清华大学：《微积分》课程教学资源_习题集 第八部分 常微分方程

第八部分常微分方程第1页共16页 第八部分常微分方程 [填空题] 1.微分方程y+ ytan x-cosx=0的通解为y=(x+C)cosx 2.过点(,0)且满足关系式 y arcsin x+ =1的曲线方程为 yarcsn x=x- 3.微分方程xy"+3y2=0的通解为y=C1+。 4.设y1(x)y2(x)y3(x)是线性微分方程y”+a(x)y+b(x)y=f(x)的三个特解,且 y2(x)-y)≠C,则该微分方程的通解为 y3(x)-y1(x) y=C1(y2(x)-y1(x)+C2(3(x)-y1(x)+y(x)。 5.设y1=3+x2,y2=3+x2+e-是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解,且相应齐次 方程的一个解为y3=x,则该微分方程的通解为y=3+x2+C1x+C2e- 6.设出微分方程y”-2y-3y=x+xe-x+ecos2x的一个特解形式 y=Ax+B+x(Cx+ D)e +e (ecos 2x+ Fsin 2x) 7.微分方程y-2y+2y=e的通解为y=e(1+C1cosx+C2Snx) 8.微分方程y”-4y=e2的通解为y=C1e-2x+C2+xe2x。 9.函数y=C1cos2x+C2Sn2x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为y”+4y=0 10若连续函数f(x)满足关系式f(x)=(2+m2,则(x)=cm2 [选择题] 1.设曲线积分U(x)-e]smyt-f(x)osyh与路径无关,其中f(x)具有一阶连续 导数,且f(0)=0,则∫(x)等于[

第八部分 常微分方程 第 1 页 共 16 页 1 第八部分 常微分方程 [填空题] 1．微分方程 y  + y tan x − cos x = 0 的通解为 y = (x + C) cos x 。 2．过点 ,0) 2 1 ( 且满足关系式 1 1 arcsin 2 = −  + x y y x 的曲线方程为 2 1 y arcsin x = x − 。 3．微分方程 xy  + 3y  = 0 的通解为 2 2 1 x C y = C + 。 4．设 ( ), ( ), ( ) 1 2 3 y x y x y x 是线性微分方程 y  + a(x) y  + b(x) y = f (x) 的三个特解，且 C y x y x y x y x  − − ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 1 ，则该微分方程的通解为 ( ( ) ( )) (( ( ) ( )) ( ) 1 2 1 2 3 1 1 y = C y x − y x +C y x − y x + y x 。 5．设 x y x y x e − = + = + + 2 2 2 1 3 , 3 是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次 方程的一个解为 y = x 3 ，则该微分方程的通解为 x y x C x C e − = + + 1 + 2 2 3 。 6．设出微分方程 y y y x xe e x x x  − 2  − 3 = + + cos2 − 的一个特解形式 ( ) ( cos2 sin 2 ) * y Ax B x Cx D e e E x F x x x = + + + + + − 。 7．微分方程 x y  − 2y  + 2y = e 的通解为 (1 cos sin ) 1 2 y e C x C x x = + + 。 8．微分方程 x y y e 2  − 4 = 的通解为 x x y C e C x e 2 2 2 1 4 1       = + + − 。 9．函数 y C cos2x C sin 2x = 1 + 2 满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 y  + 4y = 0 。 10．若连续函数 f (x) 满足关系式 ) ln 2 2 ( ) ( 2 0 = +  x dt t f x f ，则 f (x) = ln 2 2 x e 。 [选择题] 11．设曲线积分  − − L x [ f (x) e ]sin ydx f (x)cos ydy 与路径无关，其中 f (x) 具有一阶连续 导数，且 f (0) = 0 ，则 f (x) 等于[ ]

第八部分常微分方程第2页共16页 (c)-(e +e)-1 D)1--(ex+e-x) 答 注:根据题意,-f(x)cosy=[f(x)-ex]cosy,解得f(x)=ex+Cex。由 f(0)=0,得C 所以f(x)=(ex-e-x),即选项(B)正确 12.若函数y=cos2x是微分方程y+p(x)y=0的一个特解,则该方程满足初始条件 y(0)=2的特解为[] y=cos2x+2。 B)y=cos2x+1。 (C)y=2cosx y=2cos 2x 答D 注:根据解的结构,通解为y=Ccos2x,由y(0)=2得C=2。故选项①D)正确 其他选项经验证不满足方程或定解条件。 13.设函数y(x),y2(x)是微分方程y+p(x)y=0的两个不同特解,则该方程的通解为 (A)y=Cy+C2y2 (B)y=y+Cy2 (C)y=y1+C(y1+y2) (D)y=C(,-y) 注:因为y1(x),y2(x)是微分方程y+p(x)y=0的两个不同特解,所以y2-y是该 方程的一个非零特解。根据解的结构,其通解为y=C(y2-η),即选项ωD)正确。另:根 据通解定义,选项(A)中有两个任意常数,故其不对。当y2≡0时,选项(B)不对。当y2=-y 时,选项(C)不对。 14.已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Ay=2x+(Ax)y(0)=z,则y()等于 (A)2丌。(B) (C)e4。(D)x 2

第八部分 常微分方程 第 2 页 共 16 页 2 (A) ( ) 2 1 x x e − e − 。 (B) ( ) 2 1 x x e e − − 。 (C) ( ) 1 2 1 + − x −x e e 。 (D) ( ) 2 1 1 x x e e − − + 。 答 B 注：根据题意， f x y f x e y x − ( )cos = [ ( ) − ]cos ，解得 x x f x e Ce− = + 2 1 ( ) 。由 f (0) = 0 ，得 2 1 C = − ，所以 ( ) 2 1 ( ) x x f x e e − = − ，即选项(B)正确。 12．若函数 y = cos 2x 是微分方程 y  + p(x) y = 0 的一个特解，则该方程满足初始条件 y(0) = 2 的特解为[ ] (A) y = cos 2x + 2 。 (B) y = cos 2x +1。 (C) y = 2cos x。 (D) y = 2cos 2x 。 答 D 注：根据解的结构，通解为 y = C cos 2x ，由 y(0) = 2 得 C = 2 。故选项(D)正确。 其他选项经验证不满足方程或定解条件。 13．设函数 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是微分方程 y  + p(x) y = 0 的两个不同特解，则该方程的通解为 [ ] (A) 1 1 2 2 y = C y +C y 。 (B) 1 Cy2 y = y + 。 (C) ( ) 1 1 2 y = y +C y + y 。 (D) ( ) 2 1 y = C y − y 。 答 D 注：因为 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是微分方程 y  + p(x) y = 0 的两个不同特解，所以 2 1 y − y 是该 方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为 ( ) 2 1 y = C y − y ，即选项(D)正确。另：根 据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当 y2  0 时，选项(B)不对。当 2 1 y = −y 时，选项(C)不对。 14．已知函数 y = y(x) 在任意点 x 处的增量 +  =  +   = ( ), (0) 1 2 o x y x y x y ，则 y(1) 等于 [ ] (A) 2 。 (B)  。 (C) 4  e 。 (D) 4  e

第八部分常微分方程第3页共16页 答D 注:根据微分定义及微分与导数的关系得y=-,解得hy= arctan x+C,由 1+x y(0)=z,得C=hz,所以y(1)=mml=me4。因此选项(D)正确。 15.设函数y=f(x)是微分方程y-2y+4y=0的一个解。若f(x0)>0,f(x0)=0 则函数f(x)在点x0[] (A)取到极大值 (B)取到极小值 (C)某个邻域内单调增加。 (D)某个邻域内单调减少。 答A 注:因为∫(x0)=0,f"(x0)=-4f(x0)<0,所以选项(A)正确。 16.设y1,y2是二阶常系数线性齐次方程y”+m+q=0的两个特解,C1,C2是两个任 意常数,则下列命题中正确的是[] (A)C1y1+C2y2一定是微分方程的通解 (B)C1y+C2y2不可能是微分方程的通解。 (C)C1y1+C2y2是微分方程的解 D)Ciy1+C2y2不是微分方程的解。 答C 注:根据叠加原理,选项(C)正确,选项(D)错误。当η,y2线性相关时,选项(A) 错误,当y,y2线性无关时,选项(B)错误。 17.微分方程y-y=ex+1的一个特解应具有形式[] qe-t b (B)axe2+b。 (D)axe+ bx 答B

第八部分 常微分方程 第 3 页 共 16 页 3 答 D 注：根据微分定义及微分与导数的关系得 2 1 x y y +  = ，解得 ln y = arctan x + C ，由 y(0) =  ，得 C = ln  ，所以 arctan1 4 (1)  y = e = e 。因此选项(D)正确。 15．设函数 y = f (x) 是微分方程 y  − 2y  + 4y = 0 的一个解。若 f (x0 )  0, f (x0 ) = 0 ， 则函数 f (x) 在点 0 x [ ] (A) 取到极大值。 (B) 取到极小值。 (C) 某个邻域内单调增加。 (D) 某个邻域内单调减少。 答 A 注：因为 f (x0 ) = 0， f (x0 ) = −4 f (x0 )  0 ，所以选项(A)正确。 16. 设 1 2 y , y 是二阶常系数线性齐次方程 y  + py  + qy = 0 的两个特解， 1 2 C ,C 是两个任 意常数，则下列命题中正确的是[ ] （A） 1 1 2 2 C y +C y 一定是微分方程的通解。 （B） 1 1 2 2 C y +C y 不可能是微分方程的通解。 （C） 1 1 2 2 C y +C y 是微分方程的解。 （D） 1 1 2 2 C y +C y 不是微分方程的解。 答 C 注：根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。当 1 2 y , y 线性相关时，选项（A） 错误, 当 1 2 y , y 线性无关时，选项（B）错误。 17. 微分方程  − = +1 x y y e 的一个特解应具有形式[ ] (A) ae b x + 。 (B) axe b x + 。 (C) ae bx x + 。 (D) axe bx x + 。 答 B

第八部分常微分方程第4页共16页 注:相应齐次方程的特征根为1,-1,所以y”-y=e的一个特解形式为axe2 y"-y=1的一个特解形式为b。根据叠加原理,原方程的一个特解形式为axe2+b,即选 项(B)正确。其他选项经检验不满足方程 18.具有特解y=ex,y2=2xex,y3=3e的三阶线性常系数齐次微分方程是 (A)y"-y”-y+y=0 (B)y"+y”-y-y=0 6y”+11y-6y=0 2y=0 答B 注:根据题意,1,-1是特征方程的两个根,且-1是重根,所以特征方程为 (-1)(4+1)2=A3+x2-2-1=0。故所求微分方程为y”+y"-y2-y=0,即选项() 正确。 19.设y1=ex,y2=x是三阶线性常系数齐次微分方程y"+ay”+by'+cy=0的两个特 解,则a,b,c的值为[] B)a=1,b=1,c=0 (C)a=-1,b=0,c=0 (D)a=1,b=0,c=0。 答C 注:根据题意,1,0是特征方程的两个根,且0是重根,所以特征方程为 (2-1)2=23-2=0。故原微分方程应为y"-y”=0,所以a=-1,b=0,c=0即选 项(C)正确 20.设二阶线性常系数齐次微分方程y”+by+y=0的每一个解y(x)都在区间(0,+∞)上 有界,则实数b的取值范围是[] (A)b≥0。(B)b≤0。(C)b≤4。①D)b≥4 答A 注:因为当b≠+2时,y(x)=C1e C ,所以,当b2

第八部分 常微分方程 第 4 页 共 16 页 4 注：相应齐次方程的特征根为 1, −1 ，所以 x y  − y = e 的一个特解形式为 x axe ， y  − y = 1 的一个特解形式为 b 。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为 axe b x + ，即选 项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。 18. 具有特解 x x x y e , y 2xe , y 3e 1 = 2 = 3 = − − 的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ] (A) y  − y  − y  + y = 0。 (B) y  + y  − y  − y = 0。 (C) y  − 6y  +11y  − 6y = 0。 (D) y  − 2y  − y  + 2y = 0 。 答 B 注： 根据题意， 1, −1 是特征方程的两个根，且 −1 是重根，所以特征 方程为 ( 1)( 1) 1 0 2 3 2  −  + =  +  −  − = 。故所求微分方程为 y  + y  − y  − y = 0 ，即选项(B) 正确。 19. 设 y e y x x 1 = , 2 = 是三阶线性常系数齐次微分方程 y  + ay  + by  + cy = 0 的两个特 解，则 a,b, c 的值为[ ] (A) a = 1,b = −1,c = 0。 (B) a = 1,b = 1,c = 0 。 (C) a = −1,b = 0,c = 0。 (D) a = 1,b = 0,c = 0 。 答 C 注 ： 根 据 题意 ， 1, 0 是 特 征 方 程的 两 个根 ， 且 0 是 重 根 ，所 以 特征 方 程 为 ( 1) 0 2 3 2  −  =  −  = 。故原微分方程应为 y  − y  = 0 ，所以 a = −1,b = 0,c = 0 即选 项(C)正确。 20. 设二阶线性常系数齐次微分方程 y  + by  + y = 0 的每一个解 y(x) 都在区间 (0,+) 上 有界，则实数 b 的取值范围是[ ] (A) b  0。 (B) b  0。 (C) b  4。 (D) b  4。 答 A 注：因为当 b  2 时， x b b x b b y x C e C e 2 4 2 2 4 1 2 2 ( ) − − − + − − = + ，所以，当 4 0 2 b − 

第八部分常微分方程第5页共16页 时,要想使卫()在区间(0+∞)上有界,只需要b+√b2-4≥0.b-Vb2-4≥0,即 b>2。当b2-4<0时,要想使y(x)在区间(0+∞)上有界,只需要b+√b2-4与 b-Vb2-4的实部大于等于零,即0≤b<2。当b=2时,y(x)=C1e-+C2x在区 间(0+∞)上有界。当b=-2时,y(x)=Ce2+C2xe(C12+C2≠0)在区间(0+∞)上无 界。综上所述,当且仅当b≥0时,方程y”+by+y=0的每一个解y(x)都在区间(0,+∞) 上有界,即选项(A)正确。 [解答题] 21.求微分方程x√+y2+y√+x2=0的通解 解:方程两端同乘以 得 0 1+ 此方程是一个变量分离方程,其通解为 C(C>2) 22.求微分方程+-y= 的通解 解:这是一个一阶线性微分方程,求解其相应的齐次方程 dy I y 得其通解为 令y=Cx),代入原方程,得 xc(x)-C(x), c(x) sin x 解得 C(x)=-cos x+C 所以原方程的通解为

第八部分 常微分方程 第 5 页 共 16 页 5 时，要想使 y(x) 在区间 (0,+) 上有界，只需要 4 0, 4 0 2 2 b + b −  b − b −  ，即 b  2 。当 4 0 2 b −  时，要想使 y(x) 在区间 (0,+) 上有界，只需要 4 2 b + b − 与 4 2 b − b − 的实部大于等于零，即 0  b  2 。当 b = 2 时， x x y x C e C xe − − = 1 + 2 ( ) 在区 间 (0,+) 上有界。当 b = −2 时， x x y x C e C xe 1 2 ( ) = + ( 0) 2 2 2 C1 +C  在区间 (0,+) 上无 界。综上所述，当且仅当 b  0 时，方程 y  + by  + y = 0 的每一个解 y(x) 都在区间 (0,+) 上有界，即选项(A)正确。 [解答题] 21．求微分方程 1 1 0 2 2 x + y + yy  + x = 的通解。 解：方程两端同乘以 dx 1 y 1 x 2 2 + + ，得 xdx x ydy 1 1 y 0 2 2 + + + = ， 此方程是一个变量分离方程，其通解为 1 1 ( 2) 2 2 + y + + x = C C  。 22．求微分方程 dy dx x y x x + = 1 sin 的通解。 解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程 dy dx x + y = 1 0， 得其通解为 x C ln y = ln ，即 x C y = 。 令 x C x y ( ) = ，代入原方程，得 x x x C x x xC (x) C(x) ( ) sin 2 2 + =  − ， 解得 C(x) = −cos x + C 。 所以原方程的通解为