第三章向量值函数与空间曲线 第三章空间曲线的基本知识 第九、十讲曲线的弧长 课后作业 阅读:第三章第二节曲线的弧长p.85-8 预习:第三章第三节曲线的曲率与挠率pp.87--94 第四节在天体力学中的应用pp94-96 作业 1.求下列曲线的切线和法平面议程: (1)F=(r22),t=1 )(xy2)=0 2.求下列曲线的副法线和密切平面方程 (1)F=acost, bsin 1, e),t= 2)F=(acost+ bsin t, asin t+cost, csin 21), t=4; 3.求曲线F=(2,1),t=1处的主法线和从切平面方程。 4.证明球面曲线的法平面通过球心。 5.计算圆锥螺线F=(cost,e'smt,e)的弧长公式(从0到t)。 6.求下列平面曲线的弧长公式及弧长。 (1)曲线由直角坐标中显示表示y=f(x),y=ln(1-x2),0≤x≤ (2)曲线由极坐标方程表示p≡p(),对数螺线p=e-,0≤q≤φ 7.将方程F=( a cos t,asnt,b)(圆柱螺线)化成以弧长为参数的方程。 8.求曲线F=(cost,sn,be)在t=0处的弗雷耐标架。 第二节曲线的弧长 3.2.1曲线的弧长 设曲线:C:F=f(t),a≤t≤b, 其中()∈C2,我们来定义和计算曲线C的弧长。 将区间[ab]分成n份,记分点为a=1,1…,nm1n,则曲线C 也相应的分成n段,C上的对应分点是r,),i=0,1,2,…,n,点 r.),)之间的线段长为|(-)-r(r),记 M=1-1-,2=mxAM|。如果极限 存在,则称该极限为曲线C在[6上所对应的曲线段的弧长 对于光滑曲线,可以证明,这个极限等于)在[b上的定 第三章向量值函数与空间曲线
第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 1 第三章 空间曲线的基本知识 第九、十讲 曲线的弧长 课后作业： 阅读：第三章 第二节 曲线的弧长 pp.85---87 预习：第三章 第三节 曲线的曲率与挠率 pp.87---94 第四节 在天体力学中的应用 pp.94---96 作业: 1. 求下列曲线的切线和法平面议程： (1) ( , , ) , 1 2 3 r = t t t t = T ； (2) ( ) = = ( , , ) 0 , y , z , ( , y, z) 0 0 0 0 g x y z x f x 2. 求下列曲线的副法线和密切平面方程 (1) r = (acost, bsin t,e ) , t = 0 T t ； (2) ( ) 2 cos sin , sin cos , sin 2 , r = a t + b t a t + b t c t t = T ; 3.. 求曲线 ( , , ) , 1 2 3 r = t t t t = T 处的主法线和从切平面方程。 4. 证明球面曲线的法平面通过球心。 5. 计算圆锥螺线 ( ) T t t t r = e cost, e sin t,e 的弧长公式（从 0 到 t）。 6. 求下列平面曲线的弧长公式及弧长。 (1) 曲线由直角坐标中显示表示 y = f(x), y = ln(1- x ), 0 x 1 2 2 ； (2) 曲线由极坐标方程表示＝ ()，对数螺线 = e a , 0 0 。 7. 将方程 ( ) T r = a cost, asin t,bt （圆柱螺线）化成以弧长为参数的方程。 8. 求曲线 ( ) T t r = t cost, tsin t,be 在 t = 0 处的弗雷耐标架。 第二节 曲线的弧长 3.2.1 曲线的弧长 设曲线： C :r = r(t), a t b ， 其中 ( ) 2 r t C ，我们来定义和计算曲线 C 的弧长。 将区间 a,b 分成 n 份，记分点为 n n a t ,t , ,t ,t = 0 1 −1 ，则曲线 C 也相应的分成 n 段，C 上的对应分点是 ( )i r t ,i=0,1,2,…,n,点 ( )i r t , ( ) i−1 r t 之 间 的 线 段 长 为 ( ) ( ) i 1 i r t r t − − ， 记 i i n i i i t = t −t = t − 1 1 , max 。如果极限： ( ) = − → − n i i i r t r t 1 1 0 lim ( ) 存在，则称该极限为曲线 C 在 a,b 上所对应的曲线段的弧长 s 。 对于光滑曲线，可以证明，这个极限等于 r(t) 在 a,b 上的定
第三章向量值函数与空间曲线 积分,即s=mn∑V(-)-()=广(o)t 设ta,t∈[ab]to是固定值,记s()为产()到(0)的弧长,并 规定t>t时, 弧长函数(是t的增函数,且s()=(|t 即 s(t) ∫a(o)+o)+(o)d 可推出平面曲线在直角坐标系和极坐标系中的弧长公式 8()+(9d s(0)=CVO)+(0(0) 弧微分:d=F(川d=x:()+y2()+2t ldr(=(r(odt, y (dt, =(dt) 2()+y2()+z"2d=ds ldr(ol 若产(t)≠0,则 这表示弧长函数是光滑的单调增函数,故s(t)的反函数 t=1(s)存在,以此代入F=(), 得到以弧长s为参数的曲线C的方程 F=f(s)=(x(),y(s),x(s) 弧长参数s也称为自然参数。 引理2.1设曲线C:F=r(t),a≤t≤b,则t为弧长参数的 充要条件是 d 证:必要性 若以弧长s代换参数t,有 充分性 设,∈由=1,f()到)段的弧长 dt 第三章向量值函数与空间曲线 2
第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 2 积分，即 ( ) = − = = − → b a n i s lim r(t i ) r t i r (t) dt 1 1 0 。 设 t0,t a,b ,t0 是固定值，记 s(t) 为 ( ) 0 r t 到 r(t) 的弧长，并 规定 t>t0时, 弧长函数 s(t)是 t 的增函数，且 = t t s t r t dt 0 ( ) ( ) , 即 ( ) ( ) ( ) + + t t 2 2 2 0 s(t) = x (t) y (t) z (t) dt. 可推出平面曲线在直角坐标系和极坐标系中的弧长公式： ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) . ( ) 1 ( ) 0 0 2 2 2 = + = + s d s x y x dx x x 弧微分: ds r t dt x t y t z dt 2 2 2 = ( ) = ( ) + ( ) + ( ( ) ) x t y t z dt ds d r t x t dt y t dt z t dt = + + = = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , 即， 1 ( ) = = ds dr ds dr t . 若 r (t) 0, 则 = ( ) = 0 dt dr r t dt ds , 这表示弧长函数是光滑的单调增函数，故 s(t)的反函数 t = t(s) 存在，以此代入 r r(t) = ， 得到以弧长 s 为参数的曲线 C 的方程 ( ) T r = r(s) = x(s), y(s),z(s) 弧长参数 s 也称为自然参数。 引理 2.1 设曲线 C :r = r(t), a t b ,则 t 为弧长参数的 充要条件是 = 1 dt dr 。 证：必要性: 若以弧长 s 代换参数 t ,有 = 1 ds dr . 充分性： 设 , [ , ], t 0 t a b 由 = 1 dt dr , ( ) 0 r t 到 r(t) 段的弧长： = = = = − t t t t t t dt dt t t dt dr dt dt ds s t 0 0 0 ( ) , 0
第三章向量值函数与空间曲线 7(s)=uds=l =S-S ds 所以t为弧长参数;若 则s=±t+c(c为常数),即s,t均为弧长参数,二者仅在起 点和弧长的增减方向上可能有差别 例1设R3中的直线方程:F=at+b(-∞<1<+∞), 其中a≠0,b是常向量,求直线上由点t=0到点t之间的弧 长s及直线的弧长参数表达式 解直线的方向向量为 dr dt 所求弧长是s= dt h=刚=园,(=x(+) 由此解得反函数 代入原直线方程,即得直线由其弧长作为参数的方程: 六(s)=m+b=s+b 其中己表示直线方向的单位向量 例2求圆柱螺线F=( acost asin t bt)从t=0起计算的弧长s, 并求圆柱螺线的弧长参数表达式 解圆柱螺线在点t处的切向量是 (asin t, a cost, b)' 所求弧长为 1=G+边=+b,(=(+o 由此我们得到圆柱螺线由自然参数s表示的方程, f(s)=( a cos@s, asin (s,bos)},其中,a a2+b2 注意产()的第三个分量是常数,与参数t无关,故圆柱螺 R 线的切向量和z轴的夹角0的余弦为 cos0=Fk=b 这就是说:圆柱螺线上任一点的切线与z轴交成定角。 用具有明确几何意义的弧长s代替原来的一般不具有几何意 义的任意参数t,会给问题的讨论带来很大的方便,特别是理论 第三章向量值函数与空间曲线
第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 3 ( ) = = − = = − s s s s s s ds ds s s dt dr ds ds dt t s 0 0 0 0 1 所以 t 为弧长参数；若 = = 1 dt ds dt dr ， 则 s = t + c (c 为常数)，即 s,t 均为弧长参数，二者仅在起 点和弧长的增减方向上可能有差别。 例 1 设 3 R 中的直线方程： r = a t + b(− t +) , 其中 a b 0, 是常向量，求直线上由点 t=0 到点 t 之间的弧 长 s 及直线的弧长参数表达式。 解 直线的方向向量为 a dt dr = , 所求弧长是 , ( ). 0 0 = dt = a dt = a t − t + dt dr s t t 由此解得反函数: s a t 1 = , 代入原直线方程，即得直线由其弧长作为参数的方程： ( ) b s e b a a r s = s + = + , 其中 e 表示直线方向的单位向量。 例 2 求圆柱螺线 ( ) T r = a cost asin t bt 从 t＝0 起计算的弧长 s， 并求圆柱螺线的弧长参数表达式。 解 圆柱螺线在点 t 处的切向量是 ( sin , cos , ) , T a t a t b dt dr = − 所求弧长为 = = + = + − + t t dt a b dt a b t t dt dr s 0 2 2 0 2 2 , ( ). 由此我们得到圆柱螺线由自然参数 s 表示的方程, ( ) ( ) T r s = a cos s, asin s, b s , 其中， 2 2 1 a + b = . 注意 r (t) 的第三个分量是常数 R b ，与参数 t 无关，故圆柱螺 线的切向量和 z 轴的夹角的余弦为 R b = r k = cos , 这就是说：圆柱螺线上任一点的切线与 z 轴交成定角。 用具有明确几何意义的弧长 s 代替原来的一般不具有几何意 义的任意参数 t，会给问题的讨论带来很大的方便，特别是理论
第三章向量值函数与空间曲线 问题,用弧长作参数,将使一些公式大为简化 322切线和法平面 设R3中曲线C以自然参数表示为 F(S)=(x(s),y(s),z(s)a≤s≤b so∈a,b]为C的正则点。C在点s的切线向量: So 切线方程为 万=r(S0)+T=r(S0)+亓F(S0) 其中元是C在点s0的切线的向径,λ为参数 法平面:过点r()与切线垂直平面称为C在f(s)法平面, 法面方程为 n-F(s0)P(S0)=0 其中元是C在点S0的法平面上的向径。 例3求螺旋线F=(acos,asng,bq)在点q=0处的切线和法平 面 解φ=0时,f(0)=(a0) r'(o)=(-asin acos, b) r(0)=(0,a,b 故在点φ=0处螺旋线的切线议程为 p()=f(0)+tP(0)=(a,am,b),t是参数, 或 0 法平面方程为r(O)(()-f(0)=0, 即ay+bz=0 3.2.3密切平面和副法线 ●密切平面 经过曲线C上点f(S0)=(x(S0),y(s0),x(50)的切线的平面称 为切平面,其中有一个最贴近C的平面称为密切平面。 其具体定义为:过C上点r(o)的切线及其邻近点r(so+△s) 作一平面I',当As→0时,若∏有极限位置∏,则称∏为C在 点r(so)的密切平面。设该平面的法向量为单位向量B,则由 这是由于I'的法向量平行于向量 第三章向量值函数与空间曲线
第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 4 问题，用弧长作参数，将使一些公式大为简化. 3.2.2 切线和法平面 设 3 R 中曲线 C 以自然参数表示为 ( ) = ( ( ), ( ), ( )) a s b T r s x s y s z s , s0 [a,b] 为 C 的正则点。C 在点 s0的切线向量： ( 0 ), T = 1 T = r s 切线方程为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 r r s T r s r s l = + = + 其中 l r 是 C 在点 s0的切线的向径, 为参数。 法平面: 过点 ( ) 0 r s 与切线垂直平面称为 C 在 ( ) 0 r s 法平面， 法面方程为 (r n−r(s0 ))r (s0 ) = 0 , 其中 n r 是 C 在点 s0的法平面上的向径。 例 3 求螺旋线 r = (a cos, a sin , b) 在点 = 0 处的切线和法平 面。 解 = 0 时, T r(0) = (a,0,0) T T r a b r a a b (0) (0, , ) ( ) ( sin , cos , ) = = − 故在点 = 0 处螺旋线的切线议程为 (t) r tr a at bt t T = (0) + (0) = ( , , ) , 是参数， 或 b z a x a y 0 0 0 − = − = − , 法平面方程为 r (0)( (t)− r(0)) = 0 , 即 ay + bz = 0. 3.2.3 密切平面和副法线 ⚫ 密切平面 经过曲线 C 上点 T r(s ) (x(s ), y(s ),z(s )) 0 = 0 0 0 的切线的平面称 为切平面， 其中有一个最贴近 C 的平面称为密切平面。 其具体定义为：过 C 上点 ( ) 0 r s 的切线及其邻近点 r(s + s) 0 作一平面 ，当 s→ 0 时，若有极限位置，则称为 C 在 点 r(s0)的密切平面。设该平面的法向量为单位向量 B , 则由 这是由于 的法向量平行于向量
第三章向量值函数与空间曲线 F(S0)×(F(S0+△s)-F(s0 =f(sn)×|r()As+r(s。△s)2+d(0△sy2 ∥r(s)×(产"(S0)+0 可得,B∥r(S0)×("(S0), 再利用F(s)=7=1和 F(s)⊥(s0)(产(s)=T是定长向量,所以产(s)⊥r(s)) 即得密切平面的单位法向量B (s So 密切平面方程为(p-f(S0)B=0 或(G(s0),产(S0),p-r(S0)=0 如果F=(s)是平面曲线,则其上任一点的密切平面就是曲线 所在平面 副法线:密切平面的法线称为C在r()处的副法线,单位副 法线向量以B表示,则 产(So)×F"(S0) So 副法线方程为()=f(s0)+1B 或p()=f(s0)+1(P(s0)×F"(s0) 曲线C的一般参数方程F=f(),它在产(t0)处的单位副法线向 量为严(t0)×F"(t0) 卩(0)×"(0 例4求圆锥螺线r()=(cost- t sin t at)y在坐标原点处的密 切平面方程和副法线方程。 解坐标原点对应于t=0, r=(cost-tsin t, -sin t-t cost, a), r(0)-(1, 0, a) r=(2sin t-t cos t, -2 cost+tsin 1,0) r"(0)=(0,-2,0) 所以,螺线在原点处的密切平面方程为 -r(0),F'(O)P"(0)=0 即 -ax+z=0 螺旋线在原点处的副法线方程为 p=F(0)+1((0)xF(0) =(at,0,-1) 第三章向量值函数与空间曲线
第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 5 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) // ( ) ( ( ) (1)) ( ) 1 ( ) 2! 1 ( ) ( ) 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 r s r s o r s r s s r s s o s r s r s s r s + = + + + − 可得， // ( ) ( ( )) 0 0 B r s r s , 再利用 r (s0 ) = T = 1 和 ( ) ( ) 0 0 r s r s ⊥ ( (s) = T r 是定长向量，所以 r (s) r (s) ⊥ )， 即得密切平面的单位法向量 B : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 r s r s r s B = . 密切平面方程为 ( − r(s0 )) B = 0 或 (r(s0 ),r (s0 ), − r(s0 )) = 0 如果 r r(s) = 是平面曲线，则其上任一点的密切平面就是曲线 所在平面。 ⚫ 副法线: 密切平面的法线称为 C 在 ( ) 0 r s 处的副法线，单位副 法线向量以 B 表示，则 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 r s r s r s B = 副法线方程为 (t) r s t B = ( 0 ) + 或 ( ) ( ) ( ( ) ( )) 0 0 0 t r s t r s r s = + . ⚫ 曲线 C 的一般参数方程 r r(t) = ，它在 ( ) 0 r t 处的单位副法线向 量为 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 r t r t r t r t B = . 例 4 求圆锥螺线 ( ) ( ) T r t = t cost − tsin t at 在坐标原点处的密 切平面方程和副法线方程。 解 坐标原点对应于 t=0, (0) (0, 2,0) ( 2sin cos , 2cos sin ,0) (cos sin , sin cos , ), r (0) - (1,0, a) = − = − − − + = − − − r r t t t t t t r t t t t t t a 所以，螺线在原点处的密切平面方程为 ( − r(0),r (0),r (0)) = 0 即 0 0 - 2 - 1 0 a y z = x , −ax + z = 0 螺旋线在原点处的副法线方程为 = r(0) +t(r (0)r (0)) 即 = (at, 0, − t )