第五部分多元函数微分学第1页共27页 第五部分多元函数微分学 [选择题] 容易题1-36,中等题37-87,难题88-99 x+3y+2z+1=0 1.设有直线L 1-10+3s0及平面丌:4x-2y+z-2=0,则直线L (A)平行于丌。(B)在上丌。(C)垂直于丌。(①D)与丌斜交 2.二元函数f(x,y)=1x2+y (x,y)≠(0,0) 在点(0,0)处() 0,(x,y)=(0,0) (A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在 (D)不连续,偏导数不存在 答 3设函数n=以(x,1)y=vxy)由方程组{X=+ 确定,则当≠ν时 答:B 4.设∫(x,y)是一二元函数,(x0,y0)是其定义域内的一点,则下列命题中一定正确的是 (A)若∫(x,y)在点(x0,y)连续,则f(x,y)在点(x0,y)可导 (B)若f(x,y)在点(x0,y)的两个偏导数都存在,则f(x,y)在点(x,y)连续。 (C)若f(x,y)在点(x0,y)的两个偏导数都存在,则f(x,y)在点(x,y0)可微 ①D)若∫(x,y)在点(x0,y0)可微,则∫(x,y)在点(x,y)连续。 答 5.函数∫(x,y,-)=√3+x2+y2+2在点(1,-12)处的梯度是() ()(g99 答:A
第五部分 多元函数微分学 第 1 页 共 27 页 1 第五部分 多元函数微分学 [选择题] 容易题 1—36，中等题 37—87，难题 88—99。 1．设有直线 − − + = + + + = 2 10 3 0 3 2 1 0 : x y z x y z L 及平面 : 4x − 2y + z − 2 = 0 ，则直线 L ( ) (A) 平行于 。 (B) 在上 。(C) 垂直于 。 (D) 与 斜交。 答：C 2．二元函数 = = + 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y xy f x y 在点 (0,0) 处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数 u = u(x, y), v = v(x, y) 由方程组 = + = + 2 2 y u v x u v 确定，则当 u v 时， = x u ( ) (A) u v x − (B) u v v − − (C) u v u − − (D) u v y − 答：B 4．设 f (x, y) 是一二元函数， ( , ) 0 0 x y 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 连续，则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可导。 (B) 若 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的两个偏导数都存在，则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 连续。 (C) 若 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的两个偏导数都存在，则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可微。 (D) 若 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 可微，则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 连续。 答：D 5．函数 2 2 2 f (x, y,z) = 3 + x + y + z 在点 (1,−1,2) 处的梯度是( ) (A) ) 3 2 , 3 1 , 3 1 ( − (B) ) 3 2 , 3 1 , 3 1 2( − (C) ) 9 2 , 9 1 , 9 1 ( − (D) ) 9 2 , 9 1 , 9 1 2( − 答：A
第五部分多元函数微分学第2页共27页 6.函数z=f(xy)在点(x,y)处具有两个偏导数f2(x,y0),f,(x0,y0)是函数存在全 微分的( (A).充分条件 (B).充要条件 (C).必要条件 (D).既不充分也不必要 答C 7.对于二元函数z=∫(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是( (A).偏导数不连续,则全微分必不存在(B)偏导数连续,则全微分必存在 (C).全微分存在,则偏导数必连续 (D).全微分存在,而偏导数不一定存在 答B 8.二元函数二=f(x,y)在(x0,y0)处满足关系( (A).可微(指全微分存在)兮可导(指偏导数存在)→连续 (B).可微→可导→连续 (C).可微→可导或可微→连续,但可导不一定连续 ①D).可导→连续,但可导不一定可微 若 ==0,则f(x,y)在(xn,y0)是 (A).连续但不可微 (B).连续但不一定可微 (C).可微但不一定连续 ①D).不一定可微也不一定连续 答D 10.设函数∫(x,y)在点(x0,y)处不连续,则f(x,y)在该点处() (A).必无定义 B)极限必不存在 (C).偏导数必不存在 (D).全微分必不存在 答D 11.二元函数的几何图象一般是:( 条曲线 2
第五部分 多元函数微分学 第 2 页 共 27 页 2 6．函数 z = f (x. y) 在点 (x , y ) 0 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y ( , ), ( , ) 0 0 0 0 是函数存在全 微分的（ ）。 （A).充分条件 （B).充要条件 (C).必要条件 (D). 既不充分也不必要 答 C 7．对于二元函数 z = f (x, y) ，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（ ）。 (A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在 (C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在 答 B 8．二元函数 z = f (x, y) 在 (x , y ) 0 0 处满足关系（ ）。 (A).可微（指全微分存在） 可导（指偏导数存在） 连续 (B).可微 可导 连续 (C).可微 可导或可微 连续，但可导不一定连续 (D).可导 连续，但可导不一定可微 答 C 9．若 f x f y x x y y x x y y = = = = = = 0 0 0 0 0 ，则 f (x, y) 在 (x , y ) 0 0 是（ ） (A).连续但不可微 (B).连续但不一定可微 (C).可微但不一定连续 (D).不一定可微也不一定连续 答 D 10．设函数 f (x, y) 在点 (x , y ) 0 0 处不连续，则 f (x, y) 在该点处（ ） (A).必无定义 (B)极限必不存在 (C).偏导数必不存在 (D).全微分必不存在。 答 D 11．二元函数的几何图象一般是：( ) (A) 一条曲线
五部分多元函数微分学第3页共27页 一个曲面 个平面区域 个空间区域 答B 12.函数z= arcsin +④1-x2-y2的定义域为( (A)空集 (B)圆域 (C)圆周 (D)一个点 答C 13.设1=f(x2+y2-2)则2=() (C)2x (D) x-十 答A
第五部分 多元函数微分学 第 3 页 共 27 页 3 (B) 一个曲面 (C) 一个平面区域 (D) 一个空间区域 答 B 12．函数 2 2 2 2 1 1 arcsin x y x y z + − − + = 的定义域为( ) (A)空集 (B)圆域 (C)圆周 (D)一个点 答 C 13．设 ( ), 2 2 2 u = f x + y − z 则 = x u ( ) (A) 2xf ' (B) f u x 2 (C) ( ) 2 2 2 2 x y z f x + − (D) ( ) 2 2 2 2 x y z u x + − 答 A
五部分多元函数微分学第4页共27页 14.lm (x,y)(0)x3+y3 A)存在且等于0。 (B)存在且等于1 (C)存在且等于-1 (D)不存在 15.指出偏导数的正确表达() (A)f(a,b)=lim f(a+h,b+k)-f(a, b) h,k→0 /h2+k (B)/' (0, )=lim /(r,O) ()f(0y)=in(0y+4Ay)-f(0,y 0)f(x0)=hmn(xy)-/(x0) 16.设∫(x,y)=h(x-、x2-y2)(其中x>y>0),则f(x+y,x-y)=( (A) 2( Vx-vy):(B)Inx-y):(C)(n x-hn y):(D) 2In(x-y) 答案A 17.函数∫(x,y)=sn(x2+y)在点(00)处() (A)无定义:(B)无极限;(C)有极限,但不连续;(D)连续 答案D 18.函数z=f(x,y)在点P(x0,y)间断,则() (A)函数在点P处一定无定义;
第五部分 多元函数微分学 第 4 页 共 27 页 4 14． 3 3 2 ( , ) (0,0) lim x y xy x y → + =( ) (A) 存在且等于 0。 (B) 存在且等于 1。 (C) 存在且等于 −1 (D) 不存在。 15．指出偏导数的正确表达( ) (A) , 0 2 2 ( , ) ( , ) '( , ) lim h k f a h b k f a b f a b h k x + + + − = → (B) x f x f x x ( ,0) '(0,) lim →0 = (C) y f y y f y f y y y + − = → (0, ) (0, ) '(0, ) lim 0 (D) x f x y f x f x x x ( , ) ( ,0) '( ,0) lim 0 − = → 答 C 16．设 ( , ) ln( ) 2 2 f x y = x − x − y （其中 x y 0 ），则 f (x + y, x − y) = （ ）. （ A ） 2ln( x − y) ；（ B ） ln( x − y) ；（ C ） (ln ln ) 2 1 x − y ；（ D ） 2ln( x − y) . 答案 A 17．函数 ( , ) sin( ) 2 f x y = x + y 在点 (0,0) 处（ ） （ A ）无定义； （ B ）无极限； （ C ）有极限，但不连续； （ D ）连续. 答案 D 18．函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 间断，则（ ） （ A ）函数在点 P0 处一定无定义；
第五部分多元函数微分学第5页共27页 (B)函数在点P处极限一定不存在 (C)函数在点P处可能有定义,也可能有极限; (D)函数在点P处有定义,也有极限,但极限值不等于该点的函数值 答案C 19.设函数=(x,y),v=v(x,y)由方程组x=+"2确定,≠",则 Ox (A) (B) l-1 (C) (D)ty 答案B 20.=√3+x2+y2+2在点M(1-12)处的梯度gdh=() (A)( (B) (C) (D)(2,-24 答案C 21.设函数z=f(x,y)在点(x,y0)处可微,且f(x0,y)=0,f,(x,y0)=0,则 函数∫(x,y)在(x0,y0)处() (A)必有极值,可能是极大,也可能是极小 (B)可能有极值,也可能无极值 (C)必有极大值 (D)必有极小值 答案B 设 则 (A)0 (B)不存在
第五部分 多元函数微分学 第 5 页 共 27 页 5 （ B ）函数在点 P0 处极限一定不存在； （ C ）函数在点 P0 处可能有定义，也可能有极限； （ D ）函数在点 P0 处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值. 答案 C 19．设函数 u = u(x, y) ， v = v(x, y) 由方程组 = + = + 2 2 y u v x u v 确定， u v ，则 = x u （ ） （ A ） u v x − ； （ B ） u v v − − ； （ C ） u v u − − ； （ D ） u v xy − . 答案 B 20． 2 2 2 u = 3 + x + y + z 在点 (1, 1,2) M0 − 处的梯度 gradu = （ ） （ A ） ) 9 2 , 9 1 , 9 1 ( − ； （ B ） ) 9 4 , 9 2 , 9 2 ( − ； （ C ） ) 3 2 , 3 1 , 3 1 ( − ； （ D ） ) 3 4 , 3 2 , 3 2 ( − . 答案 C 21．设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可微，且 f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 ，则 函数 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处（ ） （ A ）必有极值，可能是极大，也可能是极小； （ B ）可能有极值，也可能无极值； （ C ）必有极大值； （ D ）必有极小值. 答案 B 22．设 z = xy, 则 (0,0) x z =( ) (A) 0 (B) 不存在 (C) −1