清华大学：《微积分》课程教学资源_第三章 向量值函数与空间曲线（3.1）向量函数的导数与积分（课后作业）

第三章向量值函数与空间曲线 第三章空间曲线的基本知识 第九讲向量函数的微分与积分 课后作业 阅读:第三章第一节向量函数的导数与积分pp8-85 预习:第三章第二节曲线的弧长p85--87 第三节向量函数的导数与积分p.:87--94 作业 1.证明d)是常向量的充要条件是a()=0。 证明2G()×2(1)=(1)×1()+元()x() 4.设向量函数(满足d0)a=0,d(0)×d=0,证明()是常向量 5.证明F(t)=(2t-1,t2-2,-t2+4t)为共面向量函数 6.证明:r()=ar2+b12+c,为共面向量函数的充要条件是abc)=0 7.试证明= sint e)-∞<t<+∞ 与=( nu sin in uu)0<u<+ 是同一条曲线的两种不同的表示式。 第一节向量函数的微分与积分 本章将介绍微分几何中一些初等的内容,主要是研究三维空 间中曲线、曲面的一点附近的性质和某些整体性质。具体是三维 空间中的曲线在一点处的切线、法平面、密切平面、副法线、从 切平面、主法线的方程;曲线上的活动标架( Frenet标架);曲 线的曲率和挠率的计算以及某些特殊的平面曲线和空间曲线。 3-1向量函数及其分析运算 3.1.1向量函数 首先,考虑向量函数R2→R:而()={)t∈E]的一些分析 性质如极限、连续、微分、积分等。 如果令F()=OP,通常称为P点 的向径,也称产()为点P的位置向 量。则产()的图形是t从a变到 B时,点P的轨迹,当 减(y():0∈c月时,点P的轨迹x 第三章向量值函数与空间曲线

第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 1 第三章 空间曲线的基本知识 第九讲 向量函数的微分与积分 课后作业： 阅读：第三章 第一节向量函数的导数与积分 pp. 81---85 预习：第三章 第二节 曲线的弧长 pp.85---87 第三节 向量函数的导数与积分 pp.87---94 作业: 1. 证明 a(t)  是常向量的充要条件是 a (t) = 0  。 2. 证明 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 r t r t r t r t r t r t dt d  =   +         4. 设向量函数 a(t)  满足 a(t) a  = 0, a(t)a  = 0     ，证明 a(t)  是常向量。 5. 证明 ( ) (2 1, t - 2,- t + 4t) 2 2 r t = t −  为共面向量函数。 6. 证明： r t at b t c t     = + + 3 2 ( ) , 为共面向量函数的充要条件是 (a b c ) = 0    。 7. 试证明 1 = ( sin ), -  < t < + t r t t e  与 r2 = (ln u sin ln u u), 0 < u < +  是同一条曲线的两种不同的表示式。 第一节 向量函数的微分与积分 本章将介绍微分几何中一些初等的内容，主要是研究三维空 间中曲线、曲面的一点附近的性质和某些整体性质。具体是三维 空间中的曲线在一点处的切线、法平面、密切平面、副法线、从 切平面、主法线的方程；曲线上的活动标架（Frenet 标架）；曲 线的曲率和挠率的计算以及某些特殊的平面曲线和空间曲线。 3-1 向量函数及其分析运算 3.1.1 向量函数 首先, 考虑向量函数 R → R 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ,        = t z t y t x t r t  的一些分析 性质如极限、连续、微分、积分等。 如果令 r(t) = OP  ,通常称为 P 点 的向径，也称 r(t)  为点 P 的位置向 量。 则 r(t)  的图形是 t 从  变到  时，点 P 的轨迹，当 x(t), y(t),z(t)C, 时，点 P 的轨迹是 3 R 中的一条连续的空间 z r(t)  0 y x

第三章向量值函数与空间曲线 曲线I(如右图所示)。 当F()不随t变化而分别为常数时,则(称为常向量,表示 R3中的一个点 例如,在空间直角坐标系0xyz中,向量函数 ()={y+m,t∈(-m+ 20+n 是通过点M(x,y2)方向向量为2=m的一条直线 又如r()= Rsin ot,t∈D.,+∞) 是一条圆柱螺线,它是点P(起始位置为(R00),距z轴始终 为R)以等角速度ω绕z轴旋转,以等速度ν沿z轴方向移动的 轨迹 在平面直角坐标系0中,向量函数()={0∈B 表示一条颊曲线,例如 r∈02z],表示以原点为中心,以R为半径的圆 Rsin t a cos t F(t)= ∈[0,2],表示一个椭圆 =pw8eb2x],a>0表示的曲线叫阿基米德螺线, esn e 其极坐标方程为 (X=√acos)+(aosm)=a 3.1.2向量函数的分析性 考虑向量函数R3→R:而()={y)t∈[a,川的极限、连续 可和微性性质。 (1)极限:定义m产()=my(),等价于 lim 第三章向量值函数与空间曲线 2

第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 2 曲线 （如右图所示）。 当 r(t)  不随 t 变化而分别为常数时，则 r(t)  称为常向量，表示 3 R 中的一个点。 例如，在空间直角坐标系 Oxyz 中，向量函数： ( ) (−  +)      + + + = , , 0 0 0 t z nt y mt x l t r t  ， 是通过点 ( ) 0 0 0 0 M x , y ,z 、方向向量为           = n m l   的一条直线； 又如 sin , t [0, + ) cos ( )        = vt R t R t r t   是一条圆柱螺线，它是点 P（起始位置为 (R 0 0) ，距 z 轴始终 为 R ）以等角速度  绕 z 轴旋转，以等速度 v 沿 z 轴方向移动的 轨迹。 在平面直角坐标系 Oxy中，向量函数 ( ) ( ) ( ) ,      = t y t x t r t  表示一条颊曲线，例如: ( ) 0,2  sin cos     = t R t R t r t  ,表示以原点为中心，以 R 为半径的圆； ( ) 0,2  sin cos     = t b t a t r t  ,表示一个椭圆。 ( )        0,2 sin cos     = t a a r t  , a  0 表示的曲线叫阿基米德螺线， 其极坐标方程为 r(t) = (a  ) + (a  ) = a 2 2 cos sin  。 3.1.2 向量函数的分析性 考虑向量函数 R → R 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ,        = t z t y t x t r t  的极限、连续 可和微性性质。 (1) 极限：定义 = → lim ( ) 0 r t t t  ( ) ( ) ( )            → → → z t y t x t t t t t t t 0 0 0 lim lim lim , 等价于

第三章向量值函数与空间曲线 VE>0,36>0.(6<m)v∈B'(n,b)恒有()-l<E 其中()-=√x(O)-x)2+(1()-y)2+(0)-=)2。 向量函数极限运算的下列性质: 若mA(t),mr(t),m(),mz()都存在,则 (1)lim 2(or(o=lim (t)lim r(t) (2)im(()±E2()=m()±mE2( r-0 r→to (3)lnF()1(1)=lm F(),lm() (4)m(t)×F2(r)=lmF()xlm2() 其中()是数值函数 (2)连续:若向量函数r(t)在B(to,n)有定义,且m()=F(t0) 则称产()在t=0处连续。 显然,产()在t=10处连续的充要条件是它的分量x(t)、y(t)、 z(t)在to连续。 同样由性质(1)-(4)可知,若数值函数x(t)和向量函数r()、 元(),()在t连续,则0)f()、元()土()、()z()、 ()×z()均在t连续 若向量函数r()在某个区间上每点都连续,则称产()在该区间 上连续。 (3)导数与微分: 向量函数产()在点t∈ab处的微分为 x()(x() dF()=|dy(0)|=y()ah, f(s+少△ ()(= 向量函数产()在点t∈ab]处的导数 dt 二1( 导向量的几何意义: 设向量函数(2-1)在[n上可微,它对应的连续曲线为C(如 上图)。to,lo+M∈{a,bf(t0+△)对应曲线C上两个点,它们决 定一个向量A,即 A=F(10+M)-r(t0), 当At>0时,与△F同向:当At<0时,与△F反向。因此 第三章向量值函数与空间曲线

第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 3 0, 0,( ), ( , ), 0 *       t  B t  恒有 ( )−   0 r t r  。 其中 ( ) 2 0 2 0 2 0 0 r t − r = (x(t) − x ) + (y(t) − y ) + (z(t) − z )  。 向量函数极限运算的下列性质： 若 lim ( ) 0 t t t  → , lim ( ) 0 r t t t  → , lim ( ) 1 0 r t t t  → , lim ( ) 2 0 r t t t  → 都存在, 则 (1) lim ( ) ( ) lim ( )lim ( ); 0 0 0 t r t t r t t t t t t t   → → →  =  (2) lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ); 1 2 1 2 0 0 0 r t r t r t r t t t t t t t     → → →  =  (3) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ); 1 2 1 2 0 0 0 r t r t r t r t t t t t t t     → → →  =  (4) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ); 0 0 0 1 2 1 2 t t t t t t r t r t r t r t → → →  =      其中 (t) 是数值函数 (2) 连续: 若向量函数r(t)在B(t0, )有定义，且 lim ( ) ( ), 0 0 r t r t t t   = → 则称 r(t)  在 0 t =t 处连续。 显然， r(t)  在 0 t =t 处连续的充要条件是它的分量 x(t)、y(t)、 z(t)在 t0连续。 同样由性质(1)-(4)可知，若数值函数(t)和向量函数 r(t)  、 r (t) 1  , r (t) 2  在 t0连续，则 (t)r(t)   、r (t) r (t) 1 2    、r (t) r (t) 1 2    、 r (t) r (t) 1 2    均在 t0连续。 若向量函数 r(t)  在某个区间上每点都连续，则称 r(t)  在该区间 上连续。 (3) 导数与微分: 向量函数 r(t)  在点 t [a,b] 处的微分为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dt, z t y t x t d z t d y t d x t d r t              =           =  向量函数 r(t)  在点 t [a,b] 处的导数： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )              =  +  − = → z t y t x t t r t t r t d t d r t t t    0 lim ( ) ， 导向量的几何意义： 设向量函数(2-1)在 a,b 上可微，它对应的连续曲线为 C（如 上图）。 t , [ , ], ( ) 0 0 0 t + t  a b r t + t  对应曲线 C 上两个点，它们决 定一个向量 r   ，即 ( ) ( ) 0 0 r r t t r t     = +  − , 当 t  0 时， t r    与 r   同向：当 t  0 时，   r t 与 r   反向。因此， z r(s + s)  r   r(s)  r(0)  0 y x

第三章向量值函数与空间曲线 当Mt→0时,的极限产)为非零向量时,它是由线C在点to 处的切线向量,其正方向指向t增加的方向 如果F(0)≠0,则称to点曲线C的正则点 否则称to点为奇点; 当曲线C上的点都是正则点时,就称C为正则曲线; 当产(t0)在[a,b]上处处有不等于零的连续导函数时,曲线C 称为光滑曲线。 F(t0)≠0是曲线C在点to处切线存在的充分条件,但非必 要条件,例如F=(2,,0y是半三次抛物线!=x3的参数方 Z=0 程,在t=0处(即在原点0处),严(0)=0, 故原点是曲线的奇点,但曲线在原点有切线y=z=0。 向量函数具有下列求导法则 )dG±2)历12 dt dt G d r d t dt (4) G×F)=x+R d (5)(行,2,7) ,2,3 F (6)对复合向量函数F=f(u),=l(1),有 dr dt du dt 例 dge (1)×s())=lim r(t+h)xs(t+h)-r(1)×s(1) h r(t+h)×s(t+h)-r(t+h)×s(1)+r(t+h)×s()-r(1)×s(1) h→0 h mG(+h×2(+b(+0×(+b)=r(1 r()×4s(a)+s(a)×4r(n) 向量函数的高阶导函数: 向量函数r(t)的导数称为r()的二阶导数,记作"(t),更高 第三章向量值函数与空间曲线

第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 4 当 t → 0 时， t r    的极限 ( ) 0 r  t  为非零向量时，它是由线 C 在点 t0 处的切线向量，其正方向指向 t 增加的方向. 如果 r (t 0 )  0  ，则称 t0点曲线 C 的正则点； 否则称 t0点为奇点； 当曲线 C 上的点都是正则点时，就称 C 为正则曲线； 当 ( ) 0 r t  在[a,b]上处处有不等于零的连续导函数时，曲线 C 称为光滑曲线。 r (t 0 )  0  是曲线 C 在点 t0处切线存在的充分条件，但非必 要条件，例如 T r (t ,t ,0) 2 3 =  是半三次抛物线 y x z 2 3 0 = =    的参数方 程，在 t=0 处（即在原点 O 处）， r (0) = 0  , 故原点是曲线的奇点，但曲线在原点有切线 y=z=0。 向量函数具有下列求导法则： (1) dt dr r dt d r dt d       = + ； (2) dt dr dt dr dt d r r 1 2 1 2 ( )     =   ； (3) dt dr r r dt dr r r dt d 2 2 1 1 1 2 ( )        =  +  ,特别 dt dr r r dt d    = 2  2 ； (4) dt dr r r dt dr r r dt d 2 2 1 1 1 2 ( )        =  +  ； (5)        +       +      = dt dr r r r dt dr r r r dt dr r r r dt d 3 3 1 2 2 2 3 1 1 1 2 3 ( , , ) , , , , , ,             ； (6) 对复合向量函数 r = r(u),u = u(t),   有 dt du du dr dt dr   = 。 例如： ( ) ( ) ( ) ( ). ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) lim 0 0 0 r t dt d s t s t dt d r t h r t h r t s t h s t h s t r t h h r t h s t h r t h s t r t h s t r t s t h r t h s t h r t s t r t s t dt d h h h → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → =  +  + − +  + − = +  +  + − +  + +  −  = +  + −   = 向量函数的高阶导函数： 向量函数 r (t)  的导数称为 r(t)  的二阶导数，记作 r (t)  ，更高

第三章向量值函数与空间曲线 阶的导数依此类推,我们有 若向量函数f(1)的n阶导函数ro(t)连续,则称F()是C类 的向量函数,记作F()∈C 向量函数f(1)∈C"的充要条件是它的每一个分量 x(t)y(t)-()∈Cn。 为了能讨论图形的更多的几何性质,以后在讨论向量函数时 都假定f(1)在所需要的阶数内是可微的,不再作单独说明。 (4)向量函数的 Taylor公式: 设向量函数r()=(x()y()、z()∈C"[a,b则其中三个数 值函数在点t∈(a,b)处可展成(n-1)阶泰勒公式,得 x(+△)=x()+x"(D)△+ x"(t) (△t)2+ (2)(△) y(+M)=y()+y(o+210)(△)+ (m)、m1,ym(2) (t+△r)=(1)+( 2! 其中ξ,ξ,ξ,是三个在t与t+Δt之间的值,t看成固定值,以 上三式等价于下面量函数的式子: (n-1) r(+M)=r()+r'(t)M+xr"(1)2+…+ (△)y+Rn1(△)”, 其中Rn-n 1(o(5)y°(5A2="( 上式称为向量函数f()在点t∈(a,b)处的n-1阶泰勒公式 注意其中反一般不能写成1r((),(在t+M之间,的形式, 因为R中三个分量分别取值于ξ,,ξ3,而它们一般是不相等 的,这和数量函数的泰勒公式不同。 由于r(t)∈C",x(1),ym(),=m(t)都是t的连续函数,而ξ, 52,23又都在t和t+△t之间,所以 瓦=1("(5)y"(2)=(5 第三章向量值函数与空间曲线

第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 5 阶的导数依此类推，我们有 n n n n T r (t) (x (t), y (t),z (t)) ( ) ( ) ( ) ( ) =  。 若向量函数 r(t)  的 n 阶导函数 ( ) ( ) r t  n 连续，则称 r(t)  是 C n类 的向量函数，记作 n r(t) C  。 向量函数 n r(t) C  的充要条件是它的每一个分量 ( ) ( ) ( ) n x t , y t ,z t C 。 为了能讨论图形的更多的几何性质，以后在讨论向量函数时， 都假定 r(t)  在所需要的阶数内是可微的，不再作单独说明。 (4) 向量函数的 Taylor 公式： 设向量函数 r(t) (x(t) y(t) z(t)) C [a,b] T n = 、 、   则其中三个数 值函数在点 t (a,b) 处可展成(n-1)阶泰勒公式，得 n n n n t n x t n x t t n x t x t t x t x t t ( ) ! ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 1) 2  +  − +  +  +  = +   + − −   , n n n n t n y t n y t t y t y t t y t y t t ( ) ! ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( 1) 2  +  − +  +  +  = +   + − −   , n n n n t n z t n z t t z t z t t z t z t t ( ) ! ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 1 ( 1) 2  +  − +  +  +  = +   + − −   , 其中1, 2, 3,是三个在 t 与 t+t 之间的值，t 看成固定值，以 上三式等价于下面量函数的式子： ( ) ( ) , ( 1)! ( ) ( ) 2! 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( 1) 2 n n n n t R t n r t r t t r t r t t r t  +  − +  = +   +  + + − − −        其中 ( ) T n n n n x y z n R ( ), ( ), ( ) ! 1 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) −1 =     。 上式称为向量函数 r(t)  在点 t(a,b)处的 n-1 阶泰勒公式。 注意其中 Rn−1  一般不能写成 ( ) ! 1 ( )  n r n  , (在t,t + t之间) ,的形式， 因为 Rn−1  中三个分量分别取值于1, 2, 3，而它们一般是不相等 的，这和数量函数的泰勒公式不同。 由于 ( ) , ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) r t C x t y t z t n n n n   都是 t 的连续函数，而1, 2, 3又都在 t 和 t+t 之间，所以 ( ) T n n n n x y z n R ( ), ( ), ( ) ! 1 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) −1 =    