《高等数学公式》例题讲解

高等数学公式 导数公式 (gx)=sec x (arcsin x) (secx)=secx·l(g (arccos x) (cscx)y=-cscx·clgx Cart a=a x)= (arcctgx) 基本积分表: igxdx=-In/cosx+C d x ∫cgdx=hnx+ =csc xdx=-ctgx+C ∫ecxd=hex+gx+C ∫ ccxx= In(csc x-ctg对+C secx·lgxx=secx+C dx x+c Irate -+C a-x +c +c x' -a 2a x+a shxdx=chx+C a+x chxdx= shx+c a a-x d arcsin -+C =hn(x+√ 1=|sin"xdk=「cos"xr= x2+a d hx+√x2+a2)+C hx+√x2-a2|+C 三角函数的有理式积分: 1+x,u=1g2,d2m

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 1 2 1 2 1 cos 1 2 sin u du dx x u t g u u x u u x + = = + − = + = ， ， ， x a x a a a x x ctgx x x tgx ctgx x tgx x a x x ln 1 (log ) ( ) ln (csc ) csc (sec ) sec ( ) csc ( ) sec 2 2  =  =  = −   =   = −  = 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arcsin ) x arcctgx x arctgx x x x x +  = − +  = −  = − −  =           = +  +  = + = + = +  = − +  = + = = − + = = + x x a C x a dx chxdx shx C shxdx chx C C a a a dx x ctgxdx x C x tgxdx x C xdx ctgx C x dx xdx tgx C x dx x x ln( ) ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x a x dx C a x a x a x a dx C x a x a x a a dx C a x arctg a x a dx xdx x ctgx C xdx x tgx C ctgxdx x C tgxdx x C = + − + − + = − + + − = − = + + = − + = + + = + = − +         arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csc ln csc sec ln sec ln sin ln cos 2 2 2 2 2 2 2 2      − = − + + − = − − + − + + = + + + + + − = = = − C a a x a x x a x dx x x a C a x a x x a dx x x a C a x a x x a dx I n n I xdx xdx n n n n arcsin 2 2 ln 2 2 ln( ) 2 2 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0  

些初等函数: 两个重要极限: 双曲正弦 双曲余弦:chx im(1+-)2=e=2.718281828459045 双曲正切:thx h(x+√x2+1) +x 21 三角函数公式: 诱导公式 Cos 角 sina cosa -tga-ctga 90°a cosa sina ctga tga 180°- a sina 180°+a sind-cosa I tga 70-a-cosa -sina ctga tga 270°+a 360°-a SIna cOSa Ctga 和差角公式 和差化积公式 Sm(a±B)= sin a cos B± cosasn B sin a+snB=2smna+B B cos(a+B)=cos a cos BFsn asin B a+B. a-B sin a-sin B=2cos g(a±B) c!g(±B)=cac8F1 cosa+cos B=2c0s a+B a cgB±cga cosa-cos B=2sin a+Aci a-B

一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 cos cos 2sin 2 cos 2 cos cos 2cos 2 sin 2 sin sin 2cos 2 cos 2 sin sin 2sin                         + − − = + − + = + − − = + − + =                         ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg    =    =  =  =  1 ( ) 1 ( ) cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin    x x arthx archx x x arshx x x e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x − + = =  + − = + + + − = = + = − = − − − − 1 1 ln 2 1 ln( 1) ln( 1 : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 ) 2.718281828459045... 1 lim (1 1 sin lim 0 + = = = → → e x x x x x x

倍角公式: sin 2a = 2sin a cosa cos 2a=2 c0s2a-1=1-2sin 2 a= cos2 2a sin 3a=3sin a-4sin'a cos 3a=4 cos'a-3cosa C 3tga-tg'a 2t tga tga -ig a 半角公式 1+cosa Cos 2 ±/=cosa sin a 1+cosa 1+cosa sin a 1g 1+cosa sin a 1+cosa I-cosa sin a 1-cosa 正弦定理: =2R 余弦定理:c2=a2+b2-2 abcess A sinb sin C 反三角函数性质: arcsin x=x- arccos x arctan=x- arcata 高阶导数公式——莱布尼兹( Leibniz)公式 n)= (n-k),,(k) ,,n(n-1) =1+n n(n-1)…(n-k+1)(-y()+…+ 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f()b-a) 柯西中值定理:fb)-fa)_f( F(b-F(a F) 当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 曲率

·倍角公式： ·半角公式：                   1 cos sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin − = + = − + =  + = − = + − =  + =  − =  t g ctg ·正弦定理： R C c B b A a 2 sin sin sin = = = ·余弦定理： c a b 2abcosC 2 2 2 = + − ·反三角函数性质： x = − x arctgx = − arcctgx 2 arccos 2 arcsin   高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) ( ) n n n n k k n n k k n k k n n u v uv k n n n k u v n n u v nu v uv C u v + + − − +  + + − = +  + = − − − = −     中值定理与导数应用： 当 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： x x F f F b F a f b f a f b f a f b a =   = − − − =  − F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )    曲率：           2 3 3 3 1 3 3 3 cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin tg tg tg tg − − = = − = −               2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin sin 2 2sin cos t g t g t g ctg ctg ctg − = − = = − = − = − =

弧微分公式:d=√h+y2a,其中y=1ga 平均曲率F△△a:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量:△s:MM狐长 M点的曲率:K=ln ,1y 直线:K=0 半径为a的圆:K= 定积分的近似计算: 矩形法「f(x) b-a (y0+y1+…+yn1) 梯形法:「f(x)≈ b [(y+yn)+y+…+yn-] 抛物线法f(x) b (y+yn)+2(y2+y4+…+yn=2)+4(y1+y ) 定积分应用相关公式: 功:W=F·s 水压力:F=pA 引力:F=km,k为引力系数 函数的平均值=(x 均方根 f(odr b 空间解析几何和向量代数:

. 1 0; . (1 ) M lim . : M M s 1 , 0 2 3 2 a a K K y y ds d s K MM s K ds y dx y t g s = = +   = =   =       = = +   =  → 半径为 的圆： 直线： 点的曲率： 平均曲率： 从 点到 点，切线斜率的倾角变化量； ： 弧长。 弧微分公式： 其中      定积分的近似计算：    − − − − + + + + + + + + + −  + + + + −  + + + −  b a n n n b a n n b a n y y y y y y y y n b a f x y y y y n b a f x y y y n b a f x [( ) 2( ) 4( )] 3 ( ) ( ) ] 2 1 ( ) [ ( ) ( ) 0 2 4 2 1 3 1 0 1 1 0 1 1     抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式：   − − = = =  =  b a b a f t dt b a f x dx b a y k r m m F k F p A W F s ( ) 1 ( ) 1 , 2 2 1 2 均方根： 函数的平均值： 引力： 为引力系数 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数：

空间点的距离:d=M1M=√(x2-x)2+(2-y)+(=2-)2 向量在轴上的投影P元AB= Bcos p,oi是AB与轴的夹角 Pr(a,+a2)=Pr ja,+Pr ja2 ab=园bcos=ab+a,b,+ab,是一个数量 ab +a 两向量之间的夹角:cosb= 1, 6, +a. b √a2+a2+a2Vb2+b2+b2 c=a×b=,a,a=园下m例:线速度:下=x 向量的混合积ba=(axb)=,b,b=×61saa为锐角时, 代表平行六面体的体积。 平面的方程: 1、点法式:A(x-x0)+B(y-y)+C(二--0)=0,其中万={A,B,C},M(x02y0,二0) 2、一般方程:Ax+By+Cz+D=0 3、截距世方程:x+2y+三=1 平面外任意一点到该平面的距离:d=Ax0+B0+C=0+D +B2+C 空间直线的方程:xx=y-=-=1其中=mnp;参数方程:y=0+m 二次曲面: 1、椭球面:+2 2、抛物面 z,(p,q同号) 3、双曲面 单叶双曲面:x+y-=1 双叶双曲面 +二=1(马鞍面) 多元函数微分法及应用

代表平行六面体的体积。 向量的混合积： 为锐角时， 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 向量在轴上的投影： 是 与 轴的夹角。 空间 点的距离：        [ ] ( ) cos , , sin . . cos cos , , Pr ( ) Pr Pr Pr cos , 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 a b c c c c b b b a a a abc a b c c a b v w r b b b a a a i j k c a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b j a a ja ja j AB AB AB u d M M x x y y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x x y y z z x x y y z z u u                           =   = =   =  = =  =  + +  + + + + =  =  = + + + = + =  = = − + − + − 双叶双曲面： （马鞍面） 单叶双曲面： 、双曲面： 、抛物面： （ 同号） 、椭球面： 二次曲面： 空间直线的方程： 其中 参数方程： 平面外任意一点到该平面的距离： 、截距世方程： 、一般方程： 、点法式： ，其中 平面的方程： 1 1 3 , , 2 2 2 1 1 , { , , }; 3 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 0 { , , }, ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − + = + − = + = + + =      = + = + = + = = − = − = − + + + + + = + + = + + + = − + − + − = = c z b y a x c z b y a x z p q q y p x c z b y a x z z pt y y nt x x m t t s m n p p z z n y y m x x A B C Ax By C z D d c z b y a x Ax By C z D A x x B y y C z z n A B C M x y z   多元函数微分法及应用