清华大学：《微积分》课程教学资源_习题集 第七部分 无穷级数

第七部分无穷级数第1页共20页 第七部分无穷级数 [填空题] 1.数项级数∑ 1)2n+1的和为 2.数项级数 的和为cosl m=6(2n) 注:求数项级数的和常用的有两种方法,一种是用和的定义,求部分和极限;另一种是 将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况,求函数项级数的和函数在此点的 值 3.设an>0,P>1且ln(n(en-1)an)=1,若级数∑an收敛,则p的取值范围是 (2,+∞)。 分析:因为在n→>∞时,(e"-1)与一是等价无穷小量,所以由m(n(en-1)an)=1 n→, 可知,当n→时,a与是等价无穷小量由因为级数∑,收敛,故∑ 因此p>2。 4.幂级数∑an(x-1)2在处x=2条件收敛,则其收敛域为[0.2 分析:根据收敛半径的定义,x=2是收敛区间的端点,所以收敛半径为1。由因为在 x=0时,级数∑a(x-1)2=∑an条件收敛,因此应填[02]。 5.幂级数∑ 如2”+(-x2的收敛半径为√3。 分析:因为幂级数缺奇次方项,不能直接用收敛半径的计算公式。因 2+(-3))+2m3 n+1 3)”_1 所以,根据比值判敛法,当<√3时,原级数绝对收敛,当冈>√3时,原级数发散。由

第七部分 无穷级数 第 1 页 共 20 页 1 第七部分 无穷级数 [填空题] 1．数项级数   =1 (2 −1)(2 +1) 1 n n n 的和为 2 1 。 2．数项级数   = − 0 (2 )! ( 1) n n n 的和为 cos1 。 注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是 将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的 值。 3．设 0, 1, lim ( ( 1) ) 1 1   − = → n p n n an p 且 n e a ，若级数   n=1 n a 收敛，则 p 的取值范围是 (2,+)。 分析：因为在 n → 时， ( 1) 1 − n e 与 n 1 是等价无穷小量，所以由 lim ( ( 1) ) 1 1 − = → n p n n n e a 可知，当 n → 时， n a 与 1 1 p− n 是等价无穷小量。由因为级数   n=1 n a 收敛，故   = − 1 1 1 n p n 收敛， 因此 p  2。 4．幂级数   = − 0 2 ( 1) n n n a x 在处 x = 2 条件收敛，则其收敛域为 [0,2]。 分析：根据收敛半径的定义， x = 2 是收敛区间的端点，所以收敛半径为 1 。由因为在 x = 0 时，级数    =  = − = 0 0 2 ( 1) n n n n an x a 条件收敛，因此应填 [0,2]。 5．幂级数   =1 + − 2 n 2 ( 3) n n n x n 的收敛半径为 3 。 分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为 2 2 2( 1) 1 1 3 2 ( 3) 1 2 ( 3) 1 lim x nx x n n n n n n n n = + − + − + + + + → ， 所以，根据比值判敛法，当 x  3 时，原级数绝对收敛，当 x  3 时，原级数发散。由

第七部分无穷级数第2页共20页 收敛半径的定义,应填√3。 6.幂级数 的收敛域为[-1,1)。 nIn n 2 分析:根据收敛半径的计算公式,幂级数∑-x"收敛半径为1,收敛域为-1) nIn n 幂级数∑2x收敛域为(-2).因此原级数在[-1)收敛,在(-2.-)U[,2)一定发散 有根据阿贝尔定理,原级数在(-∞,-2]∪[2.+∞)也一定发散。故应填[-1,1) 7.已知f(x)=∑anx,x∈(-O+∞),且对任意x,F(x)=f(x),则F(x)在原点的幂 级数展开式为F(0)+∑1x",x∈(-a+∞)。 nel n 分析:根据幂级数的逐项积分性质,及f(x)=∑anx",x∈(-+∞),得 F(x)-F(0)=f(r)dr 故应填F(0)+∑-x",x∈(-,+∞)。 n 8.函数()=XC在x=1处的幂级数展开式为1+∑ i(n-1)!n 分析:已知e2=∑x"( x∈(-∞+∞ ),所以 xe=4(x-l)e-+e-1=(x-121(x-1)+∑1(x-1 n=0 h n=((n 根据函数的幂级数展开形式的惟一性,这就是所求 9.已知∫(x)=x+1,x∈[0,,S(x)是f(x)的周期为1的三角级数的和函数,则

第七部分 无穷级数 第 2 页 共 20 页 2 收敛半径的定义，应填 3 。 6．幂级数 n n n x n n   =       + 2 2 1 ln 1 的收敛域为 [−1,1) 。 分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数 n n x n n   =2 ln 1 收敛半径为 1 ，收敛域为 [−1,1) ； 幂级数 n n n  x  =2 2 1 收敛域为 (−2,2) 。因此原级数在 [−1,1) 收敛，在 (−2,−1）[1，2） 一定发散。 有根据阿贝尔定理，原级数在 (−,−2][2,+) 也一定发散。故应填 [−1,1) 。 7．已知 ( ) , ( , ) 0 =   − +  = f x a x x n n n ，且对任意 x ，F(x) = f (x) ，则 F(x) 在原点的幂 级数展开式为 (0) , ( , ) 1 1 +  − +  = − x x n a F n n n 。 分析：根据幂级数的逐项积分性质，及 ( ) , ( , ) 0 =   − +  = f x a x x n n n ，得      = +  = +  =      − = = 0 1 0 0 0 1 ( ) (0) ( ) n n n x n n n x x n a F x F f t dt a t dt ， 故应填 (0) , ( , ) 1 1 +  − +  = − x x n a F n n n 。 8．函数 x f (x) = xe 在 x =1 处的幂级数展开式为       −         + − +  =1 ( 1) ! 1 ( 1)! 1 1 n n x n n e 。 分析：已知   = = 0 ! 1 n x n x n e (x (−,+)) ，所以       = − + = −  − + −  =  = − − 0 0 1 1 ( 1) ! 1 ( 1) ! 1 [( 1) ] ( 1) n n x x x n n x n x n x e e x e e e x       −         + − = +  =1 ( 1) ! 1 ( 1)! 1 1 n n x n n e 。 根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。 9．已知 f (x) = x +1, x [0,1] ， S(x) 是 f (x) 的周期为 1 的三角级数的和函数，则

第七部分无穷级数第3页共20页 S(0),S()的值分别为 0≤x≤ 10.设f(x) S(x)=+∑a,.os,x∈(-0+9), 其中an=2f(x) cosnard(n=012,…),则S(-)=。 [选择题] 1l.设常数a>0,正项级数∑an收敛,则级数∑(-1) 2n- (A)发散。(B)条件收敛。(C)绝对收敛。(D敛散性与a的值有关。 分析:因为∑a241≤∑a,且正项级数∑an收敛,所以∑a2m1收敛。又因为 (-1)” a,;+ n +a n+a 所以原级数绝对收敛。 12.设an= cosn In(1+)(n=1,2,3…),则级数[ (A)∑an与∑a都收敛。(B)∑an与∑a都发散。 ()∑an收敛,∑a发散。()∑an发散,∑a2收敛 答C 分析:因为an= cos nz Ind+=)=(-)”h(1+=),所以级数∑an是满足莱布

第七部分 无穷级数 第 3 页 共 20 页 3 ) 2 1 S(0), S( 的值分别为 2 3 ， 2 3 。 10．设      −     = 1, 2 1 2(1 ), , 2 1 , 0 ( ) x x x x f x cos , ( , ) 2 ( ) 1 0 = +  − +  = a n x x a S x n n  ， 其中 2 ( )cos ( 0,1,2, ) 1 0 an =  f x nxdx n =  ，则 − ) = 2 5 S( 4 3 。 [选择题] 11．设常数   0 ，正项级数   n=1 n a 收敛，则级数   = − + − 1 2 2 1 ( 1) n n n n a  [ ] (A)发散。 (B)条件收敛。 (C)绝对收敛。 (D)敛散性与  的值有关。 答 C 分析：因为   − = = −  2 1 1 1 2 1 n k k n k a k a ，且正项级数   n=1 n a 收敛，所以   = − 1 2 1 n a n 收敛。又因为       +  + + − − −   2 1 2 2 2 1 1 2 1 ( 1) n a n a n n n ， 所以原级数绝对收敛。 12．设 ) ( 1,2,3, ) 1 = cos ln(1+ n =  n an n ，则级数[ ] (A)   n=1 n a 与   =1 2 n n a 都收敛。 (B)   n=1 n a 与   =1 2 n n a 都发散。 (C)   n=1 n a 收敛，   =1 2 n n a 发散。 (D)   n=1 n a 发散，   =1 2 n n a 收敛。 答 C 分析：因为 ) 1 ) ( 1) ln(1 1 cos ln(1 n n a n n n =  + = − + ，所以级数   n=1 n a 是满足莱布

第七部分无穷级数第4页共20页 尼兹条件的交错级数,因此∑a收敛。因为a=h2(1+-=)在n→∞时与是等价无 穷小量,且调和级数∑二发散,所以∑a2发散 13.设0<an<-(m=1,2,3,…),则下列级数中肯定收敛的是[] (A)>a (B)∑(-1)°a (C) an 。(D)>a2hn 答 分析:因为0<an<,所以0<a2hn<2。又因为lm In 0,且 收敛,所以∑ahn收敛。另外,取an=,可以说明不能选(A及(O);取 2 an=1,因为∑(an-am-)=∑ 4n 2n-1)发散,所以 (-1)”an发散。 14.下列命题中正确的是[] (A)若un<vn(n=123…),则∑ln≤∑vn。 (B)若n<Vn(=123…),且∑v收敛,则∑n收敛 ()若m=1,且∑vn收敛,则∑un收敛 ①)若wn<n<,(m=123,…),且∑n与∑v收敛,则∑un收敛。 答D 分析:因为wn<n<Vn,所以0<un-n<V-mn。又因为∑wn与∑vn收敛

第七部分 无穷级数 第 4 页 共 20 页 4 尼兹条件的交错级数，因此   n=1 n a 收敛。因为 ) 1 ln (1 2 2 n an = + 在 n → 时与 n 1 是等价无 穷小量，且调和级数   =1 1 n n 发散，所以   =1 2 n n a 发散。 13．设 ( 1,2,3, ) 1 0   n =  n an ，则下列级数中肯定收敛的是[ ] (A)   n=1 n a 。 (B)   = − 1 ( 1) n n n a 。 (C)   =2 n ln n n a 。 (D)   =2 2 ln n an n 。 答 D 分析：因为 n an 1 0   ，所以 2 2 ln 0 ln n n  an n  。又因为 0 ln lim 2 = → n n n n n ，且   =1 1 n n n 收 敛 ，所 以   =2 2 ln n an n 收 敛 。另 外， 取 n an 2 1 = ， 可 以说 明 不能 选 (A) 及 (C)； 取 2 1 2 (2 1) 1 − − = n a n ， n a n 4 1 2 = ，因为 ( ) ) (2 1) 4 (1 4 1 2 1 1 2 2 1 −  − =  −  =  = − n n n a a n n n n 发散，所以   = − 1 ( 1) n n n a 发散。 14．下列命题中正确的是[ ] (A)若 u  v (n =1,2,3, ) n n ，则    =  =  1 n 1 n n n u v 。 (B) 若 u  v (n =1,2,3, ) n n ，且   n=1 n v 收敛，则   n=1 n u 收敛。 (C)若 lim =1 → n n n v u ，且   n=1 n v 收敛，则   n=1 n u 收敛。 (D) 若 w  u  v (n =1,2,3, ) n n n ，且   n=1 wn 与   n=1 n v 收敛，则   n=1 n u 收敛。 答 D 分析：因为 n n n w  u  v ，所以 n n n wn 0  u − w  v − 。又因为   n=1 wn 与   n=1 n v 收敛

第七部分无穷级数第5页共20页 所以∑(n-n)收敛,因而∑(un-mn)收敛。故∑un收敛 因为只有当级数收敛时,才能比较其和的大小,所以不能选(A);选项(B),(C将正项级 数的结论用到了一般级数上,显然不对。例如取级数 2与2 可以说明(B)不对,取 级数(与过(p+就可以说明(0不对 15.下列命题中正确的是 (A)若∑u2与∑v都收敛,则∑(un+vn)2收敛 ()若∑nn收敛,则∑v与∑v都收敛。 (C)若正项级数 发散,则u,≥ )若n<vn(n=1,23,…),且∑n发散,则∑”发散 分析:因为(un+V,)2=n2+2ann+v2≤2(n2+v2),所以当∑u2与∑v2都收敛 时,∑(un+vn)收敛。取a1 可以排除选项(B) 排除选项(C); 取级数n=-与Vn=一2可以说明①)不对。 16.若级数∑un,∑ n都发散,则[ ∑(n+vn)发散 (B)∑unn发散。 ()∑(n|+rn发散 ()∑(u2+v2)发散。 答

第七部分 无穷级数 第 5 页 共 20 页 5 所以   = − 1 ( ) n n wn v 收敛，因而   = − 1 ( ) n un wn 收敛。故   n=1 n u 收敛。 因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B),(C)将正项级 数的结论用到了一般级数上，显然不对。例如取级数   = − 1 1 n n 与   =1 2 1 n n 可以说明(B)不对，取 级数   = − 1 ( 1) n n n 与   =         + − 1 ( 1) 1 n n n n 就可以说明(C)不对。 15．下列命题中正确的是[ ] (A) 若   =1 2 n n u 与   =1 2 n n v 都收敛，则 2 1 ( ) n n n  u + v  = 收敛。 (B) 若   n=1 n n u v 收敛，则   =1 2 n n u 与   =1 2 n n v 都收敛。 (C) 若正项级数   n=1 n u 发散，则 n un 1  。 (D) 若 u  v (n =1,2,3, ) n n ，且   n=1 n u 发散，则   n=1 n v 发散。 答 A 分析：因为 ( ) 2 2( ) 2 2 2 2 2 n n n n n n n n u + v = u + u v + v  u + v ，所以当   =1 2 n n u 与   =1 2 n n v 都收敛 时， 2 1 ( ) n n n  u + v  = 收敛。取 n v n un n 1 , 1 = = 可以排除选项(B)；取 n un 2 1 = 排除选项(C)； 取级数 n un 1 = − 与 2 1 n vn = 可以说明(D)不对。 16．若级数   n=1 n u ，   n=1 n v 都发散，则[ ] (A)   = + 1 ( ) n n n u v 发散。 (B) n n n u v  =1 发散。 (C)   = + 1 ( ) n n n u v 发散。 (D)   = + 1 2 2 ( ) n n n u v 发散。 答 C