第8章二次型 8.1二次型和对称矩阵 8.2复数域和实数域上的二次型 8.3正定二次型 8.4主轴问题 1首页上页返回下页结束 铃
1 首页 上页 返回 下页 结束 铃 第8章 二次型 8.1 二次型和对称矩阵 8.2 复数域和实数域上的二次型 8.3 正定二次型 8.4 主轴问题
我思故我在。 笛卡儿 (Rene Descartes,1596-1650) 如果我能够看的更远,那是因为我站在巨人 的肩上。 牛顿( Newton,1642-1727) 2首页上页返回下页结束 铃
2 首页 上页 返回 下页 结束 铃 我思故我在。 -----笛卡儿(Rene Descartes， 1596-1650) 如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人 的肩上。 --- 牛顿（Newton,1642－1727）
81二次型和对称矩阵 内容分布 8.1.1二次型及矩阵 8.12线性变换 8.1.3矩阵的合同 8.14二次型的标准形 二教学目的 1掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形 三重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形 3首页上页返回下页结束 铃
3 首页 上页 返回 下页 结束 铃 8.1 二次型和对称矩阵 一.内容分布 8.1.1 二次型及矩阵 8.1.2 线性变换 8.1.3 矩阵的合同 8.1.4 二次型的标准形 二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形 三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形
8.1.1二次型及矩阵 定义1设F是一个数域,F上m元二次齐次多项式 (1)q(x1,x2,…,xn)=a1x12+a2x2+…+anmx +2a12x1x2+2a1x1x3+…+2a n-1,n4n-1n 叫做F上的一个n元二次型。 F上n元多项式总可以看成F上的n个变量的函 数,二次型(1)定义了一个函数g:F"→F.所 以n元二次型也叫n个变量的二次型 在(1)中令"n=an(1≤j≤m).因为xx=xx, 所以(1)式可以写成以下形式: 4首页上页返回下页结束 铃
4 首页 上页 返回 下页 结束 铃 8.1.1 二次型及矩阵 定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 （1） n n n n n nn n a x x a x x a x x q x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 ( , , , ) + + + + − − = + + + 叫做F上的一个n 元二次型。 F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函 数，二次型（1）定义了一个函数 所 以n 元二次型也叫n 个变量的二次型. q : F F. n → 在（1）中令 因为 所以（1）式可以写成以下形式： a a (1 i, j n). ij = ji , i j j i x x = x x
)=∑∑ (2)q(x,x,¨、xn)网乡r 分- 令A=(an)是(2)式右端的系数所构成的矩阵称 为二次型q(x1,x2,…,x)的矩阵。因为=an, 所以A是F上的一个n阶对称矩阵,利用矩阵的乘 法,(2)式可以写成 (3)q(x1,x2,…,xn)=(x1,x2,…,x)+2 二次型(3)的秩指的就是矩阵A的秩。 5首页上页返回下页结束 铃
5 首页 上页 返回 下页 结束 铃 （2） = = = = n i n j n ij i j ij ji q x x x a x x a a 1 1 1 2 ( , ,, ) , 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称 为二次型 的矩阵。因为 , 所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘 法，（2）式可以写成 ( ) 令A = aij ( , , , ) q x1 x2 xn ij ji a = a （3） = n n n x x x q x x x x x x A 2 1 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩