第八部分常微分方程第6页共16页 cosx+ 注:本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式,得 Sinx rdx (cos x+c) 23.求解微分方程xd-hx=yedh 解:将y看成自变量,x看成是的y函数,则原方程是关于未知函数x=x(y)的一阶线性 微分方程 此方程通解为 x=e 其中C是任意常数 24.求微分方程x2y+xy=y2满足初始条件y(1)=1的特解 解:将原方程变形,得 y-y 这是一个齐次型方程。令y=x,代入上式,得 分离变量,得 积分,得 =Cx2 2 因为y(1)=1,所以C=-1。于是所求特解为
第八部分 常微分方程 第 6 页 共 16 页 6 ( cos ) 1 x C x y = − + 。 注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得 y x x e dx c e x x x c dx x dx = + = − + − ( sin ) ( cos ) 1 1 1 。 23．求解微分方程 xdy ydx y e dy y − = 2 。 解：将 y 看成自变量， x 看成是的 y 函数，则原方程是关于未知函数 x = x( y) 的一阶线性 微分方程 y ye y x dy dx − = − ， 此方程通解为 y dy y y dy y x e C ye e dy = Cy − ye − = − 1 1 ， 其中 C 是任意常数。` 24．求微分方程 2 2 x y + xy = y 满足初始条件 y(1) = 1 的特解。 解：将原方程变形，得 x y x y y − = 2 ， 这是一个齐次型方程。令 y = xu ，代入上式，得 xu u 2u 2 = − ， 分离变量，得 x dx u u du = − 2 2 ， 积分，得 2 2 Cx u u = − ， 即 2 2 Cx y y x = − 。 因为 y(1) = 1 ，所以 C = −1 。于是所求特解为
第八部分常微分方程第7页共16页 2 25.设y=e施微分方程xy+p(x)y=x的一个解,求此微分方程满足条件y(h2)=0的 特解 解:将y=e代入原方程,得 P(x) 所以原方程为 (xe-x)y 解其对应的齐次方程,得 所以原方程的通解为 +Cot+e-r 由y(h2)=0,得C=-e2。故所求特解为 rte y=e -e 26.求微分方程 x2+1Vy=x的通解。 解:将原方程化为 这是一个伯努利方程。令z=√y,则原方程化为 dz 2 x 这是一个一阶线性微分方程,解得 l)(C+h(x2+1) 所以原微分方程的通解为
第八部分 常微分方程 第 7 页 共 16 页 7 2 1 2 x x y + = 。 25．设 x y = e 施微分方程 xy + p(x) y = x 的一个解，求此微分方程满足条件 y(ln 2) = 0 的 特解。 解：将 x y = e 代入原方程，得 xe p x e x x x + ( ) = ， 解出 p x xe x x = − − ( ) 。 所以原方程为 xy xe x y x x + − = − ( ) ， 解其对应的齐次方程，得 x x e y Ce − + = 。 所以原方程的通解为 x x x e y e Ce − + = + 。 由 y(ln 2) = 0 ，得 2 1 − C = −e 。故所求特解为 2 1 + − − = − x x e x y e e 。 26．求微分方程 y x x x y y = + − 1 1 4 2 的通解。 解：将原方程化为 y x y x x y = + − 1 4 2 ， 这是一个伯努利方程。令 z = y ，则原方程化为 1 2 2 2 x z x x dx dz = + − 。 这是一个一阶线性微分方程，解得 ( 1)( ln( 1)) 4 1 2 2 z = x + C + x + ， 所以原微分方程的通解为