清华大学：《微积分》课程教学资源_习题集 第六部分 曲线积分与曲面积分

第六部分曲线积分与曲面积分第1页共40页 第六部分曲线积分与曲面积分 1.设曲线L是上半圆周x2+y2=2x,则∫xl=z。 解法1由于L关于直线x=1对称,所以∫(x-1)dl=0,从而 「xd=∫[(x-1)+1kd=j(x-1l+∫dl=0 解法2令L x=1+cost (0≤t≤x),则 y=sn I Jxdl=J(+cost)V(sin ()2+(cos 1)2dt=T 解法3设曲线L的质量分布均匀,则其重心的横坐标为x=1。又因为 所以∫xll 2.设L是上半椭圆周x2+4y2=1y≥0,L是四分之一椭圆周 =1x≥0,y≥0,则 谷 解由于L关于y轴对称,所以 SL xdI=0, JL xydl= JL ydl= 2JL ydl, JLxd=2L xdI,LLyd=2L y4c 注意到xd=2xd≠2l1yd,从而可以排除(A),(B),(O)三个选项,或直接选 出正确选项(D)。 3.计算=∫xdl,其中L是圆周x2+y2=a2上从点A(O,a)经点C(a0)到点 BO

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 1 页 共 40 页 1 第六部分 曲线积分与曲面积分 1．设曲线 L 是上半圆周 x y 2x 2 2 + = ，则  = L xdl  。 解法 1 由于 L 关于直线 x =1 对称，所以 ( −1) = 0 L x dl ，从而  = [( −1) +1] = ( −1) +  = 0 + =  L L L L xdl x dl x dl dl 。 解法 2 令 (0 ) sin 1 cos ,       = = + t y t x t L： ，则    =  + − + = 0 2 2 xdl (1 cost) ( sin t) (cost) dt L 。 解法 3 设曲线 L 的质量分布均匀，则其重心的横坐标为 x =1 。又因为   =   = L L L xdl dl xdl x ， 所以  =  L xdl 。 2 ． 设 L 是 上 半 椭 圆 周 4 1, 0 2 2 x + y = y  ， L1 是 四 分 之 一 椭 圆 周 4 1, 0, 0 2 2 x + y = x  y  ，则 (A)  + =  + L L x y dl x y dl 1 ( ) 2 ( ) 。 (B) L = L xydl xydl 1 2 。 (C) L = L x dl y dl 1 2 2 2 。 (D)  + =  + L L x y dl x y dl 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2 。[ ] 答 D 解 由于 L 关于 y 轴对称，所以  = L xdl 0，  = L xydl 0，  =  1 2 L L ydl ydl ，  =  1 2 2 2 L L x dl x dl ，  =  1 2 2 2 L L y dl y dl 。 注意到 L = L  L x dl x dl y dl 1 1 2 2 2 2 2 ，从而可以排除(A)，(B)，(C)三个选项，或直接选 出正确选项(D)。 3 ． 计算 =  L I xdl ， 其中 L 是圆周 2 2 2 x + y = a 上从点 A(0,a) 经 点 C(a,0) 到 点 ) 2 , 2 ( a a B − 的一段

第六部分曲线积分与曲面积分第2页共40页 解法1取y为自变量,则L的方程为x=a2-y2,其中-2≤y≤a,所以 I=xdl=j x( L 解法2取L的参数方程为{x=a0,其中-≤t≤,所以 2 I=xdl=J2 acostvG-asin 1-+(acost)dt=v2+I 4 解法3由于h=-{x,y是圆周x2+y2=a2的外向单位发向量,所以此圆周的正向单位 切向量为#{-y,x。根据两类曲线积分之间的关系,得 =「xdl=a-d=ad 其中L的方程为x=a2-y2,起点为B(,2),终点为A0,a)。因此 √2+1 dy 4.计算=f(x+√y√x2+y2+x2+y2d,其中L是圆周x2+(y-1)2=1 解由于圆周L关于y轴对称,所以fx√x2+y2d=0,从而 =f(x+√yx2+y2+x2+y2 因为L的参数方程为{ x= cost 0≤t≤2丌,所以 y=l+sn t =(2+√2)yll (2+√2)(+snO)d 2m(2+√2)

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 2 页 共 40 页 2 解法 1 取 y 为自变量，则 L 的方程为 2 2 x = a − y ，其中 y a a −   2 ，所以 2 。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 1 1 ( ) dy a a y y a y I xdl a y x y dy a a a a L +  = − − = − +  = − +  =  − − 解法 2 取 L 的参数方程为    = = sin , cos , y a t x a t 其中 4 2   −  t  ，所以 2 2 4 2 2 2 2 1 I xdl a cost ( asin t) (a cost) dt a L + =  =  − + = −   。 解法 3 由于 { , } 1 x y a n =  是圆周 2 2 2 x + y = a 的外向单位发向量，所以此圆周的正向单位 切向量为 { , } 1 y x a  −  。根据两类曲线积分之间的关系，得 =  =  =  L L L dl a dy a x I xdl a ， 其中 L 的方程为 2 2 x = a − y ，起点为 ) 2 , 2 ( a a B − ，终点为 A(0,a) 。因此 2 2 2 2 1 I a dy a dy a a a L + =  =  = − 。 4．计算 I x y x y x y dl L [( ) ] 2 2 2 2 =  + + + + ，其中 L 是圆周 ( 1) 1 2 2 x + y − = 。 解 由于圆周 L 关于 y 轴对称，所以 [ 0 2 2  x x + y dl = L ，从而 =  + = +  。 =  + + + + L L L y y y dl ydl I x y x y x y dl [ 2 2 ] (2 2) [( ) ] 2 2 2 2 因为 L 的参数方程为    = + = 1 sin , cos , y t x t 0  t  2 ，所以 = +  L I (2 2) ydl 2 (2 2)。 (2 2) (1 sin ) 2 0 = + = +  +     d

第六部分曲线积分与曲面积分第3页共40页 5.已知曲线L是平面x+y+z=0与球面x2+y2+2=R2的交线,计算曲线积分 f(x+y+a)dl L 解法1由于曲线L的方程中的变量x,y,z具有轮换对称性,所以 fxdl=fy-dl=f fxdl= fydl==dr L 因此 4 f( +=)=Rdl L f=f(x+y+M∥、l ∮Odl=0, 从而 4 f( x)dl=f(x+y)dI+f=dl 解法2直接化成定积分进行计算。曲线L x+y+2 0 在x-y平面的投影曲线 x +y +a 是一椭圆,其方程是 +x1 R R x=cost,+y= 令snt,0≤t≤2x,则曲线L的参数方程为 Rcost R 0≤t R R In t OSt

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 3 页 共 40 页 3 5．已知曲线 L 是平面 x + y + z = 0 与球面 2 2 2 2 x + y + z = R 的交线，计算曲线积分  + + L (x y z)dl 2 2 。 解法 1 由于曲线 L 的方程中的变量 x, y,z 具有轮换对称性，所以  =  =  L L L x dl y dl z dl 2 2 2 ，  =  =  L L L xdl ydl zdl ， 因此 2 2 2 2 2 2 3 3 4 3 2 ( ) 3 2 (x y )dl x y z dl R dl R L L L  + =  + + =  =  ， 0 0 3 1 ( ) 3 1  =  + + =  = L L L zdl x y z dl dl ， 从而 2 2 2 2 3 3 4 (x y z)dl (x y )dl zdl R L L L  + + =  + +  =  。 解法 2 直接化成定积分进行计算。曲线 L ：    + + = + + = 2 2 2 2 0 x y z R x y z 在 x − y 平面的投影曲线 是一椭圆，其方程是 2 2 2 2 R x + xy + y = ， 即 2 2 2 3 2 2 2 R y x x  =      + +         。 令 t R y x t R x sin 2 2 cos , 2 2 3 = + = ，0  t  2 ，则曲线 L 的参数方程为          = − − = − = cos , 6 sin 2 cos , 6 sin 2 cos , 3 2 t R t R z t R t R y x R t 0  t  2

第六部分曲线积分与曲面积分第4页共40页 所以 R R R R rsin t I coSt+ sin t cost dr 从而 fx dI==R(cost)Rdt==R fy2d=k(2sin t-cost)2Rdt==R R f=dl=5o (sin t-cost)Rdt=0 因此f(x2+y2+)dl=x2l+fy2+f23+2nB34 6.求柱面x3+y3=1被球面x2+y2+z2=1包围部分的面积S。 解根据第一型曲线积分的几何意义及对称性,得 S=8 dl 其中L是平面曲线{x3+y3=1,在第一象限中的部分。 cos 0 取L的参数方程为 0≤≤-,则 y=sn 6 dl=v(-3cos20sin 8)2+(3sin 20 cos 0) 2d0=3sin 0cos0de 所以

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 4 页 共 40 页 4 所以 t dt Rdt R t R t R t R dl R t =         + −         + +         = − 2 2 2 cos 2 sin 6 sin 6 cos 2 sin 3 2 。 从而 2 2 0 2 2 2 3 2 (cos ) 3 2 x dl R t Rdt R L    =  = ， 2 2 0 2 2 3 2 cos ) 6 sin 2 ( t Rdt R R t R y dl L    =  − = ， cos ) 0 6 sin 2 ( 2 0  =  − − =  t Rdt R t R zdl L ， 因此 2 2 2 2 3 3 3 3 4 0 3 2 3 2 (x y z)dl x dl y dl zdl R R R L L L L  + + =  +  +  =  +  + =  。 6．求柱面 1 3 2 3 2 x + y = 被球面 1 2 2 2 x + y + z = 包围部分的面积 S 。 解 根据第一型曲线积分的几何意义及对称性，得 =  − − L S x y dl 2 2 8 1 ， 其中 L 是平面曲线      = + = 0 1, 3 2 3 2 z x y 在第一象限中的部分。 取 L 的参数方程为     = =   3 3 sin cos y x ， 2 0     ，则 dl ( 3cos  sin ) (3sin  cos) d 3sin  cos d 2 2 2 2 = − + = ， 所以

第六部分曲线积分与曲面积分第5页共40页 8原1-cos°-sin°3 sin ecos 0de 2452 1-(cos 0+sin 0)(cos+0-cos0sin20+sin")sin A cos ede 24J2(cos 0+sin 0)-cos8+cos8sin8-sin*0)sin 0 cos ]d0 24√3 os-6d0=6 (26)d= 7.计算/=3xyax-x3dy,其中L是从点(0.0)经过点(1,0)到点(0,0)的折线段 解设l:y=0,x从0到1;L2:x=1,y从0到1。根据路径可加性,得 =l13x2yk-x2h+23xyk-x2bh=0+(-=-1 8.设L是圆周x2+y2=2x,则f-yz+xd 解1根据格林公式,得 x+xd=[1-(-1)c=2r 解2由于n={x-1,y是L的外向单位法向量,所以z={-y,x-1}就是L的正向单位法 向量。根据两类曲线积分之间的关系,得 f-zx+xd=f-zx+(x-1)+fd=f(-y)2d+(x-1)2d+0=2r 9.计算=5y2xd-x2yzhx,其中L是圆周x2+y2=a2,顺时针方向为正。 x= a cost 解1取L的参数方程为 t从0到-2丌,则 y=asin 1, I=fy2xdy-x ydx 5o [(asin 1)a cost a cost-a cost)asin t(-asin t)]dr a 解2由于y2x,-x2y具有一阶连续偏导数,并注意到L的方向,根据格林公式得

第六部分 曲线积分与曲面积分 第 5 页 共 40 页 5       。                             3 2 3 24 3 sin cos 6 3 sin (2 ) 24 (cos sin ) cos cos sin sin ) sin cos 24 1 (cos sin )(cos cos sin sin ) sin cos 8 1 cos sin 3sin cos 8 1 20 2 20 2 2 20 2 2 4 2 2 4 20 2 2 4 2 2 4 20 6 6 2 2 =  =  = =  + − + − =  − + − + =  − − =  − − d d d d d S x y dl L 7．计算 =  − L I x ydx x dy 2 3 3 ，其中 L 是从点 (0,0) 经过点 (1,0) 到点 (0,0) 的折线段。 解 设 0, L1：y = x 从 0 到 1 ； L x 1, y 2： = 从 0 到 1 。根据路径可加性，得 3 3 0 ( 1) 1 1 0 1 0 2 3 2 3 1 2 I =  x ydx − x dy +  x ydx − x dy =  dx +  − dy = − L L 。 8．设 L 是圆周 x y 2x 2 2 + = ，则  − + = L ydx xdy 2 。 解 1 根据格林公式，得 [1 ( 1)] 2 2 2 2  − + =  − − = L x +y  x ydx xdy dxdy 。 解 2 由于 n = {x −1, y}  是 L 的外向单位法向量，所以  = {−y, x −1}  就是 L 的正向单位法 向量。根据两类曲线积分之间的关系，得 ( 1) ( ) ( 1) 0 2 2 2  − + =  − + − +  =  − + − + = L L L L ydx xdy ydx x dy dy y dl x dl 。 9．计算 =  − L I y xdy x ydx 2 2 ，其中 L 是圆周 2 2 2 x + y = a ，顺时针方向为正。 解 1 取 L 的参数方程为    = = sin , cos , y a t x a t t 从 0 到 − 2 ，则   。  2 4 0 4 2 2 0 2 2 2 2 2 1 (sin 2 ) 2 1 [( sin ) cos cos ( cos ) sin ( sin )] a t dt a a t a t a t a t a t a t dt I y xdy x ydx L =  = − =  − − =  − − − 解 2 由于 y x x y 2 2 ,− 具有一阶连续偏导数，并注意到 L 的方向，根据格林公式得