式11115121:111+2V2+2V2V2V2+2V2V2T（此式和下面的无穷次运算表达式都被理解为“极限”，即进行充分多次运算的结果将会充分接近该式所表达的数）韦达还对于求平方根和立方根的方法作出了改进和推广。16世纪的邦贝利（Bombelli）用连分数表达二次无理数：设1V2=1 +y则1=1 + V2y =V2_1用开始的等式的V2代入就有1y=1+V2=2+y由此选代下去，得11111V2=1+=1+=1+=1±..2+2+12+2+2+y2+沃利斯（Wallis)(1616-1703）在《无穷大的算术》（1655）一书中给出4-3.3.5.5.7.7...2.4-4.6.6.8...TY192549=1+2+2+2+2+T（后者是布龙克尔（Brouncker）勋爵（1620-1684）得到的结果。）1674年莱布尼兹证明了1１1元=1-3+#-++...-4但是始终有一些数学家对于无理数不放心，施蒂费尔就曾说过：“当我们想把他们数出来时···：就发现他们无止境地往远跑，因而没有一个无理数是能被我们准确掌握的....而本身缺乏准确性的东西就不能称其为数.”3
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到了18世纪人们对于无理数有了更深的研究。1737年欧拉证明了11111111e-1=1++1+2+1+1+4+1+1+6+和111e+l=1=2+#+10+14+从而证明了e和e2是无理数。他在柏林科学院的同事兰伯特（Lambert)(1728-1777）证明了π是无理数。勒让德（Legendre)（1752-1833）猜测T是超越数（即不是任意一个有理系数（非零）一元多项式的根）。（1873年厄米特（Hermite)(1822-1901）证明了e是超越数，π的超越性被林德曼（Lindermann)(1852-1939）在1882年证明。）上面的这些无穷次运算式实际上一直被视为有理数的无限序列的极限。这就出现一个本质性的问题：如果有理数列的极限是无理数，而无理数并没有定义，这在逻辑上就说不通了。到了19世纪下半叶，出现了几个关于实数的理论，给出了无理数存在的公理基础。最常用的有7个，即1.一个德德肯分割确定一个实数，2.哥西收敛准则，3.区间套确定唯一的实数，4.闭区间的任意开覆盖必有有限子覆盖，5.单调有界序列有极限，6．有上界必有上确界，7．有界的无穷数集有聚点。它们中的每一个都可以作为实数的公理。由任何一个出发都可以推出其他6个。我们简单叙述前两个。德德肯的理论建立在划分直线的直观上。一个德德肯分割是指将有理数分成两个非空集合A和B，满足下述性质：A中的任一数小于B中的任一数。这时A中可能有最大的（有理）数，或B中有最小的数。如果这两种情形之一发生，就说这个分割是由那个有理数确定的。如果以上两种情形都不发生，就说这个分割是由一个无理数确定的（称这种分割为第二类分割）。（直观地说，这个无理数就是比A中所有数都大并且比B中所有数都小的无理数，或者说是夹在A、B之间的那个无理数。）接着，他定义实数（即分割）的大小关系。由于有理数的大小已经是清楚的了，所以只要考虑不全是有理数的两个实数的大小，也就是考虑两个分割（A1，B）和（A2，B2），其中至少有个是第二类的。则（A1，B）小于（A2，B2）定义为AA2。由此定义德德肯证明了这个小于关系记为”<”）满足传递性，即如果（A1，B）<（A2,B2)且（A2,B2）<（A3，B3)，则（A1,B）<（A3,B3）。然后他证明了如果（A1，B）<（A2,B2），则存在无穷多的分割（Ai，B，存在于这两个分割间（即<(Ai,B)<(A2,B2),Vi)。最后他证明了对应于实数的任一的。最后这一结论实际上就是实数的连续分割的（实）数性（完备性），即从实数（而不是出发不会得到新的数（有一些人，例如布时分害尔扎诺，曾认为所谓“连续性”是指在同的数之间都存在数。实际上这是稠密性的含义，与连续性不是一回事。例如有理数集是稠密的但不连续）。德德肯又定义了实数的运算。设（A1，B1）和（A2，B2）是两个分割，C为有理数。如果存在α1EA1和2EA2使得a1+a2≥C，则把c放在Ci中。其他的有理数的全体记为C2。不难证明（C1,C2）构成一个分割。此分割就定义为（A1,B1）与（A2,B2）的和。实数的其他运算的定义类似。由这些定义出发不难证明实数的运算满足通常运算的性质。德德肯本人说过他的这个定义利用了欧几里德关于比例的工作。《原本》中定义不可公度量的比例的相等时，对于这样的比例a/b，欧几里德实际上把有理数m/n分成两类一类是m/n<a/b，另一类是m/n>a/b。当然这种划分有逻辑上的缺陷，因为当时根4
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际没是同矛亲5度岁者比可现但程2无论如何2欧几里到已经具C是同无理题者基际思想因现只程当子含们将矛亲5度岁者比可仅仅限制在几何父2而几何与题程被截初分开者2从而导致无理题没被纳入题者范围现所谓“哥西收敛准则”程就康托Cantor）即845-1918）在哥西Cauchy）即789-1857序列者基础答提定来者现设腰伯们，程一个理题组成者序列现它称，一个基际序列（哥西序列)2如果对于布尼（α理题）ε>L2 b在 n 2z得对于所c者后通>n 2大a最造各时进量得e现过个基际序列期研究期趣称同儿价者2如果遇予最进各时越维L现（都个“儿价”决设程个儿价关/现一个儿价方就是同同一个设积（替同时）（m观答就程极限现对于过个基际序列时维期研究倍维期研它们是同者设积分整替同时究倍)2亲以盾谬期进困傻研尽初程基际序列2并公它所在者儿价方与时维期研究倍维期研在元之儿价方父）者度并无关现就是同期进困假研所是同者设积同时与倍者究时困倍现都何就是同因设积者通过运解现阿两者运解者是同方拉现设积时维期研究倍维期研者著传关/构到过是同（可如时>就是同同时各倍>L）现康托洲直盾因从设积（矛限于理积）者基际序列定某并矛十得九仍者积2些就程说设积全程部合者现怕耳数日施蒂费在S方f子就1九义负积开早方2两函荒都何者S（以谬负积S)现V尔干在1545年所拒者”绝C者程只举一义父定解义方f比期L各比研维4L2S得比维5fm各15整两说得“它愿接受九称著者假因责合”2都过个根决设满小原方f整于程两说得“帕只就程都何P说减去者2它者去纯程又粹致又它父构者整胡友样在S性神方f子些兼诺因A积2并公提决P进反A积者四则：帕2但程两没同A积无构而公它亲道上整怎V尔些函荒A积2并称同“虚积”整两者观呢程得S方f子如果？解负积S（两所说者“这根”)2样义塞当PM未英岁亲以得九克根2但程如果？解虚根2就无论如何些”院它？克根整从都个尼同答说2怎V尔在区整方f者设根究A根方员C比皇含会《整专至论》些它没同A根程尼同者整书写把搞说-1者早方根“程糊于b在于它b在鹰涂者过而其”整A积本质者奇著者地显在对积简积者单东分父整西嗨样（涩难父者难难）在17L懂年妙？得在单分一父议或换普维7叶2得九整而、换皇后者东分分整程反提名简积究对积简积2所以西嗨样逻辑因伦敦简积与对积简积者关『整都个绝C者教果本质因关于负积究A积者对积者授狄摩根者争论整书写把搞摩欧拉互相驳斥整最终者教果程欧拉比较提决整对于A积者理S帮助者程A积谬阿：帕者几何表示2即案A积与早员答者呢对应质来（就象案设积与m线答者呢对应质来一何）整都对想过开始于沃样斯2但程两并没本入虚轴欧拉程英道A积者几何表示者2但程我们它清楚两将都对方过：构九何对f度（两决设义一些错误2可如m各4m客维m4维懂)整A积谬阿：帕者向岁表示方过第一神程1719年由挪威？生者之学者测岁员韦塞尔期Vese745-1818研干麦皇家科学院论文全的一篇论文中给？的，他的方法与现在的方法完全一样整但是这一意义重大的结果一直没有被注意，直到1897年译成法文重新发表后才被人们重视。瑞士的阿尔冈（Argand）（1768-1822）也是自学成才的，他给出了一个略有不同的向量解释，引进了复数的长度和角度，将复数表达为r(cosα+isinα），并在此基础上进行复数的运算，证明几何和三角中的结果。高斯(Gauss)(1777-1855)在证明代数基本定理时当然要用到复数。他在1825年曾在一封信中5
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